初一数学上册知识点总结及练习
-
--
初一数学
(
上<
/p>
)
知识点
代数初步知识
１
.
代数式
:
用运算符号＋
-
×
÷
连接数及字母的式子称为代数式
(
单独一个
数或一个字母也是代数式
）
2
．几个重要的代数式
:
（ｍ、
n
表示整数
)
（
1)a
与
b
的平方差是：
a
－
b
；
a
与
b
差的平方是
:
（ａ
-b
）
；
(
２
)
若
a
、
b
、
c
是正整数
,
则两位整数是
:
10a+b
,
则三位整数是
:
100a+10b+c
；
(
３）若ｍ、
n
是整数，则被
5
除商<
/p>
m
余
n
的数是：
5
ｍ
+n
;
偶数是
:
2n
，奇数是
:
2n+1
；三个连续整数
是：
<
/p>
ｎ－１、
n
、
n
＋
1
;
2
2
2
有理数
1.
有理数：
(1)
凡能写成
q
(
p
,
q
为整数且
p
0
)
< br>形式的数
,
都是有理数
.
正整数、
0
、
负整数
统称整数
;
正分数、
负分数统
p
称分数；整数和分数统称有理数
.
注意
:0
即不是正数，也不是负数；
-
ａ不一定是负数，
+a
也
不一定是正数；
不是有理数；
正整数
正整数
正有理数
整数
零
正分数
(
２
)
有理数的分类
:
①
有理数
零
②
有理数
负整数
负整数
正分数
负有理数
分数
负分数
负分数
（
3
）
注意
:
有理数中，
1
、
0
、
-1
是三个特殊的数，
它们有自
己的特性；
这三个数把数轴上的数分成四个区域，
这四个区域的
数也有自己的特性
;
(
４）自然数<
/p>
０和正整数；
a>0
a
是正数
;a
＜
0
a
是负数；
a
≥
0
ａ是正数或
0
a
是非负数；ａ≤
0
ａ是负数或
0
ａ是非正数
.
２
.
数轴
:
数轴是规定了原点、正方
向、单位长度的一条直线
.
3.
相反数
：
(1)
只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反
数
;0
的相反数还是０
;
(2)
注意
:
ａ
-
ｂ
+
ｃ
的相反数是
-
ａ
+b-
ｃ；ａ－
b
的相反数是
b-<
/p>
ａ；
a
＋
b
的相反数是－
a-b;
(3)
相反数的和为
0
ａ＋
b=
０
a
、ｂ互为相反数
.
1 / 1
--
4.
绝对值
:
(1)
正数的绝对值是其本身，
0
的
绝对值是
0,
负数的绝对值是它的相反数；
注意：
绝对值的意义是数轴上表示
某数的点离开原点的距离
;
a
(<
/p>
a
0
)
(
a
0
)
a
(2)
绝对值可表示为
:
a
0
(
a
0
)
或
a
绝对值的问题经常分类讨论；
a
(
a
0
)
a
(<
/p>
a
0
)
(3)
a
a
1
a
0
a
a
1
a
0
< br>；
（
4)
< br>｜
a|
是重要的非负数，即
|<
/p>
ａ
|
≥０；注意：｜
a|
·
|b|=|a
·
b|,
a
b
a
.
b
5.
有理数比大小
:
（
1
）正数的绝对值越大
,
这个数越大
;
（
2
）正数永远
比
0
大
,
负数
永远比０小
;(3)
正数大于
一切负数
；
(
４
)
两个
负数比大小，
绝对值大的反而小；
(5
）
数轴上的两个数，
右边的数总比左边的数大；
(6
）大数
-
小数
>
０，小数
-
大数<
/p>
＜
0. <
/p>
1
6.
互为倒数
：
乘积为
1
的两个数互为倒数
;
注意：
０没有倒数；
若
a
≠
0,
那么
a
的倒数是
;
倒数是本身的数
a
是±１
;
若
a
ｂ
=
１
a
、ｂ互为倒数；
若
ab
＝
-1
a
、
b
互
为负倒数
.
