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2021年2月13日发(作者：迪士尼开园)

知识点总结：一元二次方程

一元二次方程是初 中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分

式方程 等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，

是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是本书的重点内容。

一、目标与要求

1.

了解一元二次方程及有关概念，一般式

ax

+bx+c =0

（

a

≠

0

）及其派生的概念，应用一元二次方程概念解

决一些简单题目。

2.

掌握通过配方法、公式法、因式 分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程

的数学模型的方法 ，应用熟练掌握以上知识解决问题。

二、重点

1

．一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。

2.

判定一个数是否是方程的根；

< /p>

3.

用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。< /p>

4.

运用开平方法解形如（

< p>
x+m

）

=n

（

n

≥

0

）的方程，领会 降次──转化的数学思想。

5.

利用 实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

三、难点

1

．一元二次方程配方法解题。

2.

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，

•

再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

3

．用公式法解一元二次方程时的讨论。

< br>

4.

通过根据平方根的意义解形如

x

=n

，知识迁移到根据平方根的意义解形如（

< p>
x+m

）

=n

（

n

≥

0

）的方程。

5

．建立一元二次方程实际问题的数学模 型，方程解与实际问题解的区别。

6.

由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

2

2

2

2

三、知识框 架

四、知识点、概念总结

1.

一元二次方程

：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）

，并且未知数的最高次数是

2

（二次）的

方程，叫做一元二次方程。

2.

一元二次方程有四个特点：

(1)

含有一个未知数；

(2)

且未知数次数最高次数是

2

；

(3)

是整式方程。 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进

行整理。 如果能整理为

ax

+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个 方程就为一元二次方程。

（

4

）将方程化为一般形式：

ax

+bx+c=0

时，应满足（a≠0）

3.

一元二次方程的一般形式

：一般地，任何一个关于

x

的一元二次方程，经过整理，

•

都能化成如下形式

ax

+bx+c=0

（

a

≠

0

）< /p>

。

一个一元二次方程经过整理化成

ax

+bx+c=0

（

a

≠

0

）后，其中

ax

是二次项，

a

是二次项系 数；

bx

是一次

项，

< br>b

是一次项系数；

c

是常数项。

4.

一元二次方程的解法

< p>
（

1

）直接开平方法

< /p>

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法 适用于解形如

2

2

2

< br>2

2

(

x



a

)

2



b

的一元二次方程。

根据平方根的定义 可知，

x



a

是

b

的平方根，

当

b



0

时，

x



a





b

，

x





a



b

，当

b<0

时，方程没有实数根。

（

2

）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他 领域也有着广泛

2

2

2

的应用。配方法的理论根据是完全平方公式

a



2

ab



b



(

a



b

)

，把公式中的

a

看做未知数

x

，并用

2

2

2

x

代替 ，则有

x



2

bx



b



(

x



b

)

。

配方法解一元二次方程的一般步骤：现 将已知方程化为一般形式；化二次项系数为

1

；常数项移到右边 ；

方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为

(x+p)

=q

的形式，如果

q

≥

0

，方程的根是

x=-p

±√

q

；如果

q

＜

0,

方程 无实根．

（

3

）公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

2

一元二次方程

ax



bx



c



0

(

a< /p>



0

)

的求根公 式：

2



b



b

2



4

ac

2

x



(

b



< p>
4

ac



0

)

2

a

< br>（

4

）因式分解法

< p>
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程 最常

用的方法。

5.

一元二次方程根的判别式

2

根

的

判

别

式

：

一

元

二

次

方

< br>程

ax



bx

< br>

c



0

(

a



0

)

中

，

b

2



4

ac

叫

做

一

元

二

< p>
次

方

程

ax

2



bx



c



0

(

a



0

)

的根的判别式，通常用“



”来表示，即





b

2



4

ac

6.

一元二次方程根与系数的关系

< /p>

2

如果方程

ax



bx



c



0

(

a



0

)

的两个实数根是

x

1

，

x

2

，那么

x

1



x

2





b

c

，

x

1

x

2



。也就是说，

a

a

对于任何 一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反

< br>数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

7.

分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

8.

分式方程的一般解法

< p>
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”

。它的一般解法是 ：

（

1

）去 分母，方程两边都乘以最简公分母

（

2

）解所得的整式方程

（

< p>
3

）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去； 若不等于零，就是原方程的

根。

（参考教材：初中数学九年级人教版）

知识点

1.

