2016全国一卷理科数学高考真题及答案
-
2016
年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
理科数学
一
.
选择题
：本大题共
12
小题
,
每小题
5
分
,
在每小题给出的四个选项中
,
只有一项是符合题目要求
的
.
1.<
/p>
设集合
A
x<
/p>
x
4
x
3
0
，
x
2
x
3
0
,
则
A
I
B
（<
/p>
A
）
3,
2
3
3
< br>
3
3
3,
1,
（
B
）
（
C
）
（
D
）
,3
2
2
2
2
2.
设
(
1
i
)
x
1
yi
，其中
x
,
y
是实数，则
x
<
/p>
yi
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
2
3.
已知等差数列
a
n
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
100
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
4.
某公司的班车在
7:00
，
8:00
，
8:30
发车，小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车，且到达
发车站的
时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
1
1
2
3
（
A
）
< br>
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
2
3
4
x
2
y
2
1
表示双曲线，
且该双曲线两焦点间的距离为
4,
则
n
的取值范围是
5.
已知方程
2
m
n
3
m
2<
/p>
n
（
A
）
1
,3
（
B
）
< br>1,
3
（
C
）
0,3
（
D
）
0,
3
6.
如图
,
某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直
的半径
.
若该几何体的体积是
28
,
则它的表面积是
3
（
A
）
17
（
B
）
18
（
C
）
20
（
D
）
28
2
7.
函数
y
2
x
e
在
2,2
的图像大致为
x
（
A
）
（
C
）
2
y
y
1
1
2
O
x
2
（
B
）
2
O
2
x
y
y
1
O
1
2
x
< br>（
D
）
2
O
2
x
8.
若
a<
/p>
b
10
，
c
1
,
则
（
A
）
a
< br>c
b
c
（
B
）
ab
c
<
/p>
ba
c
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
9.
执行右面的程序框
图
,
如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
<
/p>
1
,
则输出
x<
/p>
,
y
的值满足
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
< br>4
x
（
D
）
y
5
x
10.
以
抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，
交
C
的准线
于
D
、
E
两点
.
已知
|
AB
|=
4
2
,|
DE|=
2
5
,
则
C
的焦点到准线
的距
离为
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
11.
平面
过正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
,
开始
输入
x,y,n
n-
1
，
y=ny
2<
/p>
n=n
+1
否
x
=
x+
<
/p>
I
I
3
2
3
1
知函数
2
2
3
3
是
x
2
+
y
2
≥
36
？
输出
x,y
f
(
x
)
sin(
x+
)(
< br>0
，
点
,
x
2
),
x
<
/p>
4
为
f
(
x
)
的零
结束
4
为
y
f
(
x
)
图像的对称轴，且
f
(
x
)
在
5
< br>，
单调，
18
36
则
< br>
的最大值为
（
A
）
11????????
（
B
）
9?????
< br>（
C
）
7????????
（
D
）
5
二、填空题：本大题共
3
小题
,
每小题
5
分
13.
设向量
a
=(
m
,1)
，
b
=(1,2)
，且
|
a
+
b
|
2
=|
a
|
2
+|
b
|
2
，则
m
=
．
14.
(
2
x
x
)<
/p>
5
的展开式中，
x
3
的系数是
．
（用数字填写答案）
15.
设等比数列
a
n
满足
a
1
+
a
3
=10
，
a
2
+
a
4
=5
，则
a
1
a
2
…a
n
< br>的最大值为
．
16.
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品
A
需要甲材料，
乙材料
1kg
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料，乙材料，用
3
个工
时．生产一件产品
A
的利润为
2100
元，生产一件产品
B
的利润为
900
元．该企业现有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，
则在不超过
600
个工时的条件下，生产产品
< br>A
、产品
B
的利润之和的最大值
为
元．
三<
/p>
.
解答题：解答应写出文字说明
,
证明过程或演算步骤
.
17.
（本小题满分为
12
分）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2cos
C
(
a
< br>cos
B+b
cos
A
)
c
.
