2016年全国3卷理科数学试题及答案解析
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注意事项：
1.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷
1
至
3
页，第Ⅱ卷
3
至
5
页。
2.
答题前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
< br>
4.
测试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
<
/p>
（
1
）设集合
S
x
|
(
x
2)(
x
3)
0
,
T
x
|
x
0
，则
S
T
（
）
[3,+
）
(A) [2
，
3]
(B)
（
-
，
2]
【答案】
D
[3,+
）
(C)
[3,+
）
(D)
（
0
，
2]
4i
（
2
）若
z<
/p>
1
2
i
，则
zz
1
（
）
(A)1
(B)
-1
(C)
i
(D)
i
【答案】
C
【分析】
4i
4i
i
(1
2i)(1
< br>2i)
1
试题分析：
zz
1
，故选
C
．
考点：
1
、复数的运算；
2
、共轭复数．
1
3
< br>3
1
BA
(
,
)
BC
(
,
)
2
2
，
2
2
，则
ABC
<
/p>
（
）
（
3
）已知向量
(
A)
30
(B)
45
(C)
60
(D)
120
【答案】
A
（
4
）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低
气温的雷达图．
图中
A
点表示十月的平均最高气温约为
15
C
，
B
点表示四月的平均最低气
温约为
5
C
．下面叙述不正确的是（
）
(A)
各月的平均最低气温都在
0
C
以上
(B)
七
月的平均温差比一月的平均温差大
(C)
三月和十一月的平均最高气温基本相同
(D)
平
均气温高于
20
C
< br>的月份有
5
个
【答案】
D
tan
< br>
（
5
）若
3
4
，则
cos
2
2sin
2
（
）
64
48
16
(A
)
25
(B)
25
(C)
1
(D)
25
【答案】
A
【分析】
tan
试
题
分
析
：
由
3<
/p>
3
4
3
4
sin
,cos
sin
,cos
4
，<
/p>
得
5
5
或
5
5
，
所
以
cos
2
2sin
2
4
3
16
12
64
4
25
25
25
，故选
A
．
2
5
1
3
（
6
）已知
a
2
，
< br>b
4
，
c
25
，则（
）
（
A
）
b
a
c
（
B
）
a
b
c
（
C
）
b
c
a
（
D
）
c
a
b
【答案】
A
【分析】
试题分析：因为
a
2
4
4
b
，
c
25
5
4
a
，所以
b
a
c
，故选
A
．
（
7
）执行下图的程序框图，如果输入的<
/p>
a
4
，
b
6
，那么输出的
n
（
）
4
3
2
3
2
5
1
3
2
3
2
3
（
A
）
3
（
B
）
4
（
C
）
5
（
D
）
6
【答案】
B
（
8
）在
△
ABC
中，
B
π
1
BC<
/p>
4
，
BC
边上的
高等于
3
,
则
cos
A
（
）
3
10
10
3
10
10
（
A
）
10
（
B
）
10
（
C
）
10
10
（
D
）
【答案】
C
【分析】
试题分析：
设
BC
边上的高线为
AD
，
则
BC
3
AD
，
所以
AC
AD
2
DC
2
5
AD
，
理
，
知
AB
2
AD
．
由
余
弦
定
AB
< br>2
AC
2
BC
2
2
AD
2
5
AD
2
9
A
D
2
10
cos
A
2
AB
AC
10
，故选
C
．
2
2<
/p>
AD
5
AD<
/p>
(9)
如图，网格纸上小正方形的边长
为
1
，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体
的表面积为（
）
（
A
）
18
36
5
（
B
）
54
18
5
（
C
）
90
（
D
）
81
【答案】
B
(10)
在封闭的直三棱柱
ABC<
/p>
A
1
B
1
C
1
内有一个体积
为
V
的球，若
AB
BC
，
AB
6
，
BC
8
，
AA
1
3
，则
V
的最大值是（
）
9
（
A
）
4π
（
B
）
2
32
（
C
）
6π
（
D
）
3
【答案】
B
【分析】
试题分析：要使球的体积<
/p>
V
最大，必须球的半径
R
最大．由题意知球的和直三棱柱的上下
3
4
3
4
3
3
9
R
(
)
3
2
2
，<
/p>
故选
B
．
底面都
相切时，
球的半径取得最大值
2
，
此时球的体积为
3
x
2
y
2
2
1(
a<
/p>
b
0)
2
b
（
11
）
已知
O
为坐标原点
，
F
是椭圆
C
：
a
的左焦点，
A
,
B
分别为
C
的左，
右顶点
.
