一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok.doc
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一元二次方程专题复习
一、知识结构：
解与解法
一元二次方程
根的判别
韦达定理
二、考点精析
考点一、概念
①
②
③
(1)
定义：
只含有一个未知数
，并且
未知数的最高次数是
2
，这样的
整式方程
就是一元二次方程。
．．．．．．．．
．．．．．．．．
．．
．．．．
(2)
一般表达式：
ax
2
bx c 0(a
0)
⑶难点
：如何理解
“未知数的最高次数是
2
”：
①该项系数不为“
0
”；
②未知数指数为“
2
”；
③若
存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例
1
、下列方程中是关于
A
x
的一元二次方程的是（
）
3 x 1
2
2 x 1
B
1
1
2 0
x
2
x
x
2
2x
2x x
2
1
C
ax
2
bx c 0
D
变式：当
k
例
2
、方程
m
针对练习：
★
1
、方程
8x
2
2
时，关于
x
的方程
kx
x
2
3
是一元二次方程。
2 x
m
3mx
1
0
是关于
x
的一元二次方程，则
m
的值为
。
7
的一次项系数是
，常数项是
。
★
2
、若方程
m
2 x
m
1
0
是关于
x
的一元一次方程，
x
的一元一次方程。
⑴求
m
的值；⑵写出关于
2
★★
3
、若方程
m
1 x
m ? x
1
是关于
x
的一元二次方程，则
m
的取值范围是
）
。
★★★
4
、若方程
nx
m
+x
n
-2x
2
=0
是一元二次方程，则下列不可能的是（
A.m=n=2
B.m=2,n=1
考点二、方程的解
C.n=2,m=1
D.m=n=1
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用
：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例
1
、已知
2 y
2
y
3
的值为
2
，则
4
y
2
2y
1
的值为
a 2 x
2
x a
2
4
c
。
例
2
、关于
x
的一元二次方程
0
的一个根为
0
，则
a
的值为
0 a
0
的系数满足
a c
1
。
2
例
3
、已知关于
x
的一元二次方程
ax
bx
b
，则此方程必有一根
为
。
例
4
、已知
a,b
是方程
x
2
4x
m
0
的两个根，
b, c
是方程
y
2
8 y
5m
0
的两个根，
则
m
的值为
。
针对练习：
★
1
、已知方程
x
2
kx
10
0
的一根是
2
，则
k
为
，另一根是
。
★
2
、已知关于
x
的方程
x
2
kx
2
0
的一个解与方程
x
1
3
的解相同。
x
1
⑴求
k
的值；
⑵方程的另一个解。
★
3
、已知
m
是方程
x
2
x
1
0
的一个根，则代数式
m
2
m
。
★★
4
、已知
a
是
x
2
3x
1 0
的根，则
2a
2
6a
。
★★
5
、方程
a
b x
2
b
c x
c a
0
的一个根为（
）
A
1
B
1
C
b
c
D
a
★★★
6
、若
2x
5 y
3
0,
则
4
x
?32
y
。
考点三、解法
⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：
降次
类型一、直接开方法：
x
2
m m
0 ,
x
m
※※对于
x a
2
m
，
ax
m
2
bx
n
2
等形式均适用直接开方法
典型例题：
例
1
、解方程：
1
2x
2
8
0;
2 25
16x
2
=0;
3 1 x
2
9 0;
例
2
、若
9 x 1
2
16 x 2
2
，则
x
的值为
。
针对练习：
下列方程无解的是（
）
A.
x
2
3 2x
2
1
B.
x 2
2
0
C.
