2016全国卷1理科数学及答案详解
-
2016
年全国卷Ⅰ（理科）数学试卷
一、选择题（每小题
5
分）
1.
设集合
A
x
|
x
4
x
3
0
，
B
x
|<
/p>
2
x
3
0
，则
A
B
（
）
2
A.
(
3
,
)
B.
(
3
,
)
C.<
/p>
(
1
,
)
D.
(
,<
/p>
3
)
3
2
3
2
3
2
3
2
2.
设
(
1
< br>
i
)
x
1
yi
，其中
x
，
y
是实数，则
x
yi
< br>
（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
2
3.
已知等差数列
< br>
a
n
前
9
项的和为
27
< br>，
a
10
8
，则
a
100
< br>
（
）
A.100
B.99
C.98
D.97
4.
某公司的班车在
7:
30
，
8 :00
，
< br>8:30
发车，
小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车，
且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是（
）
A.
1
1<
/p>
2
3
B.
C.
D.
3<
/p>
2
3
4
x
2
y
2
1
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为<
/p>
4
，则
n
的取<
/p>
5.
已知方程
2
m
n
3<
/p>
m
2
n
值范围是（
）
A.
(
<
/p>
1
,
3
)
B.
(
1
,
3
)
C.<
/p>
(
0
,
3
)
D.
(
0<
/p>
,
3
)
6.
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条互相垂直的半径，若该几
何体的体积是
28
，则它的表面积是（
）
3
A.17
π
B.18
π
C.20
π
D.28
π
7.
函数
y
2
x
2
<
/p>
e
x
在
[
﹣
2
，
2]
的图像大致为（
）
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
< br>）
8.
若
< br>a
b
1
，
0
c
1
，则（
）
A.<
/p>
a
b
B.
ab
ba<
/p>
C.
a
log
b
c
b
log
a
c
D.
log
a
c<
/p>
log
b
c<
/p>
c
c
c
c
9.
执行右面的程序框图，
如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
1
< br>，
则输出
x
，
< br>y
的值满足
（
）
A.
y
2
x
B.
y
3
x
< br>C.
y
4
x
D.
y
5
x
10.
以
抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，
交
C
的准线于
D
、
E
两点，
已知
AB
4
2
，
DE
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为（
）
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
<
/p>
11.
平面
过
正方体
ABCD
A
< br>1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
∥
平
面
CB
1
D
1
，
平面<
/p>
ABCD
m
平面
ABB
1<
/p>
A
1
n
，则
m
，
n
所成角的正弦值为（
）
A.<
/p>
3
2
3
1
B.
C.
D.
2
2<
/p>
3
3
12.
<
/p>
已知函数
f
(
x
)
sin(
x
)<
/p>
（
0
，
2
）
，
x
4
为
f
(
x
)
的零点，
x
4
为
5
y
f
(
x
)
图像的对称
轴，且
f
(
x
)
在
(
,
)<
/p>
单调，则
的最大值为（
）
18
36
A.
11
B.
9
C.
7
D.
5
二、填空题（每小题
5
分）
13.
设向量
a
(
m
,
1
)
，
b
(
< br>1
,
2
)
，且
a
b
a
b
，则
m
_______
< br>
2
2
2
14.
(
2
x
x
)
5
的展开式中，
< br>x
3
的系数是
_______<
/p>
（用数字填写答案）
15.
设等比数列
a
n
满足
< br>a
1
a
3
10
，
a
2
a
4<
/p>
5
，则
a
1
a
2
a
n
的最大值为
___
_____
16.
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种新型材料，生产一件产品
A
需要甲
材料
1.5kg
，乙材料
1kg
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
，
乙材料
0.3kg
，
用
3
个工时
.
生产一件产品<
/p>
A
的利润为
2100
元，生产一件产品
B
的利润为
90
0
元，该企业
现有甲材料
150kg<
/p>
，乙材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的
利润之和的最
大值为
____________
元
三、解答题
17.
（本小题满分
12
分）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2
cos
C
(
a
cos
B
b
cos
A
)
c
（
1
）求
C
（
2
）若<
/p>
c
7
，
ABC
的面积为
3
3
，求
AB
C
的周长
2
18.
（本小题满分
12
分）
如图，
在以
A
，
B
，
C
，
D
，
< br>E
，
F
为顶点的五面体中，
面
ABEF
为正方形，
AF
2
FD
，
AFD
90
°，且二面角
D
AF
E
与二面角
C
BE
F
都是
60
°
（
1
）证明：平面
ABEF
平
面
EFDC
（
2
）求二面角
E
< br>
BC
A
的余弦值
19.
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2<
/p>
台机器，
该种机器使用三年后即被淘汰
.