7
．
有理数加法法则：
(1)
同号两数相加
,
取相同的符号，并把绝对值相加<
/p>
;
（
2
）异号
两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
;
(3
）一个数与
0
相加，仍
得这个数
.
8
．有理数加法的运算律：
（
1)
加法的交换律：ａ
+b=b+a
；
(2
）加法的结合
律
:
（ａ＋
b
）
+
ｃ
=a+
（
b+c
）
.
9
．有理数减法法则
:
减去一个数，
等于加上这个数的相反数
;
即
a
－ｂ
=a
＋
(-b)
．
10
有理数乘法法则
:
（
1)
两数相乘
,
同号为正，异
号为负
,
并把绝对值相乘；
（
2)
任何数同零相乘都得零；
(3
）几个数相乘，有一个因式为零
,
积为零；各个因式都不为零
,
积的符号由负因式的个数决定
.
1 / 1
--
11
有理数乘法的运算律
:
（
1
）乘法的交换律：
a
ｂ
＝
ba;
（２）乘法的结合律
:(
ａｂ
)
ｃ
=
ａ
(bc)
；
(3
）乘法的分配律
:a
< br>（
b+
ｃ）
=ab
＋
ac .
１
2.
有理数除法法则：
除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意
:
零不能做除数
,
即
无意义
.
13
．有理数乘方的法则
:
（
1)
正数的任何次幂都是正数；
（２
)
负数的奇次幂是负
数；负数的偶次幂是正数；注意：当
n
为正奇数时
: (-a)
=
－
a
或（
a -b
）
＝<
/p>
-
（
b
－
a)
,
当ｎ为正偶数时
:
(
－
a)
<
/p>
=a
14.
乘方的定义
< br>:
（
1
）求相同因式积的运算
,
叫做乘方；
(2)
乘方中
,
相同的因式叫做底数
，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂
;
(3)a<
/p>
是重要的非负数
,
即
a
≥０
;
若ａ
＋
|
ｂ
|=0
a=
０<
/p>
,b=0;
15.
科学记数法：
把一个大于
1
０的数
记成
a
×
10
的形式
,
其中
a
是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科
学记数法
.
16.
近似数的精确位
：
一个近似数
,
四舍五入到那一位
,
就说这个近似数的精确到那一位．
17.
有效数字
:
从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字
,
都叫这个近似数的有效数字
.
１８
.
混合运算法则：
先乘方
,
后乘除，最后加减
;
注意
：怎样算简单，怎样算准确
,
是数学计算的最重要的原
则
.
19.
特殊值法
:
是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一
种方法
,
但不能用于证明
.
n
２
2
2
n
n
ｎ
ｎ
ｎ
n
a
0
或
(a-b
）
＝
(b
－<
/p>
a)
.
n<
/p>
n
整式的加减
1.
单项式
:
在代数式中，若只含有乘法
(
包括乘
方
)
运算。或虽含有除法运算
,
但除式中不含字母的一类代数式
叫单项式．
2.
单项式的系数与次数
：
单项式中不为零的数字因数
,
叫单项式的数字系数
,
简称单项式的系数；
系数不为零
时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数
.
3
．多项式
:
几个单项式的
和叫多项式
.
1 / 1
-- <
/p>
4
．多项式的项数与次数：
多项式中所含
单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项
;
多
项式
里
,
次数最高项的次数叫多项式的
次数
;
注意：
(
若
a
、
b
、
c
、
p
、
q
是常数
)ax
＋
bx
＋
c
和<
/p>
x
+
ｐ
x+
ｑ是常见
的两个二次三项式
.
5.
整式：
凡不含有除法运算，或虽含有除法运算
但除式中不含字母的代数式叫整式
.
整式分类为：
整式
２
2
单项式
多项式
．
6.
同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项
.
7.
合并同类项法则：
系数相加
,
字母与字母的指数不变
.
8.
去
(
添）括号法则
:
去
(
添
)
括号时，若括号前边是“＋”号
,
括号里的各项都不变号
;
若
括号前边是“
-
”号
,
括号里的各项都要变号．
9.
整式的加减
:
整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多
项式的同类项合并
.
