2016年高考理科数学试题及答案-全国卷
-
.
2016
年普通高等学校招生全统一考试（
全国
1
卷）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分
，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（
1
）设集合
A
x
x
2
4
x
3
0
，
B
x
2
x
3
0
< br>，则
A
B
（
A
）<
/p>
（
3
，
3
3
3
3
）
（
B
）
（
3
，
）
（
C
）
（
1
，
）
（
D
）
（
，
3
）
2
2
2
2
（
< br>2
）设
(
1
i
)
x
1
yi
，
其中
x
,
y
是
实数，则
x
yi
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
2 <
/p>
（
3
）已知等差数列
a
n
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
100
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
（
4
）某公司的班车在
7:30,8:00,8:30
发车，
小明在
7:50
至
8:30
之
间到达发车站乘坐班车，
且到达发车站的
时刻是随机的，则他等
车时间不超过
10
分钟的概率是
（
A
）
（
B
）
1
3
1
2
3
（
C
）
（
D
）
2
3
4
x
2
y
2
1
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4
，则
m
的取值范
围是
（
5
）已知方程
2
2
m
n
3
m
n
（
A
）
（
1
，
3
< br>）
（
B
）
（
1
，
3
）
（
C
）
（
0
，
3
）
（
D
）
（
0
，
3
）
（
6
）如图，
某几何体的三
视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．
若
该
几何体的体积是
28
，则它的表面积
是
3
（
A<
/p>
）
17
π
（
B
）
18
π
（
C
）
20
π
（
D
）
28
π
'.
.
2
的图象大致为
（
7
）函数
y
2
x
2
e
在
2
，
x
y
1
-2
O
2
x
-2
1
< br>O
y
1
2
x
-2
O
y
1
2
x
-2
O
y
2
x
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
（
8
）若
a
b
1
，
0
c
1
，则
< br>（
A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
（
9
）执行右图的程序框图，如果输入的
x
0
,
y
1
,
n
1
，则输出
x
,
y
的值满足
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
< br>
5
x
（
10
）以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A<
/p>
,
B
两点，交
C
的准线于
D
,
E
两点．已知
AB
< br>4
2
，
DE
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为
（
A
）
2
（
B
）
4
（
C
）
6
（
D
）
8 <
/p>
（
11
）平面
过正方体
ABCD
< br>A
1
B
1
C
1
D
1
的
顶点
A
，
∥
平面
CB
1
D
1
，
∩平面
ABCD
m
，
∩平
面
ABB
1
A
1
n
，则
m
,
n
所成角的正弦值为
（
A
）
3
3
2
1
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
2
2
3
（
12
）已知函数
f<
/p>
(
x
)
sin(
x
)
(
0
,
< br>)
，
x
为
f
(
x
)
的零点，
x
为
y
f<
/p>
(
x
)
图象
4
2
4
的对称轴，
且
f
(
x
)<
/p>
在
(
5
,
)
单调，则
的最大值为
1
8
36
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
'.
.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部
分。第
(13)
～
(21)
题为必考题，每个试题都必须作答。第
(22)
～
(24)
题为
选考题，考生根据要求作
答。
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分。
（
13
）设向量
a
(
m
,
1
)
，
b
(
1
,
2
)
，且
a
b
2
a
b
，则
< br>m
．
2
2
（
14
）
(
2
x
x
)
5
的展开式中，
x
3
的系数是
．
（用数字填写答案）
（
15
）设等比数列
a
n
满足
a
1
a
3
10
，
a
2
a
< br>4
5
，则
a
1
a
2
a
n
的最大值为
．
（
16
）某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料
.
生产一件
A
需要甲材料
1.5kg,
乙材料
1kg
，
用
5
个工时；
生产一件
B
需要甲材料
0.
5kg,
乙材料
0.3kg
，
用
3
个工时
.
生产一件
A
产品的利
润
为
2100
元，
生产一件
B
产品的利润为
900
元<
/p>
.
该企业现有甲材料
150kg
，
乙材料
90kg
，<
/p>
则在不超
过
600
工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
<
/p>
（
17
）（本小题满分
< br>12
分）
△
< br>ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
，已知
2
cos
C
(
a
cos
B
b
cos
A
)
c
.
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c
7
，
△
ABC
的面积为
3
3
.
求
△
ABC
的周长
< br>.
2
（
18
）（本小题满分
12
分）
如图，在以
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
AF
2
FD
，
AFD
90
，且二面角
D
AF
E
与二面角
D
C
E
'.
A
F
B
. <
/p>
C
BE
F
都是
60
°
.