2x 3 1 x
D.
x
2
9
0
类型二、因式分解法
:
x
x
1
x
x
2
0
x
x
1
,
或
x
x
2
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“
0
”，
※方程形式：如
ax
m
2
bx
n
2
，
x
a
x
b
x
a x
c
，
x
2
2ax
2
a
2
0
典型例题：
例
1
、
2x x
3
5 x
3
的根为（
）
A
x
5
B
x 3
C
x
5
1
,
x
2
3
D
x
2
2
2
5
例
2
、若
4x
y
2
3 4 x
y
4
0
，则
4x+y
的值为
。
变式
1
：
a
2
b
2
2
a
2
b
2
6 0,
则
a
2
b
2
。
变式
2
：若
x
y
2
x
y
3
0
，则
x+y
的值为
。
变式
3
：若
x
2
xy
y
14
，
y
2
xy
x
28
，则
x+y
的值为
。
例
3
、方程
x
2
x
6
0
的解为（
）
A.
x
1
3
，
x
2
2
B.
x
1
3
，
x
2
2
C.
x
1
3
，
x
2
3
D.
x
1
2
，
x
2
2
例
4
、解方程：
x
2
2
3
1 x
2
3
4
0
例
5
、已知
2
x
2
3xy
2y
2
0
,
则
x
y
的值为
。
x
y
变式：已知
2x
2
3xy
2
y
2
0
,
且
x
0, y
0
,
则
x
y
的值为
。
x
y
针对练习：
★
1
、下列说法中：
①方程
x
2
px
q 0
的二根为
x
1
，
x
2
，则
x
2
px q
( x
x
1
)(x
x
2
)
②
x
2
6x 8
( x
2)( x
4)
.
③
a
2
5ab
6b
2
(a
2)(a 3)
④
x
2
y
2
( x y)(
x
y )(
x
y )
⑤方程
(3x
1)
2
7
0
可变形为
(3x
1
7)(3x 1
7 )
0
正确的有（
）
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
★
2
、以
1
7
与
1
7
为根的一元二次方程是（）
A
．
x
2
2x 6 0
B
．
x
2
2x 6 0
C
．
y
2
2 y 6 0
D
．
y
2
★★
3
、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为
1
，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为
1
，且两根互为相反数：
★★
4
、若实数
x
、
y
满足
x
y
3
x y
2
0
，则
x+y
的值为（
）
A
、
-1
或
-2
B
、
-1
或
2
C
、
1
或
-2
D
、
1
或
2
3
2 y 6 0
5
、方程：
x
2
1
x
2
6x
2
的解是
。
★★★
6
、已知
2
xy
6y
2
0
，且
x
0
，
y
0
，求
2x
6 y
的值。
3x
y
★★★
7
、方程
1999
x
2
s
，则
s-r
的值为
1998
2000x 1
。
0
的较大根为
r
，方程
2007 x
2
2008 x 1
2
0
的较小根为
2
类型三、配方法
ax
bx
c
0 a 0
x
b
2a
b
2
4ac
4a
2
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。<
/p>
典型例题：
2
例
1
、
试用配方法说明
x
2x
3
的值恒大于
0
。
例
2
、
已知
x
、
y
为实数，求代数式
x
2
y
2
2x
4 y
7
的最小值。
例
3
、
已知
x
2
y
2
4x 6 y 13
0
y
，
x
、
y
为实数，求
x
的值。
3
例
4
、
分解因式：
4x
2
12x
针对练习：
★★
1
、试用配方法说明
★★
2
、已知
x
2
10x
2
7x
4
的值恒小于
0
。
1
x
2
x
1
4
0
，则
x
x
1
x
.
★★★
3
、若
2
t
3
2
x
c
1
12
9
x
，则
t
的最大值为
1
，最小值为
。
。
★★★
4
、如果
a
类型四、公式法
⑴条件：
a
b
4
a 2
2 b
1 4
,
那么
a
2b
3c
的值为
0,
且
b
2
4ac
b
2
2a
0
⑵公式：
x
b
2
4ac
,
4ac
a
0,
且
b
0
典型例题：
例
1
、选择适当方法解下列方程：
⑴
3 1 x
2
6.
⑵
x 3 x 6
8.
4
⑶
x
2
4 x 1 0