2016年高考理科数学全国1卷 ,附答案
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2016
年高考数学全国
1
卷（理科）
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，每小题只有
一项是符合题目要求的
.
1
．设集合
A={x|
x
2
﹣
4x+3
＜
0}
，
B={x|2x
﹣
3
＞
0}
，则
A
∩
B=
（
）
A
．
（﹣
3
，﹣
）
B
．
（﹣
3
，
）
C
．
（
1
，
）
D
．
（
，
3
）
2
．设（
1+i
）
x=1+yi
，其中
x
，
y
是实数，则
|x+yi|=
（
）
A
．
1
B
．
C
．
D
．
2
3
．
已知等差数列
{a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
=8
，则
a
100
=
（
）
A
．
100
B
．
99
C
．
98
D
．
97
4
．某公司的班车在
7
：
00
，
8
：
00
，
8
：
30
发车，小明在
7
：
50
至
8
：
30
之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻
是随机的，则他等车时间
不超过
10
分钟的概率是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．已
知方程
﹣
=1
表示双曲线，且该双曲线
两焦点间的距离为
4
，则
n
的取值范围是（
）
A
．
（﹣
1
，
3
）
B
．
（﹣
1
，
）
C
．
（<
/p>
0
，
3
）
D
．
（
0
，
）
6
．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两
条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
，
则它的表面积是（
）
A
．
17
π
B
．
18
π
C
．
20
π<
/p>
D
．
28
π
7
．函数
y=2x
2
﹣
e
|x|
在
[
﹣
2
，
2]
的图象大致为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．若
a
＞
b
＞
1
，
0
＜
c
＜
1
，则（
）
A
．
a
c
＜
b
c
B
．
ab
c
＜
ba
c
C
．
< br>alog
b
c
＜
blog
a
c
D
．
log
a
c
＜
log
b
c
'.
.
9
．执行如图的程序框图，如果输入的
x=0
，
y=1
，
n=1
，则输出
x
，
y
的值满足（
）
A
．
y=2x
B
．
y=3x
C
．
y=4x
D
．
y=5x
10
< br>．以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，交
C
的准线于
< br>D
、
E
两点．已知
|AB|=4
，
|DE|=2
，则
C
的焦
点到准线的距离为（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
11
．平面α过正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，α∥平面
CB
1
D
1
，α∩平面
A
BCD=m
，α∩平面
ABB
1
A
1
=n
，则
m
、
n
所成角的
正弦值为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
12
．
已知函数
f
（
x
）
=sin
（ω
x+
φ）
（ω＞
0
，
|
φ
|
≤
< br>）
，
x=
﹣
为
f
（
x
）的零点，
x=
为
y=f
（
x
）图象的对称轴，
且<
/p>
f
（
x
）在（<
/p>
，
）上单调，则ω的最大值为（
）
A
．
11
B
．
9
C
．
7
D
．
5
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
13
．
设向量
=
（
m
，
1
）
，
=<
/p>
（
1
，
2
）
，且
|
+
|
2
=|
|
2
+|
|
2
，则
m=
．
14
．<
/p>
（
2x+
）
5<
/p>
的展开式中，
x
3
的系数是
．
（用数字填写答案）
15
．设等比数列
{a
n<
/p>
}
满足
a
1
+a
3
=10
，<
/p>
a
2
+a
4
=5
，则
a
1
a
2
…
a
n
的最大值为
．
16
．某
高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品
A
需
要甲材料
1.5kg
，乙材料
1kg<
/p>
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
，乙材料
0.3kg
，用
3
个工时，生产一件产品
A
的利润为
2100
元，生产一件
产品
B
的利润为
900
元．该企业现有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的
利润之和的最大值为
元．
三、
解答题：本大题共
5
小题，满分
60<
/p>
分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17
．
（
< br>12
分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2cosC
（
acosB+bcosA
）
=c
．
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c=
，△
ABC
的面积为
，求△
ABC
的周长．
18
．
（<
/p>
12
分）如图，在以
A
< br>，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
AF=2FD
，∠
AFD=90
°，且二面角
D
﹣
AF
﹣
E
与二面角
C
﹣
BE
﹣
F
都是
60
°．
（Ⅰ）证明平面
ABEF<
/p>
⊥平面
EFDC
；
（Ⅱ）求二面角
E
﹣
BC
﹣
A
的余弦值．
'.
.
19
．
（
12
分）某公司计划购买
2
台机器，该种机
器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外
购买这种零件作为
备件，每个
200
元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，
则每个
500
元．现需决策在购买机器时
应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了
100
台这种机
器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这<
/p>
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
1
台机器更换的易损零件数发生的概率，记
X
表示
2
台机器三年内共需更
换
的易损零件数，
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求
X
的分布列；
（Ⅱ）若要求
P
（
X
≤
n
）≥
0.5
，确定
n
的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n=19
与
n=20
之中选
其一，应选用哪个？
.
20
．
（
12
分）
设圆
x
+y
+2x
﹣
15=0
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
（
1
，
0
）且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
，
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
．
（Ⅰ）证明
|EA|+|EB|
为定值
，并写出点
E
的轨迹方程；
（Ⅱ）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M
，
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
，
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围．
'.
2
2
2
1
．
（
12
分
）已知函数
f
（
x
）
=
（
x
﹣
2
）
e
+a
（
x
﹣
1
）
有两个零点．
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
x
1
，
x
2
是
f
（
x
）的两个零点，证明：
x
1
+x
2
＜
2
．
x
2
请考生在
22
、
23
、
24
题
中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
.
[
选修
4-1
：几
何证明选讲
]
22
．
（
10
分）如图，△
OAB<
/p>
是等腰三角形，∠
AOB=120
°．以
O
为圆心，
OA
为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线
A
B
与⊙
O
相切；
（Ⅱ）点
C
，
D
在⊙
O
上，且
< br>A
，
B
，
C
，
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
．
[
选修
4-4
：坐
标系与参数方程
]
23
．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为
（
t
为参数，
a
＞
0
）
．在以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：ρ
=4cos
θ．
（Ⅰ）说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）
直线
C
3
的极坐标方程为θ
=
α
0
，其中α
0
满足
tan
α
0
=2
，若曲线
C<
/p>
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上
，求
a
．
'.
.
[
选修
4-5
：不等式选讲
]
24
．已知函数
f
（
x
）
=|x+1|
﹣
|2x
﹣
3|
．
<
/p>
（Ⅰ）在图中画出
y=f
（
x
）的图象；
（Ⅱ）求不
等式
|f
（
x
）
|
＞
1
的解
集．