10.
多项式的
升幂和降幂排列
:
把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到
大（或从大到小
)
排列起来，叫
做按这
个字母的升幂排列（或降幂排列）
.
注意
:
多项式计算的最后结果一般应该进行升幂
(
或降幂
)
排列
.
一元一次方程
1
．等式的性质：
等式性质
1
：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式
,
所得结果
仍是等式
;
等式性质２：等式两边都乘以
(
或除以
)
同一个不为零的数，所
得结果仍是等式
.
2.
方程
:
含未知数的等式，叫方程
.
3.
方程的解：
使等式左右两边相等的未知数的值叫方
程的解；注意
:
“方程的解就能代入”
!
４．一元一次方程：
只含有一个未
知数
,
且未知数的次数是１，并且含未知数项的系数不是零的整
式方程是
一元一次方程
.
7
．一元一次方程的标准形式
:
ａ
x+b=0
（ｘ是未知数，
a
、
b
是已知数，且
< br>a
≠
0
）
．
8
．一元一次方程的最简形式<
/p>
:
ax=b
（
x
是未知数，
a
、
b
是已知数
,
且ａ≠０）
．
9
．
一元一次方程一般步骤：
整理方程
。
。
去分母
…去括号
…移项
…
合并同类项
…
系数化为
1
…
(
检验<
/p>
方程的解
).
1
０
.
列方程解应用题的常用公式
:
1 / 1
--
周长、面积、体积
问题
:
Ｃ
圆
=
2
π
R
，
S<
/p>
圆
=
π
R
,C
长
方
形
=2
（ａ
+b),S
长
方
形
=ab, C
正
方
形
=
４
a
，
2<
/p>
S
正
方
形
=a
2
，
S
环
形
＝π
(R
２
-
ｒ
２
),V
长
方
体
=ab
ｃ
,V
正
方
体
=a
3
，
V
圆
柱
=
πＲ
２
h
，
V
圆
锥
＝
1
π
R
2
h
．
习题
:
１、若
x
1
2
,
则
x
；若
x
2
(
y
3
)
2
0
,
则
x
y
3
２．比较
1
,<
/p>
1
,
1
的大小：
；
2
3
4
3
1
1
1
0
.
3
，
0
.
2
0
.
3
;
。
3
2
3
2
1
5
3
1
1
1
3
．计算
:
（１
)
2
24
< br>(
)
；
(2)
2
(
1
)
2008
;
(3
）
16
(
4
)
<
/p>
1
;
4
12
6
8
2
2
2
（
4
）
27
27
(
)
(
9
)
；
（
5
）
15
15
(
5
)
(
5
)
；
1
3
2
2
（
5
）（６
）
10
(
10
)
<
/p>
（
7
）
1
1
3
17
< br>．
（本题１
0
分）计算
(1
）
(1
2
1
1
(
10
)
;
2
2
< br>1
1
2
99
2
(
3
)
(
<
/p>
2
)
(
1
)
;
(8)
2
3
2
1
3
)
(
48)
(2<
/p>
）
(
1
)
10
2
(
2
)
3
4
< br>
6
4
1 / 1
解：
解
:
--
18
．
(
本题１<
/p>
0
分
)
解方程<
/p>
(
１
)
3
x
7
32
2
x
（
2)
<
/p>
1
1
1
x
3
x
2
解：
解：
23.
