人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
-
一元二次方程全章知识点专题复习
【课标要点】
1.
理解一元二次方程定义；
2.
会解一元二次方程；
3.
会根据根的判别式
b
4
ac
判断一元二次方程的根的情况；
4.
会列一元二次方程解决实际问题
.
,
2
【
知识网络
】
解法
<
/p>
根的判别式
一元二次方程
二次三项式的分解因式
根与系数的关系
实际应用问题
第
1
讲
一元二次方程的概念
【知识要点】
2
0
a
0),
其中
a
,
b
,
c
是常数
.
1
、一元二次方程的一般形式：
a
x
bx
c
（
2
、在一
般式中，当
b
＝
0
时，则有
ax
c
0
或当
c
< br>＝
0
时，则有
ax
bx
0
，
这两种
情况都是一元二次方程
.
【典型例题】
例
1
例
2
~
2
2
判断下列关于
x
的方程是不是一元二次方程
.
2
（）<
/p>
1
2
3;(2
)
x
2
5<
/p>
x
0;(3)
x
2
2
xy
3
0;(
4)
x
x
5;(5)2
x
(
x
3)
2
x
2
1
;
x
5
1
1
(6)
3
x
x
3;(7)
2
2
x
;(8)<
/p>
abx
2
(<
/p>
a
b
)
x
1
0;(9)
x
2
3
3
x
4
0
:
x
x
1
(10)
px
2
qx
m
< br>0.(
p
0)
分析：一元二次方程，必须满足：
（
1
）整式方程；
（
2
）含有一个
未知数，并且最高次数
是
2.
解：
方程（
1
）
、
（
6
）
、
（<
/p>
7
）的左边是分式，不属于整式方程，方程（
3
）含有两个未知数，
方程（
4<
/p>
）的左边不是整式，方程（
5
）经整理候
，得－
6x
＝
1
，方程（
8
）中未确定
ab≠0
，
因此，只有（
2
）
、
（
9
）<
/p>
、
（
10
）是一
元二次方程
.
例
3
（
m
5)(
m
3)
x
方程
m
2
(
m
3)
x
5
0.
（
1
）
m
为何值时，此方程为一元二次方程
（
2
）
m
为何值时，此方程为一元一次方程
分析：
形如
ax
bx
c
0
的方程，
当
n
＝
2
且
a
≠0
时为一元二次方程；
当
a
＝
0
时且
b≠0
时为一元二次方程
.
，
n
解：<
/p>
（
1
）当
m
－
2
＝
2
时，
m
＝
4
，这时
（
m
5)(
m
3)
0.
当
m
＝
4
时，此方程为一元二
次方程
.
当（
m
5)(
m
3)
0,
m
2
0
,
m
2
为自
然数，且
m
－
3
0
时，
（
2
）
方程为一元一
（
< br>m
5)(
m
< br>
3)
0
得
m
＝
5
或
m
＝
3
，又
因为
m
3
，
次方程
.
由
∴
当
m
＝
5
时，
此方程为一元
一次方程
.
例
3
为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为
2240
米的河堤进行加固，由
于采用了新的加固
模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了
20
米，因而完
成此段加
固工程所需天数将比原计划缩短
2
填，
为进一步缩短该段加固工程的时间，
如果要求每天加<
/p>
固
224
米，那么在现在计划的基础上，
每天加固的长度还应再增加多少米（只需列出方程，
并整理成一般一元二次方程形式
.
）
分析：根据
题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了
20
< br>米，
而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短
2
天，由时间关系列出方程
.
解：设现在计划每天加固河堤
x
米，则原来计划每天
加固河堤（
x
－
20
< br>）米
.
根据题意德
2240
2240
<
/p>
2
，整理，得
x
2
20
x
2240
0
x
20
x
【
知识运用
】
一、选择题
1
．一元二次方程得一般形式是（
）
A.
x<
/p>
bx
c
0
`
B.<
/p>
ax
bx
<
/p>
c
0
C.
ax
bx
c
0
(
a
o
)<
/p>
D.
以上都不对
2
．下列方程为一元二次方程的有（
）
A.
x<
/p>
2
2
2
2
1
1
0
2
x
2
3
< br>B.
ax
5
bx
2
c
< br>
2
2
3
2
2
C.
x
1
<
/p>
9
2
+y=0
3.
