一元二次方程题型分类总结.
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一元二次方程题型分类总结
知识梳理
一、知识结构：
< br>解与解法
一元二次方程
根的判
别
韦达
定理
考点类型一
概念
②
③<
/p>
(1)
定义：
①
只含有一个未知数
，并且
未知数的最高次数是
< br>2
，这样的
整式方程
．．．．．
．．．
．．．．．．．．．
．
．．．．
就是一元二次方程。
(2)
一般表达式：
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
⑶难点
：如何理解
< br>“未知数的最高次数是
2
”
：<
/p>
①该项系数不为“
0
< br>”
；
②未知数指数为“
2
”
；
③若存在某项指数为待定系数，
或系数也有待定，
则需建立方程或不等式加以讨
论。
典型例题：
例
1
、下列方程中是关于
x
的一元二次
方程的是（
）
1
1
2
A
3<
/p>
x
1
2
x
1
B
2
2
0
x
x
C
ax
2<
/p>
bx
c
0
D
x
2
2
x
x
2
1
变式：当
k
时，关于
x
的方程
kx
2
2
x
x
2
3
是一元二次方程。
例
2
、方程
m
2
x
m
3
mx
1
0
是关于
x
的
一元二次方程，则
m
的值
为
。
针对练习：
★
1
、方程
8
x
2
7
的一次项系数是
，常数项是
。
★
2
、若方程
m
<
/p>
2
x
m
1
0
是关于
x
的一元一次方程，
⑴求
m
的值；⑵写出关于
x
的一元一次方程。
★★
3
、
若方程
m
1
x
2
m
x
1
是关于
x
的一元二次方程，
则
m
的取值范围
是
。
★★★
4
、若方程
nx
m
+x
n
-2x
2
=0
是一元二次方程，则下列
不可能的是（
）
A.m=n=2
B.m=3,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
考点类型二
方程的解
⑴概念：
< br>使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用
：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例
1
、已知
2
y
2
y
3
的值为
2
，则
4
y
2
2<
/p>
y
1
的值为<
/p>
。
例
2
、关于
x
的一元二次方程
a
2
x
2
x
a
2
4
0
的一个根为
0
，则<
/p>
a
的值
为
。
例
3
、
已知关于
x
的一
元二次方程
ax
2
< br>bx
c
0
a
0
的系数满足
a
c
b
，
则
此方程
必有一根为
。
例
4
、已知
a
,
b
是方程
x
2
4
x
m
0
的两个根，
b
,
c
是方程
y
2
8
y
5
m
0
的两
个根，
则
m
的值为
。
针对练习：
★
1
、已知方程
x
< br>kx
10
< br>0
的一根是
2
，则
k
为
，另一根是
。
★
2
、已知关于
x
的方程
x
kx
2
0
的一个解与方程
⑴求
k
的值；
⑵方程的另一个解。
★
3
、已知
m
是方程
x
x
1
0
的一个根，
则代数式
m
m
。
★★<
/p>
4
、已知
a
是<
/p>
x
3
x
1
0
的根，则
2
a
6
a
。
★★<
/p>
5
、方程
a<
/p>
b
x
b
c
x
c
a
0
的一个根为（
）
2
2
2
x
1
3
的解相同。
x
1
2
2
2
2
A
1
B
1
C
b
c
D
a
x
y
★★★
6
、若<
/p>
2
x
5
y
3
0
,
则
4
32
。
考点类型三
解法
⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：
降次
类型一、直接开方法：
x
2
m
m
0
,
x
m
< br>
※※对于
x
a
m
，
ax
m
bx
n
<
/p>
等形式均适用直接开方法
2
2
2
典型例题：
2
2
例
1
、解方程：
1
2
x
8
0
;
2
25
16
x
=0;
3
<
/p>
1
x
9
0
;
2
例
2
、若<
/p>
9
x
1
16
x
2
，则
x
的值为
。
2
2
针对练习：
下列方程无解的是（
）
2
2
2
A.
x
3
2
x
1
B.
