奥数新讲义-一元二次方程-根与系数的关系2(学)
-
第
2
讲
<
/p>
一元二次方程
2
：根与系数的关系
根与系数的关系应用很广，很多题目不仅涉及根与系数的关系，还综
合了整数的性质（奇偶性、质数
等）
、因式分解等内容，具有一
定的技巧性
.
一、
基础知识
1
．韦达定理
2
若一元二次方程
ax
bx
c
0
(
a
< br>0)
有两个根
x
1
,
x
2
，则
x
1
,
x
2
与方程的系数
a
、
b
、
c
之间有以下
关系：
x
1
x
2
b
c
；
< br>x
1
x
2
a
a
这是法国数学家韦达（
1540
－
1603
年）发现的定理
.
2
反之，若
x
1
x
2
p
；
x
1
x
2
q
，则以
x
1
,
x
2
为根的一元二次方程为
x
px
q
0
2
．根与系数的关系的应用
一元二次方程的根与系数的关系应用十分广泛，常见的类型如下
:
(1)
已知方程的一个根，求方程的另一根及方程中的字母系数；
(2)
已知两根之间的关系，求方程
中字母的取值和取值范围或字母之间的关系；
(3)
判断一元二次方程实根的符号；
(4)
不解方程，求一元二次方程两根的有关代数式的值；
(5)
已知两根，求作一元二次方程；
(6)
非一元二次方程问题中构造一元二次方程解题
.
二、
例题部分
例
1
已知方程
2
x
2
7
x
6
0
的一个
根为
2
，求另一个根；
例
2
方程
x
2
ax
b
0
的两根的比为
3:4
，判别式的值等于
2
，求此方程的二根
.
例
3
已知关于
x
的二次方程
x
px
2
0
的两个实根为
x
1
,
x
2
，且
< br>x
1
x
2
2
2
，
那么
p
的值为多少？
2
例
4
当
a
1
时，方程
(
a
1)
x
(
a
1)
x
(
a
1)
0
< br>的根的情况是（
）
A
．两负根
C
．一正根、一负根且负根的绝对值小
B
．一正根、一负根且负根的绝对值大
D
．没有实数根
3
2
2
例
5
已知方程
x
2
3
x
2
k
2
0
，
k
为实数，试
证明此方程有两实根，并判断两实根与
1
的大小关系；
例
6
如果二次方程
(
ab
2
b
)
x
2(<
/p>
b
a
)
x
2
a
ab
0
有两个相等的实根，那么
例
7
已知关于
x
的二次方程
2
x
2
ax
2
< br>a
1
0
的两个实数根的平方和为
7
例
8
若
m
、
n
是二次方程
x
2
199
4
x
7
<
/p>
0
的两个根，试求
(
m
1993
m
< br>
6)(
n
< br>1995
n
8)
的值；
2
例
9
已知关于
x<
/p>
的一元二次方程
ax
< br>bx
c
0
(
a
0)
没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两
2
1
1
_________
；
a
b
1
，则
a<
/p>
的值为
_______
；
4
2
2
根为
2
和
4
，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－
1
和
4
，那么
例
10
已知方程
2
x
2
3
x
5
0
的两根为
x
1
,
x
2
，求：
2
2
3
3
5
5
（
1
）
x
1
x
2
；
（
2
）
x
1<
/p>
x
2
；
（
3
）
x
1
x
2
b
2
c
的值为
_______
；
3
a