（Ⅰ）证明：平面
ABEF
⊥平面
EFDC
；
（Ⅱ）求二面角
E
BC
A
的余弦值
< br>.
（
19
）（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，该种机器使用三年后被淘汰
.
机器有一易损零件，在
购买机器时，可
以额外购买这种零件为备件，
每个
200
元
.
在机器使用期间
，
如果备件不足再购买，
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买
几个易损零件，为此搜
集并整理了
100
台这种三年使用期内更换的易损零件，得
下面柱状图：
以这
100
台机器更换的易损零件数的频率
代替
1
台机器
更换的易损零件数发生的
频率，
记
X
表示
2
台机器三年内
共需更换的易损零件数，
n
表示购买
2
台机器的同时购买的
易损零件数
.
（Ⅰ）求
X
的分布列；
（Ⅱ）若要求
P
（
X
n
）
0
.
5
，确定
n
的最小
值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在<
/p>
n
19
与
n
20
之中选其
一，应选用哪
个？
（
20
）（
本小题满分
12
分）
设圆
x
y
2
x
15
0
的圆心为
A
，
直线<
/p>
l
过点
B
(
1
,
0
)
且与
x
轴不重合，
l<
/p>
交圆
A
于
C
,
D
两
点，过
B
作
AC
的平行线
交
AD
于点
E
.
（Ⅰ）证明
EA
EB
为定值，并写出点
E
的轨
迹方程；
'.
2
< br>2
频数
40
20
O
8
9
10
< br>11
更换的易损零件数
.
（Ⅱ
）
设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，
直线
< br>l
交
C
1
于
M
,
N
两
点，
过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
,
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
（
21<
/p>
）（本小题满分
12
分）
已知函数
f
(
x
)
(
x
2
)
e
a
(
x
1
)<
/p>
有两个零点
.
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设<
/p>
x
1
,
x
2
是
f
(
x
)
的两个零点，证明：
x
1
x
2<
/p>
2
.
请考生在第（
22
< br>）
、
（
23
）
、
（
24
）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（
22
）（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
< br>
如图，
△
OAB
是等腰三角形，
AO
B
120
.
以
O
为圆心，
（Ⅰ）证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
（Ⅱ）点
C
,
D
在⊙
O<
/p>
上，且
A
,
B<
/p>
,
C
,
D
四点共圆，证明：
x
2
1
OA
为半径作圆
.
2
D
O
A
< br>C
AB
∥
CD
< br>.
（
23
）（本小题满分
10
分）选修
4-4
：坐标系与参数方程
B
x
a
cos
t
,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为
(
t
为参数，
a
0
).
在以坐标原点
y
1
a
sin
t
,
'.
.
为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：
<
/p>
4
cos
.
（Ⅰ）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为
极坐标方程；
（Ⅱ）
直线
C
3
的极坐标方程为
<
/p>
0
，
其中
0
满足
tan
0
2
，
若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上，求
a
.
<
/p>
（
24
）（本小题满分
< br>10
分）选修
4-5
：不等式选
讲
已知函数
f
(
x
)
x
1
<
/p>
2
x
3
.
（Ⅰ）在答题卡第（
24
）题图中画出
y
f
(
x
)
的图像；
（Ⅱ）求不等
集
.
y
1
o
1
x
'.
式
f
(
x
)
1
的解
.
2016
年全国卷Ⅰ高考数学（理科
）答案与解析
一、选择题
【答案】
（
1
）
D
（
2
）
B
（
3
）
C
（
4
）
B
（
5
）
A
（
6
）
A
（
7
）
D
（
8
）
C
（
9
）
C
（
10
）
B
（
11
）
A
（
12
）
B<
/p>
【解析】
（
1
）
A
x
x
2
4
x
3
0
x
< br>1
x
3
，
B
x
2
x
3
0
x
x
< br>
3
，∴
2
3
<
/p>
A
B
x
x
3
．
2
x
1
x
1
2<
/p>
2
，
解得：
，<
/p>
∴
x
yi
x
y
2
．
x
y
< br>y
1
（
2
）∵
(
1
i
)<
/p>
x
1
yi
即
x
xi
1
yi
∴
'.
.