<
/p>
x
2
0
C.<
/p>
2
x
3
1
x
D.
x
9
< br>
0
2
类型二、因式分解法
:
x
x
1
x
x
2
0
x
x
1
,
或
x
x<
/p>
2
※方程特点：左边可以分解为两个一
次因式的积，右边为“
0
”
，
※方程形式：如
a
x
m
<
/p>
bx
n
，
x
a
x
b
x
a
x
c
，
2
2
x
2
2
ax
a
2
0
典型例题：
例
1
、
2
x
x
3
5
x
3
的根为（
）
A
x
5
5
2
B
x
3
C
x
1
,
x
2
3<
/p>
D
x
2
5
2
2
例
2
、若
4
x
y
3
4
x
y
4
0
，则
4x+y
的值为
。
变式
1<
/p>
：
a
2
b
2
a
2
2
b
2
6
0
,
则
a
2
<
/p>
b
2
。
变式<
/p>
2
：若
x
y
2
x
y
3
0
，则
x+y
的值为
。
< br>变式
3
：若
x
< br>2
xy
y
14
，
y
2
xy
x
28
，
则
x+y
的值为
。
例
3
、方程
x
2
x
6
0
的解为（
）
A.
x<
/p>
1
3
，x
2
2
B.
x
1
3
，x
2
2
C.
x
1
3
，x
2
3
D.
x
1
2
，x
2
2
例
< br>4
、解方程：
x
2
2
3
< br>
1
x
2
3
4
0
例
5<
/p>
、已知
2
x
2<
/p>
3
xy
2
y
2
0
,
则
x
y
的值为
。
x
y
x
y
的值为
。
x
y
变式：已知
2
x
2
3
xy
2
y
2
0
,
且
x
0
,
y
0
,
则
针对练习：
★
1
、下列说法中：
①方程
x
2
px
q
0
的二根为
x
1
，
x
2
，则
x
2
px
q
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
②
x
2
6
x
8
(
x
2
)(
x
4
)
.
③
a
2
5
ab
6
b
2
(<
/p>
a
2
)(
a
3
)
④
x
2
y
2
< br>
(
x
y
)(
x
y
)(
x
y
)
⑤方程
(
3
x
1
)
2
7
0
可变形为
(
3
x
1
7
)(
3
x
1
< br>7
)
0
正确的有（
）
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
★
2
、以
1
7
与
1
7
为根的一元二次方程是（）
A
．
x
2
2
x
6
0
B
．
x
2
2
x
6
0
C
．
< br>y
2
2
y
6
0
D
．
y
2
2
y
6
0
★★
3
、
⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为
1
，且两根互为
倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要
求二次项系数不为
1
，且两根互为相反数：
★★
4
、若实数
x
、
y
满足
x
y
3
< br>x
y
2
0
，
则
x+y
的值为（
）
A
、
-1
或
-2
B
、
-1
或
2
C
、
1
或
-2
D
、
1
或
2
1
5
、方程：
x
2
2
<
/p>
2
的解是
。
x
★★★
6
、已知
6
x
2
xy
<
/p>
6
y
2
0
，且
x
0
，
y
0
，求
2
2
x
6
y
的值。
3
x
y
★
★
★
7
、
方
程<
/p>
1999
x
1998
2000
x
1
0
的
较
大
根
为
r
，
方
程
2007
x<
/p>
2
2008
x
1
0
的较小根为
s
，则
s-r
的值为
。
b
b
2
4
ac
2
类型三、配方
法
ax
bx
c
0
<
/p>
a
0
x
2
2
a
4
a
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解
代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例
1
、
试用配方法说明
x
2
2
x
3
的值恒大于
0
。
例
2
、
已知
x
、
y
为实数，求代数式
x
2
y
2
2
x
4
y
7
的最小值。
例
3
、
已知
x
2
y
2
4
x
6
y
13
0
< br>，x、y
为实数，求
x
y
的值。
例
4
、
分解因式：
4
x
2
12
x
<
/p>
3
针对练习：
★★
1
、试用配方法说明
10
x
2
7
x
4
的值恒小于
0
。
★★
2
、已知
x
2
2
1
1
1
，则
x
4
0
x
.
x
x
x
2
★★★
3
、若
t
2
<
/p>
3
x
2
12
x
9
，则
t
的最大值为
，最小值
为
。
★
★
★
4
、
如
果
a
b
为
。
类型四、公式法
⑴条件：
a
0
,
且
b
2
4
ac
0
b
b
2
4
ac
⑵公式：
x
,
a
0
,
且
b
2
4
ac
0
2
a
c
1
1
4
a
<
/p>
2
2
b
1
4
,
那
么
a
2
b
3
c
的
值