2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国卷1试卷及答案
-
2016
年普通高等学校招生全国统一考试
（新
课标全国卷
I
）
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题，本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1
．设集合
A=
{1,3,5,7}
，
B=
{
x
|2
≤
x
≤5}
，则
A
∩
B=
(
)
A
．
{1,3}
B
．
{3,5}
C
．
{5,7}
D
．
{1,7}
2
．设
(1
+2
i
)(
a+i
)
的实部与虚部相等，其中
a
为实
数，则
a=
(
)
A
．
-
3
B
．
-
2
C
．
2
D
．
3
3
．为美
化环境，从红、黄、白、紫
4
种颜色的花中任选
2
种花种在一个花坛中，余下的
2
种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
(
)
A
．
1
5
1
2
B
．
C
．
D
．
3
6
2
3
2
，
3
4
．
Δ
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
.
已知
a
5,
c
2,cos
A
则
b=
(
)
A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
3
<
/p>
5
．直线
l
经过
椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到
l
的距离为其短轴长
的
1
，则该椭圆的离心率为
(
)
4
1
1
2
3
A
．
B
．
C
．
D
．
3
2
3
4
1
6
．若将函数
y
=2sin (2
x
+
)
的图像向右平移
个周期后，所
得图像对应的函数为
6
4
(
)
<
/p>
A
．
y
=2si
n(2
x
+
)
B
．
y
=2sin(2
x
+
)
C
．
y
=2s
in(2
x
–
)
D
．
y
=2sin
(2
x
–
)
4
3
4
3
28
，
3
7
．如图，某几何体的三视图是三个半径相
等的圆及每个
圆中两条相互垂直的半径
.
若该几何体的体积是
则它的表面积是
(
)
A
．
17π
B
．
18π
C
．
20π
D
．
28π
8
．若
a
><
/p>
b
>0
，
0<<
/p>
c
<1
，则
(
)
A
．
log
a
c
b
c
B
．
log
c
a
c
b
C
．
a
c
<
b
c
D
．
c
a
>
c
b
9
．函数
y
=2
x
2
–e
|
x
|
在
[–2,2]
的图像大致为
(
)
y
y
y
1
1
1
O
O
O
-
2
2
x
-
2
2
x
-
2
2
x
-
2
A
B
C
y
1
O
2
x
D
开始
<
/p>
输入
x
,
y
,
n
10
．执行右面的程序框图，如果输入的
x
=0<
/p>
，
y
=1
，
n
=1
，
则输出
x
，
y
的值满足
(
)
n
1
A
．
y
=2
x
B
．
y
=3
x
x
x
,
y
ny
< br>n=n+
1
2
C
．
y
=4
< br>x
D
．
y
=5
x
否
x
2
+
y
2
≥36?
11
．平面
α
过正方体
ABCD
< br>-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
α
//
平面
CB
1
D
1<
/p>
，
α
∩
平面
ABCD=m
，
是
α
∩
平面
ABB
1
A<
/p>
1
=n
，则
m<
/p>
，
n
所成角的正弦值为
< br>(
)
输出
x<
/p>
,
y
3
2
3
1
B
．
C
．
D
．
结束
2
2<
/p>
3
3
1
12
．若函数
f
(
x<
/p>
)
x
-
sin
2
x
a
sin
x
在
(
-
∞,+∞)
单调
递增，则
a
的取值范围是
(
)
3
1
1
1
1
A
．
[
-
1,1]
B
．
[
-
1,
]
C
．
[
-
,
]
D
．
[
-
1,
-
]
3
3
3
3
A
．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部
分
.
第
13
题
~
第
21
题为
必考题，
每个试题考生都必须作答，
第
22
题
~
第
2
4
题为选考题，考生根据要求作答
.
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13
．设向量
< br>a
=(
x
，
x
+1)
，
b
=(1
，
2)
，且
a
⊥
b
，则
< br>x
=
.
14
．已知
θ
是第四象限角，且
sin(
θ
+
π
3
π
)=
，则
tan(
θ
-
)=
.
4
5<
/p>
4
15
．设直线
y=x
+2
a
与圆
C
：
x
2
+
y
2
-
2<
/p>
ay
-
2=0
相
交于
A
，
B
两
点，若
|
AB
|=
2
3
，
则圆
C
的面积为
.
16
．<
/p>
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种新型材料
.
生产一件产品
A
需要甲材
料
1.5kg
，
乙材
料
1kg
，
用
5
个工时；
生产一件产品
B
需要甲材料
0.5kg
，
乙材料
0.3kg
，
用
3
个工时，
生产一件产品
A<
/p>
的利润为
2100
元，
< br>生产一件产品
B
的利润为
900
元
.