P
为
C
上一点，
且
PF
x
轴
.
过点
A
的直线
l
和线段
PF
交于点
M
，
和
y
轴
交于点
E
.
若直线
BM
经过
OE
的中点，则
C
的离心率为（
）
1
（
A
）
3
【答案】
A
<
/p>
1
（
B
）
2
2
（
C
）
3
3
（
D
）
4
（
12
）定
义
“
规范
01
数列
”
a
n
如下：
a
n
共有
2<
/p>
m
项，其中
m
项
为
0
，
m
项为
1
，且对任
a
,
a
,
意
k<
/p>
2
m
，
1
2
共有（
）
（
A
）
18
个
【答案】
C
【分析】
,
a
k
中
0
的个
数不少于
1
的个数
.
< br>若
m
4
，则不同的“规范
01
数列”
（
C
）
14
个
（
D
）
12
个
（
B
）
< br>16
个
试题分析：由题意，得必有
a
1
0
，
a
8
1
0
，则具体的排法列表如下：
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分。第（
13
）题
~
第（
21
）题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第（
22
）题
~
第（
24
）题未选考题，考生根据要求作答。
二、
填空题：本大题共
3
小题，每小题
5<
/p>
分
（
13
）若
x
,
y
满足约束条件
x
y
1
0
x
2
y
0
x
< br>2
y
2
0
则
z
x
y
的最大值为
_____________
.
3
【答案】
2
【分析】
试题分析：作出不等式组满
足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数
z
x
y
经过
1
1
3
A
< br>(1,
)
z
max
1
< br>2
时取得最大值，即
2
2
．
点
（
14
）函数
y
sin
x
3
cos
x
的图像可由
函数
y
sin
x
3
cos
x
的图像至少向右平移
_____________
个单位长度得到．
【答案】
3
（
15
）
已知
f
x
为偶函数，
当
x
0
时，
f
(
x
)
ln(
x
)
3
x
，
则曲线
y
f
x
在点
(1,
<
/p>
3)
处的切线方程是
_________
______
．
【答案】
y
2
x
1
【分析】
试题分析：当
x
0
时，
x
0
，则
f
(
x
)
ln
x
3
x
．又
因为
f
(
x
)
为偶函数，所以
f
(
< br>x
)
f
(
x
)
ln
x
3<
/p>
x
，所以
f
<
/p>
(
x
)
1
3
x
，则切线斜率为
f
(1
)
2
，所
以切线方程
为
y
3
2(
x
1)
，即
y
2
x
1
．
2
2
x
y
12
交于
A
,
B
两点，过
A
,
B
分别做
mx
y
3
m
3
0
l
（
< br>16
）已知直线
：
和圆
l
的垂线和
x
轴交于<
/p>
C
,
D
两点，若
AB
2
3<
/p>
，则
|
CD
|<
/p>
__________________.
【答案】
4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
<
/p>
（
17
）
（本小
题满分
12
分）
已知数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和
< br>S
n
1
a
n
，
其中
0
．
（
I
）证明
{
a
n
}
是等比数列，并求其通项公式；
（
II
）若
S
5
31
32
，求
．
【答案】
（Ⅰ）
a
n
1
n
1
(<
/p>
)
1
1
；
（Ⅱ）
1
．
a
0
由
a
1
0
，
0
得
n<
/p>
，所以
a
n
<
/p>
1
a
n
1
.
1
1
n
1
< br>a
(
)
n
{
a
n
}
1
1
1
1
因此
是首项为
，公比为
的等
比数列，于是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得<
/p>
解得
1
．
S
n
1
(
5
1
< br>31
5
31
< br>S
5
1
(
)
)
n
(
)
32
，
32
得
1
32
，即
1
1
，由
（
18
）
（本小题满分
12
分）<
/p>
下图是我国
2008
< br>年至
2014
年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的
折线图
（
I
）由折线图看出，可用线性回归模型拟合
y
< br>和
t
的关系，请用相关系数加以说明；
< br>
（
II
）建立
y
关于
t
的回归方程（系数精
确到
0.01
）
，预测
2016
年我国生活垃圾无害化处理
量．
附注：