论文：分数化小数循环节的长度与什么有关？
-
附件
1
2015
年龙湾区小学生数学小论文评比
学
校：
温州市龙湾区海滨第二小学
姓
名：
孙
旭
冉刘煜
题
目：
分数化小数循环节的长度与什么有关？
指导教师：
陈
晓
娜
联系电话：
分数化小数循环节的长度与什么有关？
摘要：
根
据分数化小数的方法（分子除以分母）
，我们推测分数循环节的长度与分
1
子和分母有关。针对这个推测我们展开具体研究
：做了大量计算、统计、猜想、
推理、总结经验。得出循环节的长度与分数的分母有着密
不可分的关系。
。
关键词：
分数化小数
循环节
长度
分子
分母
正文：
一、提出问题
我们学习了分数化小数
的课后，老师就在黑板上写了
1
＝（
）让我们化
31
成小数，
第一个完成的将获得奖励。
大家算了很久还没有结果，
有一位同学就说：
“
1
肯定化不成小
数，被老师耍了。
”老师听了笑着说：
“任何分数都能化成有<
/p>
31
限小数或者无限循环小数。
当分数化
为小数时有两种情况：
当分数的分母分解后
只有
2
或
5
的质因数时就可以除尽
（为有限小数）
，分母分解后除
2
或<
/p>
5
之外别
的质因数时除不尽（成为无限小
数）
。
”那么
计算发现
1
＝能化成什么样的小数呢？通过
31
1
＝
0.12903225
…
…它是个无限循环小数，它的循环节
31
为
129
有
15
位之长。
这道题特别引起我们对循环节长度的好奇心，
分数化小数时出现的循环节的
长度又与谁有关系呢？难道真的与分子无关吗？
二、解决问题
我们根据分数化小数的
方法（用分子除以分母得出商）
。决定只研究最简真
分数里的一
个部分。它的分母分解质因数后：只有不是
2
和
5
的质因数或者有
2
和
5
外还有其它质因数。
（一）那么小数循环节的长度与分子真的没有关系吗？与分母有关？
为了减轻计算任务，我直接拿了书上的一个练习来研究：
实验一：
2
根据实验一的结果我们有两个发现：
第一、
分子不管为几，循环节都是
6
位
，
表明循环节的长度不受分子的变化
而影响。
< br>
第二、
分母都为
7
时，这些循环节里出现的数字都是一样，
只是排列顺序不
< br>一样。
那么这个规律在别的地方也能成立吗？于是我们
又展开了实验随机选取了
分母为
51
的
分数：
实验二：
实验三：
结论一：
根据不完全统计得出：循环节的长度确实与分子完全无关，只要分数的分
母不变，循环节
的长度就不会变。
3
实验二里表明循环节里出现的数字并不一样。
实验三里出现了与实验一同样
的现象：
循环节里出现的数字都是一样，
只是排列顺序不一样。对于这个现象因
为时间与精力的有限，在这里就不继续研究了。
（二）循环节的长度与分母倒底有什么样的关系呢？
既然循环节和长度与分子无关，
所以在下面实验中将都选分子为
1
的分数来
1
1
研究。
我们先利用电脑做了
到
（分母不超过
100
）
的大量
计算来分析的依据
3
99
（分母分解质
因数后只有质因数
2
和
5
的除外）
，具体看附件
1
。
根据对附件详细数据的分析，我们发现以下结论：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1.
循环节只有
1
位的分数有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
3
6
9
12
< br>15
18
24
30
36
45
1
1
1
1
1
1
< br>、
、
、
、
、
。
48
60
72
75
90
96
4
通过对上表中这些分数的分母进行分解质因数后进行分析有两个发现：
第一、这些分数的分母（除了
2
和
5
外）只有质因数
3
（分母是
3
的倍数）
，
1
它们循环节都是
1
位。
我们根据这个做出大胆猜测：
这组数中最大的数
的循
环
3
节为
1
位
，所以其它数的循环节也跟着为
1
位。
1
1
和
也是只
有质因数
3
（分母是
3
的倍数）
，
但
27
81
1
1
循环节位数不在
这个范围的特殊分数，
的循环节有
3
位
，
的循环节有
6
位。
< br>27
81
第二、
经过仔细核对发
现
至于原因我们暂时没有精力时行研究，留等以后再来探讨。
2.
循环节只有
2
位的分数有：
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
、
、
、
、
、
、
、
11
22
33
44
55
66
88
99
通过对上表中这些分数的分母进行分解质因数后进行
分析有两个发现：
第一、这些分数的分母都有质因数
11
（分母是
11
的倍
数）
，它的循环节都
为两位。对此，我们也做出猜测：最大数<
/p>
环节也为两位。
第二、这里也有一个特
殊的分数
1
的循环节是两位，所以其它数的循
< br>11
1
（分母是
11
的倍数）
，它的循环节却有
77
< br>6
位。至于原因将在下文中作出解释。
5
3.
循
环节有
3
位的分数有：
1
1
1
1
、
、
、
27
37
54
74
通过对上表中这些分数的分母进行分解质因数后进行分析有两
个发现：
第一、发现它们的循环节都为
3
位。
1
1
1
1
1
的分
母是
分母的倍数，
的分母是
分母的倍数
。
的循
74
37
27
37
54
1
1
1
环节位数决定了
的循环节位数
。
的循环节位数决定了
的循环节位数。
74
27
54
1
1
1
1
与之前两类的规律有些吻合，
（
、
）和（
、
）这两组数之间又似乎
74
37
54
27
第二、
没有
什么内在联系。
（留待后续解决）
4
.
循环节有
5
位的分数有：
1
1
、
41
82
1
1
通过对上表中这两个分数的观察发现：
的分母是
分母的倍数，它们的
82
4
1
1
1
循环节都是
5
位。我们也是猜测
的循环节位数决定
的循环节位数。
41
82
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5.
循环节有
6
位的分数有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
7
13
14
21
26
28
35
39
42
52
1
1
1
1
1
1
1
、
、
、
、
、
、
56
63
65
77
78
84
91
6
通过对上表中这些分数的分母进
行分解质因数后进行分析有三个发现：
第一、这类分数的循环
节位数都是
6
位。
< br>第二、
这类分数还可以分为两小类：一类为分母中有质因数
7
的分数，
它的
1
< br>循环节位数跟
一样；另一类为分母中有质因数
13
的分数，它们的循环节位数
7
1
是与
一样。
13
1
第三、发现奇怪的
，它的循环节也有
6
位，却没有质因数
7
和
13
。对于
81
这个另类，因为时间有限会在后续的研究中继续探索。
7
6.
循环节有
15
位的分数有：
1
1
1
、
、
31
62
93
通过对上表中三个分数的分母进行观察发现：
后
2
个分数
是
1
1
、
的分母都
62
93
1
1
分母的倍数。同
时它们的循环节位数也与
一样为
15
个
。
31
31
1
1
1
1
1<
/p>
7.
循环节有
16
位的分数有：
、
、
、
、
17
34
51
68
85
通过对上表中这些分数的分母进行分解质因数后进行分析发现：
这一类分数<
/p>
1
1
的分母的倍数。而且它们循环节位数
也与
一样。
17
17
1
1
1
1
1
8.
循环节有
< br>18
位的分数有：
、
、
、
、
19
38
57
76
95
后
4
个分数的分母都是
通过对上表中这些分数的分母进行分解质因数后进行分析发现：
这一类分数
8