2016年高考文科数学真题答案全国卷1
-
2016
年高考文科数学真题及答案全国卷
1
注意事项：
1.
本试卷分第Ⅰ卷
(
选择题
)
和第Ⅱ卷
(
非选择
题
)
两部分
.
第Ⅰ卷
1
至
3
页
,
第Ⅱ卷
3
至
5
页
.
2.
答题前
,
考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置
.
3.
全部答案在答题卡上完成
,
答在本试题上无效
.
4.
考试结束后
,
将本试题和答题
卡一并交回
.
第Ⅰ卷
一
.
选择题
：本大题共
12
小题
,
每小题
5
分
,
在每小题给出的四个选项中
,
只有一项是符合题目
要求的
.
（
1<
/p>
）设集合
A
1
,3,5,7
,
B
x
2
剟
x
5
,<
/p>
则
A
B
（
A
）
{1,3}
（
B
）
{3,5}
（
C
）
{5,
7}
（
D
）
{1,7}
【答案】
B
考点：集合的交集运算
【名师点睛】
集合是每年高考中的必考题
,
一般以基
础题形式出现
,
属得分题
.
解决此类问题一般
要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算
,
如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数
集
之间的运算
,
常借助数轴进行运算
.
(2)
设
1
2i
a
i
<
/p>
的实部与虚部相等
,
其中
a
为实数
,
则
a=
（
A
）－
3
（
B
）－
2
（
C
）
2
（
D
）
3
【答案】
A
【解析】
试题分析：
(
1
2
i
)(
a
i
)
a
2
(
1
2
a
)
i
,
由已知
,
得
a
2
1
2
< br>a
,
解得
a
3
,
故选
A.
考点：复数的概念及复数的乘法运算
【名师点睛】
复数题也是每年高考必考内容
,
< br>一般以客观题形式出现
,
属得分题
.
高考中复数考查
频率较高的内容有：复数相等
,
复数的几何意义
,
共轭复
数
,
复数的模及复数的乘除运算
,
这类问
题一般难度不大
,
< br>但容易出现运算错误
,
特别是
i
1
中的负
号易忽略
,
所以做复数题要注意运
算的
准确性
.
（
3
）为美化环境
,
从红、黄、白、紫
4
种颜色的花中任选
2
种花种在一个花坛
中
,
余下的
2
种
花种在另一个花坛中
,
则红色和紫色
的花不在同一花坛的概率是
（
A
）
（
B
）
2
1
3
1
2
5
（
C
）
（
D
）
2
3
6
【答案】<
/p>
A
考点：古典概型
< br>【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题
,
一般
难度不大
,
解答常见错误是在用列举法
计数时出现重复或遗漏
,
避免此类错误发生的有效方法是按照一
定的标准进行列举
.
（
4
）△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b<
/p>
、
c.
已知
a<
/p>
（
A
）
2
（
B
）
3
（
C
）
2
（
D
）
3
【答案】
D
【解析】
试题分析：由余弦定理得<
/p>
5
b
4
2
b
2
考点：余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题
,
考查内容单一
,<
/p>
根据余弦定理整理出关于
b
的一元二次方
程
,
再通
过解方程求
< br>b.
运算失误是基础题失分的主要原因
,
请考生切记！
1
（
5
）
直线
l
经过椭圆的一个顶点和一个焦点
,
若椭圆中心到<
/p>
l
的距离为其短轴长的
4
,
则该椭圆的
离心率为
1
1
2
3
（
A
）
3
（
B
）
2
（
C
）
3
（
D
）
4
【答案】
B
【解析】
试题分析：如图
,
由题意得在椭圆中
,
O
F
c,OB
b,OD
2
5
,
c
2
,
cos
A
2
,
则
b=
3
2
1
,
解得
b
3
（
b
舍去）
,
故选
D.
3
3
1
1
2b
b
4
2
在
Rt
OFB
中
,
|
OF
|
|
OB|
|
BF
|
< br>|
OD
|
,
且
a
2
b
2
c
2<
/p>
,
代入解得
a
2
4c
2<
/p>
,
所以椭圆得离心率得
e
1
,
故选
< br>B.
2
y
B
O
x
D
F
考点：椭圆的几何性质
【名师点睛】
求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题
,
求解此类问题的一般步
骤是先列出等式
,
再转化为关于
a,c
的齐次方程
,
方程两边同时除以
a
的最高次幂
,
转化
为关于
e
的方程
,
解方程求
e .