该企
业现
有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，
生产产品
A
、产
品
B
的利润之和的最大值为
元
.
三、解答题：
（共
< br>70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21
题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第
22
、
23
、
24
题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共
60
分。
< br>
17.
（本题满分
12
分）
已知
{
a
n
}
是公差为
3
的等差数列，数列
{
b
n
}
满足
b
1
=1
，
b
2
=
(
Ⅰ<
/p>
)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(
Ⅱ
)
求
{
b
n
}
的前
n
项和
.
18.
（本题满分
12
分）
< br>
如图，
已知正三棱锥
P
-
ABC
的侧面是直角三角形，
P
A
=6
，
顶点
P
在平面
ABC
内的正投
P
影为点<
/p>
D
，
D
在平面<
/p>
P
AB
内的正投影为点
< br>E
，
连接
PE
并延长交
AB
于点
G
.
(
Ⅰ
)
证明
G
< br>是
AB
的中点；
(
Ⅱ
)
在答题卡第（
18
）题图中作出点
E
在平面
P
AC
E
A
C
内的正投影
F
(
说明作法及理由
)
，并求四面体
PDEF
的体积．
D
G
B
1
，
a
n
b
n
+1
+
b
n
+1
=
nb
n
.
3
19.
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
1
台机器，该种机器使
用三年后即被淘汰
.
机器有一易损零件，在购进
机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个
200
元
.
在机器使用期间，如果备件不足再
购买，则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了
10
0
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记
x
表示
1
台机器在三年使用期内需更换的易损
零件数，
y
表示
1
台机器在购买易损零
件上所需的费用（单位：元）
，
n
表示购机的同时购买的易损零件数
.
(
Ⅰ
)
若
n
=19
，求
y
与
x
的函数解析式；
(
Ⅱ
)
若要求
“
需更换的易损零件数不大于
n
”
的频率不小于
0
.5
，求
n
的最小值；
(
Ⅲ
)
假设这
100
台机器在购机的同时每台都购买
19
个易损零件，
或每台都购买
20
个易
损零件，分别计算这
10
0
台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，
购买
1
台机器的同时应购买
19<
/p>
个还是
20
个易损零件？
20.
（本小题满分
12
分）
在直角坐标系
xoy
中，<
/p>
直线
l
：
y
=
t
(
t
≠0)
交
y
轴于点
M
，
交抛物线
C<
/p>
：
y
2
=2
px
(
p
>0)<
/p>
于点
P
，
M
关于点
P
的对称点为
N
，连结
ON
并延长交
C
于点
H
.
(
Ⅰ
)
求
OH
ON
；
(
Ⅱ
)
除
H
以外，直线
MH
< br>与
C
是否有其它公共点？说明理由
.
21.
（本小题满分
12
分）
已知函数
f
(
x
)=(
x
-
2)
e
x
+
a
(
x
-
1)
2
.
(
Ⅰ
)
讨论
f
(
x<
/p>
)
的单调性；
(
Ⅱ
)
若
f
(
x
有两个零点，求
a
的取值范围
< br>.
请考生在
22
、
23
、
24
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
,
做答时请写清题<
/p>
号
22.
（本
小题满分
10
分）选修
4
-
1
：几何证明选讲
如图，
Δ
OAB
是
等腰三角形，∠
AOB
=120°.
以
O
为圆心，
1
OA
为半径作圆
.
2
(
Ⅰ
)
证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
(
Ⅱ
)
点
C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,
< br>C
,
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
23.
（本小题满分
10
分）选修
4—4
：坐标系
与参数方程
在直线坐标系
xoy
中，曲线
C
1
的参
数方程为
x
a
cos
t
（
t
为参数，
a
>0
）
.
在以坐
< br>
y
1
a
sin
t
标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：
ρ
=4cos
θ
.
(
Ⅰ
)
说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
(
Ⅱ
)
直线
C
3
的极坐标方程为
θ
=α
0
，
其中
α
0
满足
tan
α
0
=2
，
若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
< br>3
上，求
a
.
< br>
24.
（本小题满分
10
分）
，选修
4—5
：不等式选讲
已知函数
f
(
x
)=|
x
+1|
-
|2
x
-
3|.
(
Ⅰ
)
在答题卡第
24
题图中画出
y
=<
/p>
f
(
x
)
的图像；
(
Ⅱ
)
求不等式
|
f
(
x
)|>1
的解集
.