2016-2017年数学全国卷3
-
2017
年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学
考试时间：
120
分钟
满分：
150
分
一、单选题
（本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。）
1
．已知集合
A
=
A. 3
B. 2
C.
1
，
B
=
D.
0
，则
A
B
中元素的个数为
(
)
2
．设复数
z
满足
(1
+i)
z
=2i
，则∣
z
∣
=(
)
A.
B.
C.
D. 2
3
．某城市为了解游客人数
的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了
2014
年
1
月至
2016
年
12
月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的
折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
(
)
A.
月接待游客量逐月增加
B.
年接待游客量逐年增加
C.
各年的月接待游客量高峰期大致在
7,8
月
D.
< br>各年
1
月至
6
< br>月的月接待游客量相对于
7
月至
12
月，波动性更小，变化比较平稳
4
．
A.
的展开式中
B.
的系数为
(
)
C. 40
D. 80
5
．已知
双曲线
C
：
(
a
＞
0,
b
＞
0)
的一条渐近线方程为
,
且与椭圆
有公共焦点，则
C
的方程为
(
)
A.
B.
C.
D.
6
．设函数
A.
B.
，则下列结论错误的是
(
)
的一个周期为
对称
的图像关于直线
C.
的一个零点为
D.
在
(
,
)
单调递减
7
．执行下面的程序框
图，为使输出
S
的值小于
91
，则输入的正整数
N
的最小值为
(
)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
8
．已知圆柱的高为
1
，它的两个底面的圆周在直径为
2
的同一个球的球面上
，则该圆柱的
体积为
(
)
A.
B.
C.
D.
9
．
等差数列
为
(
)
A.
的首项为
< br>1
，公差不为
0
．若
a
2
，
a
3
，
a
6
成等比数列，则
前
6
项的和
B.
C. 3
D. 8
10
．已知椭圆
C
：
径的圆与直线
的左、右顶点分
别为
A
1
，
A
2
，且以线段
A
1
A
2
为直
相切，则
C
的离心率为
(
)
A.
B.
C.
D.
11
．已知函数
有唯一零点，则
a
=(
)
A.
B.
C.
D. 1
12
．在矩形
ABCD
中，
AB
=1
，
AD
=2
，动点
P
在以点
C
为
圆心且与
BD
相切的圆上
.
若
，则
的最大值为
(
)
A. 3
B. 2
C.
D. 2
二、填空题
（本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。）
< br>
13
．若
< br>，
满足约束条件
，则
的最小值为
__________.
14
．设等
比数列
满足
a
1
+
a
2
=
–
1,
a
1
–
a
3
=
–
3
，则
a
4<
/p>
= ___________.
15
．设函数
，则满足
的
x
的取值范围是
_________.
16
．
a
，
b
为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形
ABC
的直角边
AC
所在直线与
a
，
b
都垂直，斜边
AB<
/p>
以直线
AC
为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线
AB
与
a
成
60
°角时，
AB
与
b
成
30
°角；
< br>②当直线
AB
与
a
成
60
°角时，
AB
与
b
成
60
°角；
③直线
AB<
/p>
与
a
所成角的最小值为
< br>45
°；
④直线
AB
与
a
所成角的最大值为
60
°
.
其
中正确的是
________.
（填写所有正确结论的编号）<
/p>
三、解答题
17
．（
12
分）
< br>
的内角
A
，
< br>B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.
已知
（
< br>1
）求
c
；
（
2
）设
D
为
BC
边上一点，且
AD
18
．（
1
2
分）
某超市计划按月订购一种酸奶
，每天进货量相同，进货成本每瓶
4
元，售价每瓶
6
元，未
售出的酸奶降价处理，以每瓶
2
元的价格当天全部处理完
.
根据往年销售经验，每天需求量
与当天最高气温（单位：℃）有关
.
如果最高气温不低于
25
，需求
量为
500
瓶；如果最高气
温位于区间
[20
，
25
），需求量为
300
瓶；如果最高气温低于
20
，需求量为
200
瓶．为了<
/p>
确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布
表：
AC,
求△
ABD
的面积
.
，
a
=2
,
b
=2.
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率
.
