一元一次方程复习教案
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七年级（上）第五章复习
一元一次方程
一、等式的概念和性质
1
．
等式的概念，用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，
分别
叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算
律、运算法则．
2
．
等式的类型
（
1
）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式
1
2
3
．
（
2
）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程
x
5
6
需要
x
< br>1
才成立．
（
3
）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如
1
2
5
，
x
1
x
1
．
注意：等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．
3
．
等式的性质
等式的性质
1
：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若
a
b
，则
a
m
b
m
；
等式的性质
2
< br>：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是
0
）
或同一个整式，所得结果仍是等
式．若
a
b
，则
am
bm
，
a
b
(
m
<
/p>
0)
．
m
m
注意：
（
1
）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以
，
不能漏掉某一边．
（
2
）等式
变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
< br>（
3
）
在等式变形中，
以下两个性质也经常用到：
①等式具有对称性，
即：
如果
a
b
，
那么
b
a
．
②
等式具
有传递性，即：如果
a
b
，
b
c
，那么
a
c
．
二、方程的相关概念
<
/p>
1
．
方程，含有未知数的等式叫作方程．
注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是
用等
号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．<
/p>
2
．
方程的次
和元
方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同
未知数的个数称为元．
3
．
方程的已知数和未知数
已知数：一般是具体的数值，如
x
5
0
中（
x
的系数是
1
，是已知数．但可以不说
）
．
5
和
0<
/p>
是已
知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有<
/p>
a
、
b
、
c
、
m
、
n
等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用
x
、
y
、
z
等字母表示
．如：关于
x
、
y
的方程
ax
2
< br>by
c
中，
< br>a
、
2
b
、
c
是已知数，
< br>x
、
y
是未知数．
4
．
方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
5
．
解方程
求得方程的解的过程．
注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．
6
．
方程解
的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、
< br>右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．
三、一元一次方程的定义
1
．
一元一次方程的概念
< br>只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
1
，系数不
等于
0
的方程叫做一
元一次方程，这里
的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
2
．
一元一次方程的形式
标准形式：
ax
b
0
（其中
a
0
，
a
，
b<
/p>
是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．
最简形式：方程
ax
b
（
a
0
，
a
，
b
为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
注意：<
/p>
（
1
）
任何一元
一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，
可
以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程
x
2
2
x
1
x
2
< br>
6
是一元一次方程．如果不变形，直
< br>接判断就出会现错误．
（
2
）方程
ax
< br>
b
与方程
ax
b
(
a
0)
是不同的，方程
ax
b
的解需要分类讨论完成．
四、一元一次方程的解法
1
．
解一元一次方程的一般步骤
（
1
）去分母：在方程的两边都乘以各分母
的最小公倍数．
注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个
整
体，含有多项式时应加上括号．
（
2
）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号
．
注意：不要漏乘括号里的项，不要
弄错符号．
（
3
）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．
注意：①移项
要变号；②不要丢项．
（
4
）合并同类项：把方程化成
ax
b
的形式．<
/p>
注意：字母和其指数不变．
（
5
）系数化为
1
：在方程的两边都除以未知数的系数
a
（
a
0
）<
/p>
，得到方程的解
x
b
．
注意：不要把
a
分子、分母搞颠倒．
2
．
解一元一次方程常用的方法技巧
解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆
添项以及运用分式的恒等变形等．
3
．
关于
x
的方程
ax
b
解的情况
⑴
当
a
0
时，
x
⑵
当
a
，
< br>b
0
时，方程有无数多个解
⑶
当
a
0
，
b
0
时，方程无解
练习
1
、等式的概念和性质
1.
下列说法不正确的是（
）
A
．等式
两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式．
<
/p>
B
．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式．
C
．等式两边都除以一个数，所得结果
仍是等式
．
D
．一个等式的左、右两边与另一
个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式．
2.