（
3
）∵
S
9
9
(
a
1
a
9
)
9
2
a
5
< br>a
a
5
9
a
5
27
∴
a<
/p>
5
3
，∵
a
10
8
∴
d
10
1
，∴
2
2
10
5
a
100
a
10
90
d
98
．
（
4
）如图所示，画出时间轴：
7:30
7:40
7:50
A
8:00
C
8:10
8:20
D
8:30
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段
AB
中，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
时，才
能保证他等车的时间不超过
10
分钟，
根据几何
概型，所求概率
p
10
10
1
．
40
2
< br>x
2
y
2
2
2
2
2
1
(
m
n
)(
3
m
n
)
0
（
5
）
2
表示双曲线，则
，∴
，
m
n
3
m
2
m
< br>n
3
m
n
2
c
4
∵
2
2
2
2
c
(
m
n
)
< br>(
3
m
n
)
4
m
解得
m
2<
/p>
1
，∴
1
n
3
．
（
6
）原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的
1/8
后的三视图，
< br>表面积是
7/8
的球面面积和三个扇形面积之和，
∴
S
7
1
4
2
2
3
2
2
17
8
4
2
2
2
2
（
7
）
f
(
2
)
< br>8
e
8
2
.
8
0
，排除
A
；
f
(
2
)
8
e
8
2
.
7
< br>1
，排除
B
；
< br>
1
1
x
0
时，
f
(
x
)
2<
/p>
x
2
e
x
，
f
(
x
)
4
x
e
x
，当
x
(
0
,
)
时，
f
(<
/p>
x
)
4
e
0
0
∴
4
4
1
f
(
x
)
在
(
0
,
)
单调递减，排除
C
；
4
故选
D
'.
.
c
c
（
8
）对
A
：由于
0
c
1
，∴函数
y
x
c
在<
/p>
R
上单调递增，因此
a
< br>
b
1
a
b
，
A
错误；
对
B
：由于
1
c
1
0
，∴函数
y<
/p>
x
c
1
在
1,
上单调递减，
∴
a
b
1
a
c
1
b
c
1
< br>
ba
c
ab
c
，
B
错误
对
C
：要比较
a
log
b
< br>c
和
b
log
< br>a
c
，只需比较
和
a
ln
a
a
ln
c
b
< br>ln
c
ln
c
< br>ln
c
和
，只需比较
和
，只需
b
ln
b
ln
b
ln
a
b
ln
b
a
ln
a
构造函数
f
x
x
ln
x
x
1
< br>
，则
f
'
x
ln
x
1
1
0
，
f
x
在
1,
上单调递增，因此
f
a
f<
/p>
b
0
a
ln
a
b
ln
b
0
又由
0
c
< br>
1
得
ln
c
0
，∴
1
1
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
b
log
a
c
a
log
b
c
，
C
正确
a
ln
a
b
ln
b
ln
c
ln
c
和
ln
a
ln
b
对
D
：要比较
log
a
c
和
log
b
c
，只需比较
而
函数
y
ln
x
在
1,
上单调递增，故
a
b
1
ln
a
ln
b
0
又由
0
c
1
得
ln<
/p>
c
0
，∴
故选
C
．
1
1
ln
a
ln
b
ln
c
ln
c
log
a
c
log
b
c
，
D
错误
ln
a
ln
b
1
【
2
°用特殊值法，令
a
3
,
b
2
,
c
得
3
2
2
2
，排除
A
；
3
2
2
< br>
2
3
2
，排除
B
；
2
3
log
2
1
1
1
2
log
3
2
，
C
正确；
log
3
log
2
，排除
D
；∴选
C
< br>】
2
2
2
判断
循环节运
行次数
1
1
1
1
n
1
<
/p>
x
x
x
2
y
y
ny
< br>
是否
x
2
y
2
36
输出
/
否
否
/
否
否
n
n
n
1
运行前
第一次
第二次
0
1
1
0
1
2
1
2
2
3
'.
.
（
9
）如下表：
输出
x
第三次<
/p>
3
2
6
是
是
3
，
y
6
，满足
y
4
x
，
故选
C
．
2
（
10
）以开口向右的
抛物线为例来解答，其他开口同理
2
2
2
2
y
<
/p>
2
px
x
y
r
设抛物线为
，题目条件翻译如图：
p
0
，设圆的方程为
F
设
A
x
0
,2
2
p
，
D
,
2
5
，
2
点<
/p>
A
x
0
,2
2
在抛物线
y<
/p>
2
px
上，∴
8
2
px<
/p>
0
……①
2<
/p>
p
p
D
,
5
5
r
2
2
在圆
x
2
y
2
r
2
上，∴
点
2
……②
A
x
0
,2
2
点
在圆
x
2
2
y
2
< br>
r
2
上，∴
< br>x
0
8
r
2
……③
联立①②③解得：
p
4
，焦点到准线的距离为
p
4
．
'.