2016年高考理科数学全国1卷(附答案)
-
12B-SX-0000013
_
_
_
_
学
号
：
_
_
_
_
_
_
_
_
-
-
-
-
-
-
-
绝密★启用前
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
全国
I
卷
<
/p>
（全卷共
10
页）
(
适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西
、河南、河北
)
注意事项：
x
2
y
2
1
表示双曲线，且该
双曲线两焦点间的距离为
4,
5.
已
知方程
2
m
n
3
m
2
<
/p>
n
则
n
的取值范
围是
（
A
）
1
,3<
/p>
（
B
）
1,
3
（
C
）
0,3
（
< br>D
）
0,
3
6.
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每
本
试卷分第
I
卷<
/p>
(
选择题
)
和第
II
卷
(
非选
择题
)
两部分。
1
．
_
_
-
_
2
．
答
卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
_
_
-
_
3
．
回
答选择题时，选出每小题答案后，
用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
_
_
_
线
如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在
_
_
封
_
_
密<
/p>
答题卡上，写在本试卷上无效。
_
_
4
．
考
试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
_
-
：
名
-
第
I
卷
姓
-
一、
选<
/p>
择题：
本题共
12
小题，
每小题
5
分。
在每个小题给出的四个选项中，
只
-
有一项是符合题目要求的。
-
班
_
-
1.
设
集合
A
x
x
2
4
x
3
0
，
x
2
x
< br>3
0
,
则
A
B
_
_
_
-
_
_
（
A
）
_
-
3,
3
2
（
B
）
3,
3
2
（
C
）
年
1,<
/p>
3
3
2
（
D
）
2
,3
_
-
_
_
_
_
线
2.
设
(
1
i
)
x
1
yi
，其中
x
,
y
是实数，则<
/p>
x
yi
_
_
封
密
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
2
_
_
_
-
_
3.
已知等差数列
a
n
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
< br>，则
a
100
_
_
-
_
_
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
_
-
_
_
_
-
4.
某
公司的班车在
7:00
，
8:00
，
8:30
发车，小明在
< br>7:50
至
8:30
之间到达发
车站
_
_
_
-
_
乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概
_
_
-
_
_
：
-
率是
校
-
学
（
A
）
1
-
3
（
B
）
1
2
（
C
）
2
3
3
（
D
）
4
- 1 -
个圆中两条相互垂直的半径
.
若该几何体的
体积是
28
3
,
则它的表面积是
（
A
）
17
（
B
）
18
（
C
）
20
<
/p>
（
D
）
28
7.
函数
y
2
x
2<
/p>
e
x
在
2,2
的图像大致为
8.
若
a
b
10
，<
/p>
c
1
,
则
（
A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab
c
ba
c
- 2 -
12B-SX-0000013
<
/p>
（
C
）
a
log
b
c
b
log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
9.
执行右面的程序框图
,
如果输入的
x
0
，
y
1
，
n
1
,
则输出
x
,
y
的值满足
（
A
）
y
<
/p>
2
x
开始
（
B<
/p>
）
y
3
x
（
C
）
y
4
x
输入
x
,<
/p>
y
,
n
（
D
）
y
5
x
n
n
1
x
x
n
1
2
< br>,
y
ny
2
2
否
x
y
36
是
输出<
/p>
x
,
y
结束
10.
以抛物线
C
< br>的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，交
C<
/p>
的准线于
D
、
E
两点
.
已知
|
AB
|=
4
2
,|
DE|=
2
5
,
则
C
的
焦点到准线的距离为
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
11.
平面
过正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
,
//
平面
CB
1
D
1
,
I
平面
ABCD
=
m
,
I
平面
AB B
1
A
1
=
n
,
则
m
、
< br>n
所成角的正弦值为
(A)
3
(B)
2
1
2
2
(C)
3
3
(D)
3
12.