根据等式的性质填空．
（
1
）
a
4
b
< br>，则
a
b
；
（
3
）
6
x
8
y
< br>
3
，则
x
；
练习
2
、方
程的相关概念
（
2
< br>）
3
x
5
9
，则
3
x
9
<
/p>
；
< br>1
（
4
）
x
y
2
，则
x
．
2
1.<
/p>
列各式中，哪些是等式哪些是代数式，哪些是方程
8
①
3
a
< br>
4
；②
x
2
y
8
；③
5
3
2
；④
x<
/p>
1
y
；⑤
6
x
x
1
；⑥
3
；
x
⑦
3
y
2
y
0
；⑧
2
a
2
3
a
2
；⑨
3
a
2
a
．
2.
判断题．
（
1
）所有的方程一定是等式．
<
/p>
（
2
）所有的等式一定是方程．
（
3
）
4
x
2
< br>x
1
是方程．
（
4
）
5
x
1
不是方程．
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
5
）
7
x
8
x
不是等式，因为
7
x
与
8
x
不是相等关系．
< br>
（
6
）
5
5
是等式，也是方程．
（
7
）“某数的
3
倍与
6
的差”的含义是
3
x
6
，
它是一个代数式，而不是方程．
（
）
练习
3<
/p>
、一元一次方程的定义
1.
在下列方程中哪些是一元一次方程哪些不是说明理由：
< br>（
1
）
3x+5=12
；
（
2
）
x
1
< br>x
x
-
3
2
+
=5
；
（
3
）
2x+
y=3
；
（
4
）
y
+5y
－
6=0
；
（
5
）
=2.
3
2
x
2.
已知
(
k
1)
x<
/p>
2
(
k
1)
x
3
0
是关于
x
的一元一次方程，求
k
的值．
m
1
m
2
x
3.
已知方程
4
7
是关于
x
的一元一次方程，则
m=_________
4.
已知方程
(
a
2)
x
a
1
<
/p>
4
0
是一元一
次方程，则
a
；
x
．
练习
4<
/p>
、一元一次方程的解与解法
1
）一元一次方程的解
一
)
、根据方程解的具体数值来确定
1.
若关于
x
的方程
2
x
3
2.
若
x
3
是方程
1
x
a
的解是
x
2
，则代数式
a
2
的值是
_________
。
3
a
1
x
2
<
/p>
b
的一个解，则
b
．
3
3.
某同学在解方程
5
x
1
x
3
，把
处的数字看错了，解得
< br>x
4
，该同学把
看成
3
了
．
1.
二
)
、
根据方程解的个数情况来确定
关于
x
的方程
mx
4
3
x
n
，
分别求
m
，
n
为何值时，
原方程：
(1)
有唯一解；
(2)
有无数多解；
(3)
无解．
2.
已
知
关
于
x
的
方
程
2
a
(
x
1)
(5
a
)
x
3
b
有
< br>无
数
多
个
解
，
那
么
a
，
b
．
3.
已知
方程
ax
3
2
x
b<
/p>
有两个不同的解，试求
(
a
b
)
1999
的值．
三
)
、
根据方程定解的情况来确定
1.
若
a
，
关于
x
的一元一次方程
b
为定值，
无论
k
为何值时，它的解总是
x
1
，求
a
和
b
的值．
2.
当
a<
/p>
取符合
na
3
0
的任意数时，
式子
n
的值．
< br>2
ka
x
bx
2
，
3
6
ma
2
的值都是一个定值，
其中
m
n
6
，
求
m
< br>，
na
3
四
)
、根据方程整数解的情况来确定
1.
已知
m
为
整数，关于
x
的方程
x
6
mx
< br>的解为正整数，求
m
的值．
2.
已知关于
x
的
方程
9
x
3
kx
14
有整数解，那么满足条件的所有整数
k
=
3.
若方
程
解．
25
x
5<
/p>
x
a
142
有一个正整数解，则
a
取的最小正数是多少并求出相应方程的
2
8