π
1
（
6
）若将函数
y
=2sin (2
x
+
6
)
的图像向右平移
4
个周期后
,
所得图像对应的函数为
< br>
π
π
π
π
（
A
）
y
=2sin(2
x
+
< br>4
)
（
B
）
y
=2sin(2
x
+
3
)
（
C
）
y
=2sin(2
x
–
4
)
（
D
）
y
=2
sin(2
x
–
3
)
【答案】
D
考点：三角函数图像的平移
【名师点
睛】函数图像的平移问题易错点有两个
,
一是平移方向
,
注意
“
左加右减
“,
二是平移多少
个单位是对
x
而言的
,
不用忘记乘以系
数
.
（
7
）
如图
,
某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相
互垂直的半径
.
若该几何
28π
体的体积是
3
,
则它
的表面积是
（
A
）
17π
（
B
）
18π
（
C
）
20π
（
D
）
28π
【答案】
A
【解析】
考点：三视图及球的表面积与体积
【
名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力
,
所以
以三视图为载体的立体几何
题基本上是高考每年必考内容
,
高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇
.
由三
视图还原出原几何体
,
是解决此类问题的关键
.
（
8
）若
a
b
0
,
0
c
1
,
则
（
A
）
log
a
c
<
br>1 log <
br>b ．故选
e <
br>（
b
c
（
B
）
log
c
a
c
b
（
C
）
a
c
<
b
c
（
D
）
c
a
>
c
b
【答案】
B
【解析】
试题分析：由
0
c
可知
y
c
x
是减函数
,
又
a
0
,
所以
log
c
a
log
c
b
B.
本
题也可以用特殊值代
入验证
.
考点：指数函数与对数函数的性质
【
名师点睛】比较幂或对数值的大小
,
若幂的底数相同或对数的底
数相同
,
通常利用指数函数或
对数单调
性进行比较
,
若底数不同
,
可考虑利用中间量进行比较
.
2
（
9
）函数
y
2
x
在
2,2
的图像大致为
x
（
A
）
B
）
（
C
）
【答案】
D
考点：函数图像与性质
（
D
）
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中
,
也可以说是高考的热点问题
,
这类题目一
般比较灵活
,
对解题能力要求较高
,
故也是高考中的难点
,
解决
这类问题的方法一般是利用间接
法
,
即
由函数性质排除不符合条件的选项
.
（
10
）执行右面的程序框图
,
如果输
入的
x
0,
y
1,
n
=
1,
则输出
x
,
y
的值满足
（
A
）
y
2
x
（<
/p>
B
）
y
3
x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
< br>5
x
开始
输入
x,y,n
n-
1
x
=
x+
，
y=ny
2
x
2
+
y
2
≥
36
？
输出
x,y
结束
n=n
+1
【答案】
C
【解析】
试题分析：第一次循环：<
/p>
x
0,
y
1,
n
2
,
第二次循环：
x
1
,
y<
/p>
2,
n
3
,
2
3
3
,
y
6,
n
3
,
此时满足条件
x
2
y
2
36
,
循环结束
,
x
,
y
6
,
满足
2
2
第三次循环：
x
y
4
x
．故选
C
考点：程序框图与算法案例
【名师点
睛】
程序框图基本是高考每年必考知识点
,
一般以客观题形式出现
,
难度不大
,
求解此类
问题一般是把人看作计算机
,
按照程序逐步列出运行结果
.
（<
/p>
11
）平面
过
正文体
ABCD
—
A
< br>1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
//
平面
CB
1
D
1
,
平面
ABCD
m
,
平面
ABB
1
A
1
n
,
则
m
,
n
所成角
的正弦值为
（
A
）
3
2
3
1
（
B
）
（<
/p>
C
）
（
D
）
2
2
3
3
【答案】
A
考点：平面的截面问题
,
面面平行的性质定理
,
异面直线所成的角
.
<
/p>
【名师点睛】
求解本题的关键是作出异面直线所成角
,
求异面直线所成角的步骤是：
平移定角、
连线成形
,
解形求角、得钝求补
.
（
12
）若函数
f
(
x
)
x
-
sin
2
x
a
< br>sin
x
在
< br>
,
< br>单调递增
,
则
a
的取值范围是
（
A
）
1,1
（
B
）
1,
（
C
）
,
（
D
）
1,
3
3
3
3
1
3
1
1
1
< br>
1
【答案】
C
考点：三角变换及导数的应用
【名师
点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查
,
有所创新<
/p>
,
求解关键是把函数单调性
转化为不等式
恒成立
,
再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题
,
注意与三角函数值域
或最值有关的问题
,
要注意弦函数的有界性
.
