初一数学上下册知识点总结与重点难点、公式总结
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第一册
第一章
有理数
代数初步知识
1.
代数式：用运算符号“＋
－
×
÷
„„
”连
接数及表示数的字母的式子称
为代数式
.
注意：用字母表示数有一定的限制，
首先字母所取得数应保证它所在的式
子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字
母也是代数式
.
2.
列代数式的几个注意事项：
（
1
）数与字母相乘，或字母与字母相乘通
常使用“•
”
乘，或省略不写；
（
2
）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“•
”乘，也不能省略乘号；
（
3
）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如
a
×
5
应写成
5a
；
（
4
）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如
a
×
应写成
a
；
（
5
）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系
，如
3
÷
a
写
成
的形式；
（
6
）
a
与
b
的差写作
a-
b
，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为
a
、
b
时，则应分类，写做
< br>a-b
和
b-a .
3.
几个重要的代数式：
（
m
< br>、
n
表示整数）
（
1
）
a
与
b
的平方差是：
a2-b2
；
a
与
b
差的平方是
：
（
a-b
）
2
；
（
2
）
若
a
、
b
、
c
是正整数，
则两位整数是：
< br>
10a+b
,
则三位整数是：
100a+10b+c
；
（
3
）若
m
、
n
是整数，则被
5
除商
m
余
n
的数是：
5m+n
；偶数是：
2n
，奇数
是：
2n+1
；三个连续整数是：
< br>
n-1
、
< br>n
、
n+1
；
（
4
）若
b
＞
0
，则正数是
:a2+b
，负数是：
-a2-b
，非负数是：
a2
，非正数是：
-a2 .
有理数
1.1
正数和负数
< br>以前学过的
0
以外的数前面加上负号
“
－
”
的书叫做负数。
以前学过的
0
以外的数
叫做正数。
数
0
既不是正数也不是负数，
0
是正数与负数的分界。
在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义
1.2
有理数
1.2.1
有理数
< br>正整数、
0
、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数
。
整数和分数统称有理数。
1.2.2
数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
⑵同一根数轴，单位长度不能改变。
一般地，设是一个正数，则数轴上表示
a
的点在原点的右边，与
原点的距离是
a
个单位长
度；表示数－
a
的点在原点的左边，与原点的距离是
a
个单位长度。
1.2.3
相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
< br>在任意一个数前面添上
“
－
”<
/p>
号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4
绝对值
< br>一般地，数轴上表示数
a
的点与原点的距离叫做数
a
的绝对值。
一个
正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0
的绝对值是
0
。
在数轴上表示有理数，
它们从左到右的顺序，
就是从小到大
的顺序，
即左边的数小于右边的
数。
比较有理数的大小：⑴正数大于
0
，<
/p>
0
大于负数，正数大于负数。
⑵两个负数，绝对值大的反而小。
1.3
有理数的加减法
1.3.1
有理数的加法
有理数的加法法则：
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，
取绝对值较大的加数的符号，
并用较大的绝对值减去较小
的绝对值。互为相反数的两个数相加得
0
。
⑶一个数同<
/p>
0
相加，仍得这个数。
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律：
a
＋
b
＝
b
＋
a
三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法结合律：
(a
＋
b)
＋
c
＝
a
＋
(b
＋
c)
1.3.2
有理数的减法
有理数的减法可以转化为加法来进行。
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数。
a
－
b
＝
a
＋
(
－
b)
1.4
有理数的乘除法
1.4.1
有理数的乘法
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同
0
相乘，都得
0
。
乘积是
1
的两个数互为倒数。
几个不是
0
的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇
数时，积是负
数。
两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
ab
＝
ba
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
< br>（
ab
）
c
＝
a
（
bc
）
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数
相乘，再把积相加。
a
（
b
＋
c
）＝
ab
＋
ac
数字与字母相乘的书写规范：
⑴数字
与字母相乘，乘号要省略，或用
“”
⑵数字与字母相乘，当系数是
1
或－
1
时，
1
要省略不写。
< br>
⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。
用字母
x
表示任意一个有理数，
2
与
x
的乘积记为
2x
，
3
与
x
的乘积记为
3x
，则
式子
2x
＋
3x
是
2x
与
3x
的和，
2x
与
3x
< br>叫做这个式子的项，
2
和
3
分别是着两项的系数。
一般地，合并含有
