2016年理科数学全国乙卷试题(含答案)
-
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一
.
选择题
：本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
.
1
、设集合
A
{
x
|
x
4
x
3
0}
，
B
{
x
|
2
x
3
0}
，
则
A
2
B
<
/p>
3
3
3
3
(
3,
)
(
3,
)
(
,3)
(1,
)
2
（
B
）
2
（
C
）
2
（
D
）
2
（
A
）
2
、设
(1
i)
x
1
y
i
，其中
x
，
y
是实数，则
x
y
i
=
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
< br>（
D
）
2
3
、已知等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
=8
，则
a
100
=
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
4
、某公司的班车在
7:00
，
8:00
，
8:30
发车，学
.
科网小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站
乘坐班车
，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟
的概率是
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
5
、已知方程
–
=1
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4
，则
n
的取值范围是
（
A
）
(
–
1,3)
（
B
）
(
–
1,
3)
（
C
）
(0,3)
（
D
）
(0,
3)
6
、
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径
.
若该几何
体的体积是，则它的表面积是
（
A
）
17
π
（
B
）
18
π
（
C
）
20
π
（
< br>D
）
28
π
7
、函数
y
=2
x
2
–
e
|
x
|
在
[
–
2,2]
的图像大致为
（
< br>A
）
（
B
）
（
C
）
8
、若
a
b
10
，
c
1
，则
（
D
）
（
A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
< br>（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
9
、
执行右面的程序图，如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
1
，则输出
x
，
y
的值满足
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
< br>x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
5
x
10
、以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，交
C
的标准线于
D
、
E
两点
.
已知
|
AB
|=
4
2
，
|
DE|=
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
11
、平面
a
过正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
a
//
平面
CB
1
D
1
，
a
< br>
平面
ABCD
=
m
，
a
< br>平
面
ABA
1
< br>B
1
=
n
，则
m
、
n
所成角的正弦值为
(A)
1
3
2
3
(
B
)
(C)
(D)
2
2
3
3
12
、
已
知
函
数
f
(
x
)
sin(
x+
)(
0
，
2
),
x
4
为
f
(
x
)
的
零
点
，<
/p>
x
4
为
5
y
f
(
x
)
图像的对称轴，且
f
(
x
)
在
，
单调，则
的最大值为<
/p>
18
36<
/p>
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分
.
第
(
13
)
题
~
第
(
21
)
题为必考题，每个试题考生都必须作答
.
第
(
22
)
题
~
第
(
24
)
题为选考题，考生根据要求作答
.
二、填空题：本大题共
3
小题，每小题
5
分
13
、设向量
a
=(
m
，
1)
，
b
=(1
，
2)
，且
|
a
+
b
|
2
=|
a
|
2
+|
b
|
2
，则
m
=.
14
、
(2
x
x
)
5
的展开式中，
x
3
的系数是
.
（用数字
填写答案）
15
、设等比数列
错误！未找到引用源。
满足
a
1
+
a
3
=10
，
a
2
+
a
4
=5
，则
a
1
a
2
…
a
n
的最
大值为。
16
、某高科技企业生产产
品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品
A
需要甲
材料
1.5kg
，乙材料
1
kg
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
< br>，乙材料
0.3kg
，
用
3
个工时，生产一件产品
A
< br>的利润为
2100
元，生产一件产品
B
的利润为
900
元。该企业
现有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的
利润之和的最大值为元。
三
.
解答题
：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
17
、
（本题满分为
12
分
）
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别别为
a
，
b
，
c
，已知
2cos
C
(
a
cos
B+b
cos
A
)
c
.
（
I
）求
C
；
（
II
）若
c
7,
ABC
的面积为
3
3
，求
ABC
的周长
．
2
18
、
（本题满分为
12
分）
如图，
在已
A
，
B
，
C
< br>，
D
，
E
，
F
为顶点的五面体中，
面
ABEF
为正方形，
AF
=2
FD
，
AFD
90
，
且二面角
D
-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
-
F
都是
60
．
（
I
）证明
平面
ABEF
EFDC
；
（
II
）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值．
19
、
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，该种机器使用三年后即被淘汰
.
机器有一易损零件，在购进机器
时，可以额外购买这种零件作为备件
，每个
200
元
.
在机器使用期间，如果备件不足再购买，
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个
易损零件，为此搜集并整理了
100
台
这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这
100
台机器更换的易损零件数的
频率代替
1
台机器更换的易损零件数发生的概率，
记
X
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件数
.
表示
2
台机器三年内共需更换的易损零件数，
（
I
）求
X
的分布列；
（
II
）若要求
P
(
X
n
)
<
/p>
0.5
，确定
n
的最小值；
（
III
）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n
19
与
n
20
之中选其一，应
选用哪个？
20
、
（本小题满
分
12
分）
设圆
x
y
2
x
15<
/p>
0
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
（
1,0
）且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
，
< br>D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
（
I
）证明
EA
EB<
/p>
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
（
II
）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M
,<
/p>
N
两点，过
B
且
与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
,
Q
< br>两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
21
、
（本小题满分
12
分）
已知函
数
错误！未找到引用源。
有两个零点
.
2
2
(I)
求
a
的取值范围；
(II)
设
x
1
< br>，
x
2
是
错误！
未找到引用源。
的两个零点，
学科
.
网证明：
错误！
未找到引用源。
+
x
2
<2.
请考生在
22
、
23
、
24
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
,
做答时请写清题
号
22
、
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲<
/p>
如图，△
OAB
是等腰三角形，∠
AOB
=120
°
.
以⊙
O
为圆
心，
错误！未找到引用源。
OA
为半<
/p>
径作圆
.
(I)
证明：直线
AB
与
O
相切；
(II)
点
C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，证明：
AB
∥<
/p>
CD
.
23
、
（本小题满分
10
< br>分）选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
在直线坐标系
< br>xoy
中，曲线
C
1
的参数方程为
错误！未找到引用源。
（
t
为参数，
a
＞
0
）
。在以
坐标原点为
极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
< br>C
2
：
ρ
=4cos
θ
.
（
I
）说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方程
化为极坐标方程；
（
II
）直线
C
3
的极坐标方程
为
θ
=
α
0<
/p>
，其中
α
0
满足
tan
α
0
=
2
，若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上，求
a
。
（
24
< br>）
（本小题满分
10
分）
，选修
4
—
5
：不等式选讲
已知函数
f
(
x
)=
∣
x
+1
∣
-
∣
2
x
-
3
∣
.
（
I
）在答题卡第（
24
）题图中画出
y
=
f
(
x
)
的图像；
（
II
）求不等式∣
f
(
x
)
∣
﹥
1
的解集。