（
I
< br>）求
C
；
（
II
）若
c
7
，
ABC
的面积为
3
< br>3
，求
ABC
的周长．
2
18.
（本小题满分为
12
分）如图，在以
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方
形，
AF
=2
FD
，
AFD
90
< br>，且二面角
D
-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
-
F
都是
60
．
（
I
）证明：平面
ABE
F
平面
EFDC
；
（
II
）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值．
o
o
D
C
F
19.
（本小题满
分
12
分）某公司计划购买
2
台机器
,
该种机器使用三年后即被淘汰
.
机器有一易损零
件
,
在购进机器时
,
可以额外购买这种零件
作为备件
,
每个
200
元
.
在机器使用期间
,
如果备件不足再购
买
,
则每个
500
元
.
< br>现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件
,
为此搜
集并整理了
100
台这种
机器在三年使
用期内更换的易损零件数
,
得下面柱状图：
以这
100
< br>台机器更换的易损零件数的频率代替
1
台机器
更换的易损零件数发生的概率
,
记
X
表示
2
台机器三年
内共需更换的易损零件数
,
n
< br>表示购买
2
台机器的同时
购买的
易损零件数
.
（
I
< br>）求
X
的分布列；
（
II
）若要求
P
(
X
n
)
0.5
,
确定
n
的最小值；
（
III
）以购买易损零件所需费用的期望
值为决策依据
,
在
n
< br>
19
与
n
20
之中选其一
,
应选用哪个
20.
（本小题满分
12
分）设圆
x
y
2
x
15
0
的圆心为
A
,
直线
l
过点
B
（
1,0
）且与
x
轴不重
合，
l
交圆
A
于
C
,
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
（
I
）证明
EA
<
/p>
EB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
（
II
）
设点
E
的轨迹为曲
线
C
1
，
直线
l
交
C
1
于
M
,
N
两点，
过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
,
Q
两
点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
2
2
频
数
40
20
0
8
9
10
11
更换的易损零件数
21.
（本小题满分
12
分）已知函数
f
x
x
2
e
x
a
<
/p>
x
1
有两个零点
.
(I)
求
a
的取值范围；
(II)
设
x
1
,
x
2
是
< br>f
x
的两个零点
,
证明：
x
1
x
2
< br>
2
.
请考生在
22
、
23
、
24
题中任选一题作答
,
如
果多做
,
则按所做的第一题计分
. <
/p>
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
如图，△
OAB
是等腰三角形，∠
AOB
=120°
.
< br>以
O
为圆心，
(I)
证明：直线
AB
与⊙
O<
/p>
相切；
(II)
点
C
，
D
在
⊙
O
上，且
A
，
B
，
C
，<
/p>
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
23.
（
本小题满分
10
分）选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
x
y
中，曲线
C
1
< br>的参数方程为
A
B
D
O
C
2
1
OA
为半径作圆
.
2
x
a
cos
t
（
t
为参数，
a
＞
0
）
．
y
1
< br>
a
sin
t
< br>在以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，
曲线
C
2
：
ρ
=
4
cos
.
（
I
）说
明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（
II
）直线
< br>C
3
的极坐标方程为
0
，其中
0
满足
tan
0
=2
，若曲线<
/p>
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上，求
a
．
24.
（本小题满分
10
分）选修
4
—
5
：不等式选讲
已知函
数
f
x
<
/p>
x
1
2
x
3
.
（
I
）画出
y
f
x
的图像；
（
II
）求不等式
f
x
1
的解集．
2016
年高考全国
1
卷理科数学参考答案
题号
答案
1
D
2
B
3
C
4
B
5
A
6
A
7
D
8
C
9
C
10
B
11
A
12
B
3
<
/p>
1.
A
x
x
2
4
x
3
0
x
< br>1
x
3
，
B
x
2
x
3
0
x
x
．
< br>
2
3
故
A
I
B
x
x
3
．
2
故选
D
．
x
1
x
1
2.