（
1
）求六月份这种酸奶一天的需求量
X
（单位：瓶）的分布列；
（
2
）设六月份一天销售这种酸奶的利润为
Y
（单位：元）
.
当六月份这种酸奶一天的进货
量
n
（单
位：瓶）为多少时，
Y
的数学期望达到最大值？
19
．（
1
2
分）
如图，四面体
ABCD
中，△
ABC
是正三
角形，△
ACD
是直角三角形，∠
AB
D
=
∠
CBD
，
AB
=
BD
．
（
1
）证
明：平面
ACD
⊥平面
ABC
；
（
2
）过
AC
的平面交
BD
于点
E
，若平面
A
EC
把四面体
ABCD
分成体积相等
的两部分，求二面角
D
–
AE
–
C
的余弦值
.
20
．（
1
2
分）
已知抛物线
< br>C
：
y
2
=2
x
，过点（
2,0
）的直线
l
交
C
于
A
,
B
两点，圆
M
是以线段
AB
为直径的
圆
.
（
1
）证明：坐标原点
O
在圆
M
上；
（
2
）设圆
M
过点
< br>21
．（
12
分）
已知函数
（
1
）若
.
，求
a
的值；
，求直线
l
与圆
M
的方程
.
（
2
）设
m
为整数，且对于任意正整
数
n
，
值
.
，求
m
的最小
22
．选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23<
/p>
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
[
选修
4
4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）
在直角坐标系
xOy
中，直线
l
1
的参数方程为
（
t
为参数），直线
l
2
< br>的参数方程为
.
设
l
1
与
l
2
的交点为
P
，当
k
变化时，
P
的轨迹为曲线
C
.
（
1
）
写出
C
的普通方程；
（
2
）
以
坐
标
原
点
为
极
点
，
x<
/p>
轴
正
半
轴
为
极
轴
建
立
极
坐
标
系
，
设
，
M
为
l
3
与
C
的交点，求
M
的极径
.
23<
/p>
．选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选
一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
[
选修
4
5
：不等式选讲
]
（
10
分）
已知函数
f<
/p>
（
x
）
=
│
x
+1
│–│
x
–
2
│
.
（
1
）求不等式<
/p>
f
（
x
）≥
1
的解集；
（<
/p>
2
）若不等式
的解集非空，求
m
的取值范围
.
201
7
年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）
理科数学
参考答案
一、单选题
1.
B 2.
C 3.
A 4.
C 5.
B 6.
D 7.
D 8.
B 9.
A 10.
A 11.
C
12.
A
二、填空题
13.
14.
15.
16.
②③
.
三、简答题
17.
(1)
(2)
18.
(1)
分布列略；
(2) n=300
时，
Y
的数学期望达到最大值，最大值
为
520
元
.
19.
(1)
证明略；
(2)
.
20.
(1)
证明略；
(2)
见解析
21.
(1)
a
< br>=1
；
(2) 3
22.
（
1
）
23.
（
1
）
；（<
/p>
2
）
；（
2
）
解析详情
一、单选题
11.
函数的零点满足
，
设
，则
，
<
/p>
当
当
当
设
若
当
时，
时，
，当
，函数
时，
，函
数
单调递减，
单调递增，
，
时，函数取得最小值
，当
，函数
，
时，函数取得最小值
没有交点，
，
与函数
时
，此时函数
，故选
C.
与函数
有一个交点，
即
，解得
12.
如图，建立平面直角坐标系
.
设
,
易得圆的半径
< br>，即圆
C
的方程是
，
，若满足
，
则
，
，所以
，
设
，即
，点
在
圆
上，所以圆心
到直线
的距离
，即
，解得
，
所以
的最大值是
3
，
即
二、填空题
的最大值是
3
，故选
A.
15.
由题意：
，函数
在区间
三
段
区
间
，
内
均
单
调
递
增
，
且
可知
x
的取值范围是：
.
16.
