2016年全国二卷理科数学高考真题与答案解析
-
..
..
2016
年全国高考理科数学试题全
国卷
2
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的
.
1
、已知
z=(m+3)+(m
–
1)
i
在复平面对应的点在第四象限，则实数
m
的取值围是
( )
A
．<
/p>
(
–
3,1) B
．
(
–
1,3)
C
．
(1,+
∞
) D
．
(
–∞,–<
/p>
3)
2
、已知集合
A={1,2,3}
，
B={x|(x+1)(x
–
2)<0
，x∈Z}，则
A∪B=( )
A
．
{1}
B
．
{1,2}
C
．
{0,1,2,3} D
．
{
–
1,0,1,2,3}
3
、已知向量
a
=
(1,m)
，
b
=(3,
–
2)
，且
(
a
+
b
)⊥
b
，则
m=( )
A
．–
8
B
．–
6
C
．
6
D
．
8
4
、
圆
x
+y
–
2
x
–
8y+13=0
的圆心到直线
ax+y
–
1=0
的距离为
1
，则
a=( ) <
/p>
4
3
A
．–
B
．–
C
．
3
D
．
2
3
4
5
、如下左
1
图，小明从街道的
E
处出发，先到
F<
/p>
处与小红会合，再一起到位于
G
处的老年
公寓参加志愿者活
动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
( )
A
．
24
B
．
18
C
．
12
D
．
9
2
2
6
、上左
2
图是由圆柱与圆锥组合而成的几何
体的三视图，则该几何体的表面积为
( )
A
．20π B．24π
C．28π D．32π
π
7
、若将函数
y=2sin2x
< br>的图像向左平移
个单位长度，则平移后图象的对称轴为
(
)
12
kπ
π
kπ
π
kπ
π
kπ
π
A
．
x=
–
(k∈Z)
B．
x=
+
(k∈Z)
C．
x=
–
(k∈Z) D．
x=
+
(k∈Z)
2
6
2
6
2
12
2
1
2
8
、
中国古代有计算多项式值的九韶
算法，
上左
3
图是实现该算法的程序框
图。
执行该程序框图，
若输入的
x=2
，
n=2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输出的
s=( )
A
．
7
B
．
12
C
．
17
D
．
34
π
3
9
、若
cos(
–α)=
，则
sin2α= (
)
4
5
7<
/p>
1
1
7
A
．
B
．
C
．–
D
．–
25
5
5
25
..
..
..
..
..
10
、<
/p>
从区间
[0,1]
随机抽取
2n
个数
x
1
，
x
2
，
< br>…，
x
n
，
y
1
，
y
2
，
…，
y
n
，
构成
n
个数
对
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
，<
/p>
…，
(x
n
,y
n
)
，
其中两
数的平方和小于
1
的数对共有
m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π
的近
似值为
( )
4n
2n
4m
2m
A
．
B
．
C
．
D
．
m
m<
/p>
n
n
x
y
1
11
、已知
F
1
、
F
2
是双曲线
E
：
2
–
2
=1
的左，右焦
点，点
M
在
E
上，
MF
1
与
x
轴垂直，
sin
∠MF
2
F
1
=
< br>,
则
E
的离心
< br>a
b
3
率为
( )
3
A
．
2
B
．
C
．
3
D
．
2
2
1
2
、
已
知
函<
/p>
数
f(x)(x∈R)
满
足
f(
–
x)=2
–
f(x)
，
若
函
数
y=
(x
2
,y
2
)
，
...(x
m
,y
m
)
，则
x+1<
/p>
与
y=f(x)
图
像
的
交
点
为
(x
1
,y
1
)
，
x
2
2
(
x
y
)
( )
i
i
i
1
m
A
．
0
B
．
m
C
．
2m
D
．
4m
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分
4
5
13
、△ABC
的角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
< br>，
c
，若
cosA=
，
cosC=
，
a=1<
/p>
，则
b=___________
．
5
13
14
、α、β
是两个平面，
m
< br>，
n
是两条直线，有下列四个命题：
(1)
如果
m⊥n，m⊥α，n
∥β，那么
α⊥β。
(2)
如果
m⊥α，n∥α，那么
m⊥n。
(3)
如果
α∥β，
< br>m
⊂
α，那么
m∥β。
(4)
如果
m∥n，
α∥β，那么
m
与
α
< br>所成的角和
n
与
β
所成的角相等。
其中正确的命题有
____________________(
填写所有正确命题的编号
)
。
15
、有三卡片，分别写有
1
和
2
，
1
和
3
，
2
和
3<
/p>
．甲，乙，丙三人各取走一卡片，甲看了乙的卡片后说：“我
与乙
的卡片上相同的数字不是
2”，
乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是
1”，
丙说：
“我
的卡片上的数字之和不是
5”，则
甲的卡片上的数字是
____________
．
16
、若直线
y=kx+
b
是曲线
y=lnx+2
的切线，也是
曲线
y=ln(x+1)
的切线，则
b
=__________
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
<
/p>
17
、
(
本题满
分
12
分
)S
n
为等差数列
{a
n
< br>}
的前
n
项和，且
a
1
=1
，
S
7
=28
。记
b
n
=[lga
n
]
，其中
[x]
表示不
超过
x
的
最大整数，如
[0.9]=0
，
[lg99]=1
< br>．
(1)
求
< br>b
1
，
b
11
，
b
101
；
(2)
求数列
{b
n
}
的前
1 000
项和．
..