只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是

2

的整式方程 叫一元二次方程。

例题：

1

、 判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”

，不是的打“×”

，并说明理由

.

(1)2x

2< /p>

-x-3=0.

（

）

(2)

y

2

-y

=0.

（

）

4

(3) t

2

=0.

（

）

(4) x

3

-x

2

=1.

(5) x

2

-2y-1=0.

(6)

1

x

2

-3=0.

(7)

x

2



3

x

=2.

(8)(x+2)(x-2)=(x+1)

2

< br>.

(9)3x

2

-

4

x

+6=0.

(10)3x

2

=

x

4

-3.

2

、判断下列方程是否为一元二次方程：

(

1

).

x

2



x

< /p>

1

(

2

).

x

2



1

(

3

).

x

< p>


1

x

(

4

).

x

2

< br>

3

x



2

y



0

(

5

).

x

2< /p>



3



(

x



1

)(

x



2

)

(

6

).

ax

2



bx



c



0

(

7

).

mx

2



0

(

m

为不等于

0

的常数

)

< br>

3

、下列方程中，关于

x

的一元二次方程是

（

A

）

3



x



1



2< /p>



2



x



1



（

C

）

ax

2



bx



c



0

4

、下列方程中，不是一元二次方程的是

（

A

）

2x< /p>

2

+7=0

B

）

1

x

2



1

x



2



0

D

）

x

2



2

x



x

2



1

B

）

2x

2

+2

3

x+1=0

）

）

）

）

）

）

（

）

（

（

）

）

（

（

（

（

（

（

（

（

（

（

C

）

5x

+

2

1

2

+4=0

（

D

）

3x< /p>

+(1+x) +1=0

x

5

、若关于

x

的方程

a< /p>

(

x

－

1)

2

=2

x

2

－

2

是一元二次方程，则

a

的值是

（

）

（

A

）

2

（

B

）－

2

（

C

）

0

（

D

）不等于

2

6

、已知关于

x

的方程



m



1



x



n



3

x



p



0

，当

时，方程为一次方程；当

2

2





时，两 根中有一个为零

a

。

7

、已知关于

x

的方程



m



2



x

m

2



2



x



m



0

：

（

1

）

m

为何值时方程为一元一次方程；

（

2

）

m

为何值时方程为一元二次方程。

知识点 二

.

一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是：

ax

2



bx



c

< p>


0



a



0



，其中

ax

是二次项，

a

叫二次项系 数；

bx

是一次

2

项，

b

叫一次项系数，

c

是常数项。

特别警示：

（

1

）

“

a



0

”是一元二次方程的一般形式的一 个重要组成部分；

（

2

）二次项系数、 一次项系数

及常数项都是方程在一般形式下定义的，

所以求一元 二次方程的各项系数时，

必须先将方程化为一般形式。

例题：

1

、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项

.

(

1

)

x

2



10

x



900



0

(2)5

x

2



10

x



2.2



0

(3)2

x

2



15



0

(4)

x

2



3

x



0

< p>

2

(

x



2

)



3

(5)

(6)

(

x



3

)(

x



3

)



0

2

、关于

x

的方程

ax



3

x



2



0

是一 元二次方程，则

（

）

（

A

）

a



0

（

B

）

a



0

（

C

）

a



1

（

D

）

a



0

3

、将下列一元二次方程化成一般形 式，并找出

a

、

b

、

c

的值

.

(1)

4

x



3



5

x

；

(2)

2



x



2





8



3

x



x



1



2

2

2

2

< br>4

、方程（

m

－

1

）

x

＋

mx

－

5

＝

0

是关于

x

的一元二次方程，则< /p>

m

满足的条件是…（

）

（

A

）

m

≠

1

（

B

）

m

≠

0

< br>（

C

）

|

m

|

≠

1

（

D

）

m

＝±

1

5

、关于

x

的方程

3

x



2

x



6



0

中

< br>a

是

；

b

是

；

c

是

。

6

、方程



3

x



2







x



5







< br>3

x



2



x



5





49

的一般形式为

。

2

2

7

、方程

(m-5)(m-3)x

m



2

+(m-3)x +5=0

中，当

m

为何值时，此方程为 一元二次方程

?

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