(
本题
10
分）关于
< br>x
的方程
x
< br>2
m
3
x
4
与
2
m
x
的解互为相反数．
（
1)
求
m
的值；
(6
分）
< br>(2)
求这两个方程的解．
（
4
分
)
解：
相交线与平行线
一、知识网络结构
1 / 1
6
--
二、知识要点
１、在同一平面内
,
两条直线的位置关系有
两
种：
相交
和
平行
,
垂直
是相交的一种特殊情况。
2
、
在同一平面内
,<
/p>
不相交的两条直线叫
平行线
。
如果两条直线只有
一个
公共点，
称这两条直线相交
;
如果
两条直线<
/p>
没有
公共点，称这两条直线平行。
3
、两条直线相交所构成的四个角中
,
有
公共顶点
且有
一条公共边
的两个角是
邻补角。邻补角的性质：
邻补角互补
。如图
< br>1
所示
,
与
互为邻补角，
与
互为邻补角。
+
=
１
80
°
;
+ = 18
０°
; +
＝
1
８
0
°；
+ =
１
8
０°。
4
、
两条直
线相交所构成的四个角中，
一个角的两边分别是另一个角的两边的
反向延长线
，
< br>这样的两个角互
为
对顶角
。对顶角的性质
:
对顶角相等。如图
1
所示
，
与
互为对顶角。
=
=
。
5
、两条直线相交所成的角中，如果有一个是
直角或
90
°时
,
< br>称这两条直线互相垂直，
其
中一条叫做另一条的垂线。如图
2
所示
,
当
＝
９
0
°时，
⊥
。
1 / 1
--
垂线的性质：
性质
1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质２
:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中
,
垂线段最短。
性质３
:
如图
2
所示，当
a
⊥
ｂ
时
, =
= =
=
90
°。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6
、同位角、内错角、同旁内角基本
特征：
①在两条直线
(
被截线
)
的
同一方
，都在第三条直
线
(
截线
)
的
同一侧
,
这样
的两个角叫
同位角
。图３中
,
共有
对同位角
:
与
是同位角
;
与
是同位角
;
与
是同位角
;
与
是同位角。
②在两条直线
(
被截线
)
之间
，并且在第三条
直线（截线
)
的
两侧
,
这样的两个角叫
内错角
。图
3
中，共
有
对内错角：
与
是内错角
;
与
是内错角。
③在两条直线
（被截线
)
的
之间
，
都在第三条直线
(
截线
)
的
同一旁
，
这样的两个角叫
同旁内角
。
图
3
中，共有
对同旁内角：
与
是同旁内角；
与
是同旁内角。
7
、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
1 / 1
--
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质
:
性质
1:
两
直线平行
,
同位角相等。如图４所示
,
如果ａ∥
b
，
则
=
；
＝
；
= =
。
性质<
/p>
2
：两直线平行
,
内错角相等。如图
4
所示，如果ａ∥
b,
则
=
；
=
。
性质<
/p>
3:
两直线平行，同旁内角互补。如图
4
所示，如果
a
∥
b
，则
+ =
18
０°
;
+ =
1
８
0
°。
性质
4
：平
行于同一条直线的两条直线互相平行。如果ａ∥
b,a
∥
c
，则
∥
8
、平行线的判定：
判定
1
：同
位角相等
,
两直线平行。如图
5
所示
,
如果
=
或
=
或
=
或
=
,
则
a
∥
b
。
判定
2
：内错角相等
,
两直线平行。如图
5
所示
< br>,
如果
＝
或
=
，则ａ∥
b
。
1 / 1
。
--
判定３
:
同旁内角互补
,
两直线平行。如图
5
所示，如果
+ =
１
80
°
;
+ = 1
８
0
°，则
a
∥ｂ。
< br>
判定
4
：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果ａ∥ｂ
,a
∥
c,
则
∥
。
9
、判断一件事情的语句叫命题。命题由
题设
和
结论
两部分组成，有
真命题
和
假命题
之分。如果题
设成立，那么结论
一定
成立
,
这样的命题叫
真命题
；如果题设成立，那么结论
不一定
成立
,
这样的命题
叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这
样的真命题叫定理
,
它可以作为继续推理的依据。
10
、平移
:
在平面内
,
将一个图形
沿某个方向移动一定的距离
,
图形的这种移动叫做平移变换，简
称平移。
平移后，
新图形与原图形的
形状
和
大小
完全相同。
平移后得到的新图形中每一点
,
都是由原图形中的某一
点移动后得到的
,
这样的两个点叫做对应点
。
平移性质
:
平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等
;
②对应线段相等
;
③对应角相等。
第六章
实数
【知识点一】实数的分类
1
、按定义分类：
2.
按性质符号分类：
注：
0
既不
是正数也不是负数
.
1 / 1