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分
.
第
(13)
题
~
第<
/p>
(21)
题为必考题
,
< br>每个试题考生都必须作答
.
第
(
22)
题
~
第
(24)
题为选考题
,
考生根据要求作
答
.
二、填空题：本大题共
3
小题
,
每小题
5
分
（
13
）设向量
a
=(
x<
/p>
,
x
+1),
b
=(1,2),
且
a
b
,
则
x
=
. <
/p>
【答案】
【解析】
2
3
试题分析：由题意
,
a
b
< br>0,
x
2(
< br>x
1)
0,
x
.
考点：向量的数量积及坐标运算
【名
师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现
,
属于基础题
.
解决此类问题既要准确记忆公
式
,
又要注意运算的准确性
.
本题所用到的主要公式是：若
2
3
a
x
1<
/p>
,
y
1
,
b
x
2
,
y
2
,
则
a
b
x
1
y
1
<
/p>
x
2
y
2
.
（
14
）已知<
/p>
θ
是第四象限角
,
且
sin(
θ
+
π
3
π
)=
,
则
tan(
θ
–
)=.
4
5
< br>4
【答案】
【解析】
4
3
试题分析：由题意
sin
<
/p>
3
cos
sin
,
< br>
4
5
4
4
2
因为
2
k
7
2
k
2
k
Z
,<
/p>
所以
2
k
2
k
k
< br>Z
,
2
4
4
4
4
4<
/p>
4
tan
<
/p>
,
因此
．故填
．
4
3
4
5
< br>3
从而
sin
考点：三角变换
【名师点睛】
三角函数求值
,
若涉及到开方运算
,
要注意根式前正负号的取舍
,
同时要注意角的灵
活变换
.
（
15
）设直线
y=x
+2
a
与圆
C
：
x
2
+
y
2
-2
ay
-2=0
相交于
A
,
B
两点
,
若
【答案】
4
考点：直线与圆
【名师点睛】注意在
求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质
,
如圆的半径
r
、弦长
l
、圆<
/p>
,
则圆
C
的面积
为
l
<
/p>
r
d
2
在求圆的方程时常常用到
.
< br>心到弦的距离
d
之间的关系：
2
2
2
（
16<
/p>
）某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料
.
生产一件产品
A
需要甲材
料<
/p>
1.5kg,
乙材料
1kg,
用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg,
乙材料<
/p>
0.3kg,
用
3
个工时
,
生产一件产品
A
的利润为
2100
元
,<
/p>
生产一件产品
B
的利润为
900
元
.
该企业现有甲材料
150kg,
乙材料
90kg,
则在不超过
600
个工时的条件下
,
生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为元
.
【答案】
216000
【解析】
试题分析：设生产产品
A
、产品
B
分别为
x
、
y
件
,
利润之和为
z
元
,
那么
<
/p>
1.5
x
0.
5
y
„
150,
x
0.3
y
„
90,
5
x
3
y
„
600
,
x
…<
/p>
0,
0.
<
/p>
y
…
①
目标函数
z
2100
x
90
0
y
.
1
0
x
3
y<
/p>
900
取得最大值
.
解方程组
,
< br>得
M
的坐标
(60,100)<
/p>
.
5
x
3
y
600
所以当
x
60
,
y
100
时
,
z
max
2100
60
900
100
216000
.
故生产产品
A
、产品<
/p>
B
的利润之和的最大值为
216000<
/p>
元
.
考点：线性规划的应用
【名师点睛】
线性规划也是高考中常考的知识点
,
一般以客观题形式出现
,
基本题型是给出约束
条件求目标函数的最
值
,
常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直
线的距离
,
解决此类问题常利用数形结合
.
本题运算量较大
,
失分的一个主要
原因是运算失误
.
三
.
解答题
：解答应写出文字说明
,
证明过程或演算步骤
< br>.
（
17
）
< br>.
（本题满分
12
分）已知
a
n
是公差为
3
的等差数列
,
数列
b
n
满足
1
b<
/p>
1
=
1
，
b
2
=
，
a
n
b
n
1
b
n
1
nb
n
,.
3
（
I
）求
a
n
的通项公式；
< br>
（
II
）求
< br>
b
n
的前
n
项和
.