由
1
i
x
1
yi
可知：
x
xi
1
yi
，故
，解得：
．
y
1
x
y
2
2
所以，
x
yi
x
< br>
y
2
．
故
选
B
．
9<
/p>
a
1
a
9
9
2
a
5
3.
由等差数列性质可知：
S
9
9<
/p>
a
5
27
，故
a
5
3
，
2
2
a
a
5
而
a
10
< br>
8
，因此公差
d
10
1
10
5
< br>∴
a
100
< br>a
10
90
< br>d
98
．
故选
C
．
4.
如图所示，画出时间轴：
7:30
7:40
7:50
< br>A
8:00
C
8:10
8:20
D
8:30
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段
AB
中，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
时，才
能保证他等车的时间
不超过
10
分钟
10
10
1
根据几何概型，所求概率
P
<
/p>
．
40
2
故选
B
．
x
2
y
2
5.
2
2
1
表示双曲线，则
m
2
n
3
m
2
n
0
m
< br>
n
3
m
n
∴
m
2
n
3
m
2
由双曲线性质
知：
c
2
m
2
n
3
m
2
n
4
m
2
，其中
c
是半焦距
∴焦距
2
c
2
2
m
4
，解得
m
1
∴
1
n
3
故选
A
．
6.
原立体图如图所示：
1
是一个球被切掉左上角的
后的三视图
8
7
表面积是
的球面面积和三个扇形面积之和
8
7
1
S
=
4
2
2
+3
2
2
=17
8
4
故选
A
．
7.
f
2
8<
/p>
e
2
8
2.8
2
0
，排除
A
f
2
8
e
2
8
< br>2.7
2
1
< br>，排除
B
1
1
x
0
时，
f
x
2
x
2
e
x
f
x
4
x
e
x
，当
x
0,
< br>
时，
f
x
4
e
0<
/p>
0
4
4
1
因此
f
x
在
< br>
0,
单调递减，排除
C
4
故选
D
．
8.
对
A
：由于
0
c
1
，∴函数
y
x
c
在
R
上单调递增，因此
a
b
1
a
c
b
c
，
A
错误
对
B
：由于
1
c
1
0
，∴函数
< br>y
x
c
1
在
1
,
上单调递减，
∴
a
b
1
a
c
1
<
/p>
b
c
1
ba
c
ab
c
，
B
错误
a
ln
c
b
ln
c
ln
c
ln
c
对
C
：要比较
a
log
b
c
和
b
log
a
c
，只需比较
和
，只需比较
和
，只需
b
ln
b
ln
b
ln
a
b
ln
b
a
ln
a
和
a
ln
a
构造
函数
f
x
x
ln
x<
/p>
x
1
，则
f
'
x
ln
x
1
1
0
，
f
x
在
1,
上单调递增，
1
< br>1
因此
f
a
f
b
0<
/p>
a
ln
a
b
ln
b
0
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
又由
0
c
< br>1
得
ln
c
0
，∴
b
log
a
c
a
log
b
c
，
C
正
确
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
对<
/p>
D
：
要比较<
/p>
log
a
c
和<
/p>
log
b
c
，只
需比较
和
ln
a
ln
b
1
1
而函数
y
ln
x
在
1
,
上单调递增，故
a
b
< br>1
ln
a
ln
b
0
l
n
a
ln
b
l
n
c
ln
c
又
由
0
c
<
/p>
1
得
ln
c
0
，∴
log
a
c
log
b
c
，
D
错误
ln
a
ln
b
故选
C
．
9.
如下表：
循环节运
行次数
运行前
第一次
第二次
n
1
x
x
x
2
0 <
/p>
y
y
ny
1
判断
是否
输出
/
否
否
是
x
y
36
/
否
否
是
2
2
n
n
n
1
1
第三次
3
输
出
x
，
y<
/p>
6
，满足
y<
/p>
4
x
2
故选
C
．
0
1
2
3
2
1
2
2
3
6
10.
以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理