..
..
..
..
18
、<
/p>
(
本题满分
12
分
)
某险种的基本保费为
a(
单位：元
)
，继续购买该险种的投保人称为续保
人，续保人的本
年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
保费
0
0.85a
1
a
2
1.25a
3
1.5a
4
1.75a
≥5
2a
设该险种一续保人一年出险次数与相应概率如下：
[]
一年出险次数
概率
0
0.30
1
0.15
2
0.20
3
0.20
4
0.10
≥5
0. 05
< br>(1)
求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)
若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本
保费高出
60%
的概率；
(3)
求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19
、
(
本小题满分
12
分
)
如图，菱形
ABCD
的对角
线
AC
与
BD
交于点
O
，
AB=5
< br>，
AC=6
，点
E
、
F
分别在
AD
、
CD
上，
5
AE=CF=
，
EF
交<
/p>
BD
于点
H
．将
△DEF
沿
EF
折到△D
'EF
位置，
OD'=
10
．
4
(1)
证明：
D
'H⊥平面
< br>ABCD
；
(2)
求二面角
B
–
D'A
–
C
的正弦值．
x
y
20
、
(
本小题满
分
12
分
)
已
知椭圆
E
：
+
=1
的焦点在
X
轴上，
A
是
E
的左顶点，斜率为
k(k>0)
的直线交
E
< br>于
t
3
A
，
M
两点，点
N
在
E
上，MA⊥NA．
(1)
当
t=4
，
|AM|=|AN|
时，求△AMN
的面积
；
(2)
当
2|AM|=|AN|
时，求
k
的取值
围．
x
–
2
x
x
21<
/p>
、
(
本小题满分
12
分
)(1)
讨论函数
f(x)=
e
的单调性，并证明当
< br>x>0
时，
(x
–
2)e
+x+2>0
；
x+2
e
–
a
x
–
a
(2)
证明：
当
a∈[0,1)时，
函数
g(x)=
(x>0)
有最小值。
设
g(x)
的最小值为
h(a)
，
求函数
h(a)
的值域．
2
x
请考生在
22
、
2
3
、
24
题中任选一题作答，如果多做
，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22
、
(
本小题满分
10
分
)[
选修
4
–
1
：几何证明选讲
]
如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
G
分别在边<
/p>
DA
，
DC
上<
/p>
(
不与
端点重合
)
，且
DE=DG
，过
D
点作
DF⊥CE，垂足为
F
．
..
..
..
x
2
2
..
..
(1)
证明：
B
，
C
，
G
，
F
四点共圆；
(2)
若
AB=1
，
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积．
23
、<
/p>
(
本小题满分
10
分
)[
选修
4
–
4
：坐标系与参数方程
]
在直角坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为
(x+6)
+y
=25
．
(1)<
/p>
以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建
立极坐标系，求
C
的极坐标方程；
<
/p>
x=tcosα
(2)
直线
l
的参数方程是
(t
为参数
)
，
l
与
C
交于
A
，
B
两点，
|AB|=
10
，求
l
的斜率．
y
=tsinα
2
2
1
1
24
< br>、
(
本小题满分
10
分
)[
选修
4
–
5
：不等式选讲
]
已知函数
f(x)=|x
–
|+|x+
|
，
M
为不等式
f(x)<2
的解集．
< br>
2
2
(1)
< br>求
M
；
(2)
证明：当
a
，b∈M
时，
|a+b|<|1+ab|
．
参考答案
1
、解析：∴
m+3>0
，
m
–
1<0
，∴–
<
br>b <
br>b
3
，故选
A
．
2
、解析：
B={x|(x+1)(x
–
2)<0
，x∈Z}={x|–
1
，x∈Z}，∴B={0,1
}，∴A∪B={0,1,2,3}，故选
C
．
3
、解析：
向量
a
+
b
=
(4,m
–
2)
，∵(
a
+
b
)⊥
，∴(
a
+
)·
b
=10
–
2(m
–
2)=0
，解得
m=8
，故选
D
．
..
..
..
-
-