相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再
乘字母因数，即
ax
＋
bx
＝（
a
＋
b<
/p>
）
x
上式中
x
是字母因数，
a
与
b
分别是
ax
与
< br>bx
这两项的系数。
去括号法则：
括号前是
“
＋
”
，把括号和括号前的
“
＋
”
去掉，
括号里各项都不改变符号。
括号前是
“
－
”
，把括号和括号前的
“
－
”
去掉，括号里各项
都改变符号。
括号外的因数是正数，
去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；
括号
外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
1.4.2
有理数的除法
有理数除法法则：
除以一个不等于<
/p>
0
的数，等于乘这个数的倒数。
a
÷
b
＝
a
•
(b
≠
0)
两数相除，同号得正，异
号得负，并把绝对值相除。
0
除以任何一个不等于
0
的数，都得
0
。
因为有理数的除法可以化为乘法，
所以可以利
用乘法的运算性质简化运算。
乘除混合运算往
往先将除法化成乘
法，然后确定积的符号，最后求出结果。
1.5
有理数的乘方
1.5.1
乘方
求
n
个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
。在
an
中，
a
叫做底数，
n
叫
做指数，当
an
看作
a
的
n
次方的结果时，也可以读作
a
的
n
次幂。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，
0
的任何正整数次幂都是<
/p>
0
。
有理数混合运算的运算顺序：
⑴先乘方，再乘除，最后加减；
⑵同级运算，从左到右进行；
⑶如有
括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
1.5.2
科学记数法
把一个大于
10
的数表示成
a
×
10n
的形式（其中
a
是整数数位只有一位的数，
n
是正整数）
，
使用的是科学记数法。
用科学记数法表示一个
n
位整数，
其中
10
的指数是
n
< br>－
1
。
1.5.3
近似数和有效数字
接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。
精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。
从一个数的左边第一个非
0
数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。
<
/p>
对于用科学记数法表示的数
a
×
10n
，规定它的有效数字就是
a
中的有效数字。
第二章
一元一次方程
2.1
从算式到方程
2.1.1
一元一次方程
含有未知数的等式叫做方程。
只含有
一个未知数（元）
，未知数的指数都是
1
（次）
，这样的方程叫做一元一次方程。
< br>分析实际问题中的数量关系，
利用其中的相等关系列出方程，
是数学解决实际问题的一种方
法。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
2.1.2
等式的性质
等式的性质
1
等式两边加（或减）同
一个数（或式子）
，结果仍相等。
等式的性质
2
等式两边乘同一个数，
或除以同一个不为
0
的数，结果仍相等。
2.2
从古老的代数书说起
——
一元一次方程的讨论⑴
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
2.3
从
“
买布问题
”
说起
——
一元一次方程的讨论⑵
方程中
有带括号的式子时，去括号的方法与有理数运算中括号类似。
解方程就是要求出其中的未知数（例如
x
）
，通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为
1
等步骤，
就可以使一元一次方程逐步向着
x
＝
a
的形式转化，这个过程主要依据等式的性质
和运算律等。
去分母：
⑴具体做法：方程两边都乘各分母的最小公倍数
⑵依据：等式性质
2
⑶注意事项：①分子打上括号
②不含分母的项也要乘
2.4
再探实际问题与一元一次方程
第三章
图形认识初步
3.1
多姿多彩的图形
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形，叫做几何图形。
3.1.1
立体图形与平面图形
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形
。
长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，就可以展开成平面图形。
3.1.2
点、线、面、体
几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。
包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。
面和面相交的地方形成线。
线和线相交的地方是点。
几何图形都
是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。
3.2
直线、射线、线段
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
两点确定一条直线。
点
C
线段
AB
分成相等的两条
线段
AM
与
MB
，
点
M
叫做线段
AB
的中点。
类似的还有线段
的三
等分点、四等分点等。
直线桑一点和它一旁的部分叫做射线。
两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
3.3
角的度量
角也是一种基本的几何图形。
度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角
360
等分，每一份就是一度的角，记作
1
；把
1
度的角
60
等分，每份叫做
1
分的角，
记作
1
；把
< br>1
分的角
60
等分，每份叫做<
/p>
1
秒的角，记作
1
。
3.4
角的比较与运算
3.4.1
角的比较
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。类似的，
还有叫的三等分线。
3.4.2
余角和补角
如果两个角的和等于
90
（直角）
< br>，就说这两个角互为余角。
如果两个角的和等于
180
（平角）
，就说这两个角互为补角。<
/p>
等角的补角相等。
等角的余角相等。
本章知识结构图