由题意，
AB
是以
AC
为轴，
BC
为底面半径的圆锥的母
线，由
，即
AC
垂直底面，在底面内可以
过点
B
，作
，交底面圆
C
于
D
，如图，连结
DE
，则
，所以
，连接
AD
，等腰△
ABD
中，
，当直线
AB
与
a
成
60
º时，∠
A
BD
＝
60
º，
故
，又在
Rt
△
BDE
中，
BE
＝
2
，
，过
点
< br>B
作
BF//DE
，交圆
C
于点
F
，连接
AF
，由圆的对称性可
知
< br>BF
＝
DE
＝
< br>，所以△
ABF
为等边三角形，∠
ABF
＝
60
º，即②正确，①错误
，由最小角定理可知③正确，很明显可以满足平面
ABC
⊥直线
a
，直
线<
/p>
AB
与
a
成的最
大角为
90
º，④错误。
三、简答题
17.
（
1
）由已知得
，所以
.
在
△
ABC
中，由余弦定理得
解得：
(
舍
去
)
，
.
，即
.
（
2
）有题设可得
故△
ABD
面积与△
ACD
面积的比值为
又
△
ABC
的面积为
18.
（
1
）由题意知，
所有
可能取值为
200,300,500
，由表格数据知
，
因此
的分布列为
，
.
（
2
）由<
/p>
题意知，
这种酸
奶一天的
需求量至
多为
500
，
至少
为
200
，因<
/p>
此只需考
虑
.
当
时，
；
，则
；
.
；
若最高气温不低于
25
，则
若最高气温位于区间
若最高气温低于
20
，则
因此
当
时，
；
；
.
若最高气温不低于
20
，则
若最高气温低于
20
，则
因此
所以
n
=300
时，
Y
的数学期望达到最大
值，最大值为
520
元
.
19.
（
1
）由题设可得，
又
是直角三角形，所以
，从而
.
.
取
< br>AC
的中点
O
，连接
DO
,
BO
,
则
DO
⊥
AC
,
DO
=
AO
.
又由于
所以
在
又
故
是正三角形，故
为二面角
中，
，所以
.
.
的平面角
.
.
，
所以
平面
ACD
⊥平面
ABC
.
（
2
）由题设及（
1
）知，
方
向
，
两两垂直，以
为坐标原点，
的方向为
轴正
.
则
为
单
位
长
，
建
立
如
< br>图
所
示
的
空
间
直
角
坐
标
系
.
由题
设知，四面体
ABCE
的体积为四面体
ABCD
的体积的
为
D
到平面
ABC
的距离的
，即<
/p>
E
为
DB
的中点
，得
，从而
E
到平面
< br>ABC
的距离
.
故
.
设
是平
面
DAE
的法向量，则
即
可取
.
设
是平面
AEC
的法向量，
则
同理可取
.
则
.
所以二面角
D
-
AE
-
C
的余弦值为
.
20.
（
1
）设
由
可得
又
=4
因此
OA
的斜率与
OB
的斜率之积为
所以
OA
⊥
OB
，
故坐标原点
O
在圆
M
上<
/p>
.
（
2
）由（
1
）可得
.
故圆心
的坐标为
，圆
的半径
.
由
于
圆
过
点
，
< br>，
因
此
，
故
即
由（
1
）可得
.
，
所以
，解得
或
.
< br>当
时，直线
的方程为
，圆
的方程为
，圆心
.
的坐标为
，圆
的半径为
当
为
时，直线
的方程为
，圆
的方程为
，圆心
.
< br>的坐标为
，圆
的半径
21.
（
1
）
的定义
域为
.
①若
，因为
< br>，所以不满足题意；
②若
时，
，由
，所以
的唯一最小值点
.
在
知，当
单调递减，
在
时，
；当
在
单调递增，故
x
=
a
< br>是
由于
，所以当且仅当
a
=1
时，
时，
.
故
a
=1.
.
（
2
）由（
1
）知当
令
得
.
从而
.
故
.
而
，所
以
的最小值为
.
22.
（
1
）消去参数
得
.
的普通方程
；消去参数
< br>m
得
l
2
的普通方程
设
,
由题设得
，消去
k
得
.
所以
C
的普通方程为
.
（
2
）
C
的极坐标方程为
.
联立
得
.
故
，从而
.
代入
得
，所以交点
M
< br>的极径为
.
23.
（
1
）
当
当
当
所以
（
2
）由
时，
时，由
时，由
的解集为
无解；
得，
解得
.
.
得
，而
，解得
且当
时，
.
故
m
的取值范围为