机器有
一易损零件，
在购进机器时可以
额外购买这种零件作为备件，
每个
200
元
.
在机器使用期间，
如果备件不
足再购买，则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为
此搜集并整理了<
/p>
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状
图：
以
这
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
< br>1
台机器更换的易损零件数发生的概率，
记
X
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件数
表示
2
台机器三年内共需更换的易损零件数，
（
1
）求
X
的分布列<
/p>
（
2
）若要求
P
(
X
n
)
0
.
5
，确定
n
的最小值
（
3
）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，
在
< br>n
19
与
n
20
之中选其一，
应选
用哪个？
20.
（本小题满分
12
分）
设圆
x
y
2
< br>x
15
0
的圆心为
A
，
< br>直线
l
过点
B
< br>(
1
,
0
)
且与
x
轴
不重合，
l
交圆
A
于
C
，
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
（
1
）证明：
EA
EB
为定值，并
写出点
E
的轨迹方程
2
2
（
2
）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M
，
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
，
Q<
/p>
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
21.
（本小题满分
12
分）已知函数
f
(
x
)
(
x
2
)
e
a
(
x
1
)
有两个零点
（
1
）求<
/p>
a
的取值范围
（
2
）设
x<
/p>
1
，
x
2
是
f
(
x
)
的两个零点，证明：
x
1
x
2
<
/p>
2
请考生
在
22
、
23
、
24
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写
清题号
22.
（本小题满分
10
分）选修
4
-
1
：几何证明选讲
如图
，
OAB
是等腰三角形，
AOB
120
°，以
O
为圆心，
x
2
1
OA
为半
径作圆
2
（
1
）证明：直线
AB
与⊙
O
相切
（
2
）点
C
< br>，
D
在⊙
O
上，且
A
，
B
，
C
，
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
23.
（
本小题满分
10
分）选修
4
-
4
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xoy
中，曲线
c
1
的参数方程为
<
/p>
x
a
cos
t
（
t
为参数，
a
0
）
.
在以坐标
y
1
a
sin
t
原点为
极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
< br>c
2
：
cos
（
1
）说明
c
1
是哪种曲线，并将
c
1
的方程化为极坐标方程；
（
2
）直线
c
3
的极坐标方程为：
0
，其中
0
满足
tan
0
2
，若曲线
c
1
与
c
2
的公共点
都在
c
3
上，求
a
24.
（本小题满分
10
分）选修
4
-
5
：不等式选讲
已知函数
f
(<
/p>
x
)
x
1
2
x
3
（
1
）在答题卡第（
24
）题图中画出
y
f
(
x
)
的图
像
（
2
）求
不等式
f
(
x
)
1
的解集
答案
单选题
1.
D
2.
B
3.
C
4.
B
5.
A
6.
A
7.
D
8.
C
9.
C
10.
B
11.
A
12.
B
填空题
13.
14.
15.
16.
简答题
17.
18.
19.
见解析
20.
21.
22.
19
23.
24.
（
）
25.
26.
；
27.
见证明。
28.
见解析
29.
见解析
30.
圆
,
31.
1
32.
33.
解析
单选题
1.
试
题
分
析
：
因
为
，
，故选
D
。
2.
因为
所以
故
选
B.
所
以
3.
试题分析：由已知
,
选
C.
4.
试题分析：如图所示，画出时间轴：
所以
故
小明
到达的时间会随机落在途中线段
中，而当他的到达时间线段
或<
/p>
时，才能
，故选
B.
办证他等车的时间不超过
10
分
钟，根据几何概型，所求概率
5.
试题分析：
表示双曲线，则
∴
，由双曲线性质知：
，其中
< br>是半焦距
∴焦距
,
解得
，∴
，故选
A.
6.
试题分析：该几何体直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的
,
设球的半径为
,
则
,<
/p>
解得
,
所以它
故
选
A
．
的表
面积是
的球面面积和三个扇形面积之和
7.
试题分析：函数
在
，
所以排除
上是偶函数
，其图像关于
选项；
当
时，
时，
轴对称，因为
有一零点，
设为
，当
时，
为减函数，当
为增函数
.
故选
D.
8.
试题分析：
用特殊值法，
令
选项
B
错误，
，
，
得
，
选项
A
错误，
，
，选项
C
正确，
，选项<
/p>
D
错误，故选
C
．
9.
试题
分析：当
时
，
，
，满足
不
满
，不满足
足
；
；
，则输出的
；输出
的值满足
，故选
C.
10.
试题解析：
如图，
设抛物线方程为
，
交
轴于
点，
则
，
即
点
纵
坐
标
为
，
则
点
横
< br>坐
标
为
，
即
，
由
勾
股
定
理
知
，
,
即
，
解得
，即
的焦点到准线的距离为
4
，故选
B.