已知函数
f
< br>(
x
)
sin(
x+
< br>)(
0
，
2
),
x
4
为
f
(
x
)
的零点
,
x
4
- 3 -
为
y
f
(
x
)
图像的对称轴，且
f
(
x
)
在<
/p>
5
18
，
36
单调，则
的最大值为
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分。第
13
～
21
题为必考题，每个试题都必须作
答。第
22
～
24
题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共
3
小题
,
每小
题
5
分。
13.
设向量
a
(
m
,
1
)
，
b
<
/p>
(
1
,
2
)
，且
a
b
2
a
2
b
2
< br>，则
m
．
14.
(
2
x
x
)
5
的展开式中，
x
3
的系数是
．
（用数字填写答案）
15.
设等比数列
< br>
a
n
满足
a
1
a
3
10
，
a
a
2
a
4
5
，则
1
a
2
a
n
的最大值
为
．
16.
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料
.
生产一件
A
需要
甲材料
1.5kg,
乙材料
1kg
< br>，用
5
个工时；生产一件
B
需要甲材料
0.5kg,
乙材料
0.3kg
，用
3
个工时
.
生产一件
A
产品的利润为
2100
元，生产一件
B
产品的利
润为
900
< br>元
.
该企业现有甲材料
150k
g
，
乙材料
90kg
< br>，
则在不超过
600
工时的条<
/p>
件下，生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
<
/p>
（一）必考题：共
60
分。
17.
（本小题满分<
/p>
12
分）
△<
/p>
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对
边分别为
a
,
b
,
c
，已知
2
cos
C
(
a
cos
B
b
cos
A
)
c
.
- 4 -
12B-SX-0000013
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c
7
，
△
ABC
的面积为
3
3
2
.
求
△
ABC
的周长
.
18.
（本小题满分
12
分）
如图，在以
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
AF
2
FD
，
AFD
90
，
且二面角
D
AF
<
/p>
E
与二面角
C
BE
F
都<
/p>
是
60°
.
（
Ⅰ）证明：平面
ABEF
⊥平面
EFD
C
；
（Ⅱ）求二面角
E
BC
< br>A
的余弦值
.
C
D
E
A
F
B
- 5
-
19.
（
本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，该种机器使用三年后被淘汰
.
机器有一易损零件，
在购买机器时，
可以额外购买这种零件为备件，每个
200
元
< br>.
在机器使用期间，如
果备件不足再购买，则每个
500
元
.
现需决策
在购买机器时应同时购买几个易损零
件，为此搜集并整理了
10
0
台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：
以这
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
1
台机器更换的易损零件数
发
生的频率，记
X
表示
2
台机器三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买
2
台机
器的同时
购买的易损零件数
.
（Ⅰ）求
X
的分布列；
（Ⅱ）若要求
P
（
X
n
）
0
.
5
，确定
n
的最小值；
（Ⅲ）
以购买易损零件所
需要的期望值为决策依据，
在
n
19
与
n
20
之中选
其一，应选用哪个？
- 6 -
12B-SX-0000013
20.
（本小题满分
12
分）
设圆
x
2
< br>
y
2
2
x
15
0
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
(
1
,
0
)
且与
x
轴不重合，
< br>l
交圆
A
于
C
,
D
两点，过
< br>B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
（Ⅰ）证明
EA
EB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
（Ⅱ）设点
E
的
轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M
,
N
两点，过
B
且与
l
垂直的
直线与圆
A
交于
P
,
Q
两点，求四边形<
/p>
MPNQ
面积的取值范围
.
- 7 -
21.
（本小题满分
12
分）
已知函数
f
(
x
)
(
< br>x
2
)
e
x
a
(
x
1
)
2
有两个零点
.
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
x
1
,
x
2
是
f
(
x
)
的两个零点，证明：
x
1
x
2
2
.
请考生在第
22
、
23
、
24
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证
明选讲
如图，
△
OAB
是等腰三角形，
AOB<
/p>
120
.<
/p>
以
O
为圆心，
1
2
OA
为半径作
圆
.
（Ⅰ）证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
（Ⅱ）点
C
,
D<
/p>
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
D
C
O
- 8 -
A
B