关于
x
的
方程
m
x
m
x
m
x
<
/p>
nx
px
<
/p>
q
(
其中
m
n
），
经化简整
理，化为
ax
2
bx
c
（
0
a
0)
的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（
）
－
n
，
p
，
q
B. m
－
n
，－
p
，
q
－
n
，－
p
，－
q
－
n
，
p
，－
q
4
．将一元二次方程
（
）
1
2
x
－
2x
3
0
的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是
2
A.
x
－
2x
3
0
二、填空题
2
B.
x
－
4
x
6
0
2
C
x<
/p>
－
4
x
－
6
0
2
D
x
+4
x
6
< br>0
2
5
．方程
4x
0
是
_____
元
______
次方程，二次项系数是
______
，一次
项系数是
____
，常数
项是
_______.
2
（
m-1)x
－
(
2
m
1)x
m
0
不是关于
x
的一元二次方程；当
6.<
/p>
当
m__________
时，方程
m___________
时，上述方程才是关于
< br>x
的一元二次方程；
7.
若方程
k
x
x
3x
1
是一元二次方程，则
k
的取值范围是
_________;
三、解答题
8
．若方程
(
k
3)x
:
2
2
< br>2
k
1
2
x
3
0
是关于
x
的一元二次方程，求
k
的值
.
9
．若关于
x
的一元二次方程
(a-1)x
+x+a
1
0
的一个根是
0
，求
a
的值
.
2
2
10
．某大学改善校园环境，计划在
一块长
80
米，宽
60
米的矩形场地中央建一矩形网球场，
网球场占地面积为
3500
平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题
< br>意列出泛称，并将其化为一般形式
.
.
第
2
讲
配方法
【知识要点】
1
、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成
x
a
b(
b
0)
的形式，
则
x
＝
2
a
b
(
b
0)
.
2
、
配方法解一元二次方程：
利用公式
a
2
ab
b
(
a
b
)
，
把一元二次方程转化为
2
2
2
(
x
a
)
2
b<
/p>
(
b
0)
，再利用直接开平方法解方程
.
【典型例题】
例
1
用配方
法解关于
x
的一元二次方程：
x
px
q
0
分析：
配方法解一元二次方程，
关键要搞清配方的目
的是什么，
即配方要使方程能运用
直接开平方法解决，
该题是一种字母系数的一元二次方程，
故可按上述步骤进行求解，
先将
其整理成一般形式，
二次项系数化为
1.
因二次项系数为
1
，
所以移项得
x
p
x
q
，
方程
两边配方，然后利用完全
平方公式，直接开平方法解出方程
.
、
2
2
解：
<
/p>
移项，得
x
2
px
q<
/p>
,
p
2
p
2
配方，得
x
px
(
)
q
,
2
4
p
2
p
2
4q
整理，得（
x
+
）
＝
,
2
< br>4
p
2
4q
2
（
1
）当
p
4
q
0
时，
0,
方程两边直接开平方，得
4
2
p
p
2
4q
p
p
2
4q
x
1
＝
,
x
2
＝
;
2
2
p
(2)
当
p
2
4
q
＝
0
时，
x
1
＝
x
2
＝
；
2
（
3
）当
p
2
4
q
0
时
,
原方程无实数解<
/p>
.
例
2
用配方法解方程
（
< br>1
）
x
6x
5
0
；
（
2<
/p>
）
4x
7x<
/p>
2
0
分析：方程经过移项，配方后变为形如
(<
/p>
ax
b
)
c
的方程
.
解：
（
1
）
-
2
2
2<
/p>
移项，得
x
2
6
x
5,<
/p>
2
配方，得
x
2
6
x
9
5
9,
即（
x
＋
3
）
14
x
3
14,
x
1
3
14,
x
2
3
14
（
2
）移项，得
4x
7x
2
化二次项系数为
1
，
2
7
7
1
7
得
x
2
x
(
)
2
< br>
(
)
2
4
8
2
8
7
2
17<
/p>
7
17
即（
x<
/p>
）
＝
，
x
＝
8
64
8
8
7
17
7
17
x
< br>＝
+
，
x
＝
-
8
8
8
8
7
17
7
17
x
1
＝
，
x
2
＝
8
8
例
3
< br>
！
例
4
的值总
大于
x
2
x
4
的值
.<
/p>
试证：不论
x
为何实数，多项式
2
x
4
x
1
< br>4
2
4
2
分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法
.
解：
…
(2
x<
/p>
4
4
x
2
1)
(
x
4
2
x
2
< br>4)
x
4
2
x
2
3
(
x<
/p>
4
2
x
2
1)
2
(
x
2
1)
2
2
对于任何实数
x
，总有
(
x
2
1)
2
2
0
即
(2
x
4
< br>4
x
2
1)
(
x
4
2
x
2<
/p>
4)
0
的值总大于
x
2
x
4
的值
.
∴
多项式
2
x
4
x
1
【
知识运用
】
一、选择题
1
．
已知代
数式
2
x
4
x
2
的值为
3
，则代数式
2
x
8x
5
的值为（
）
B.
－
5
2<
/p>
2
2
4
2
4
2
C.
5
或－
5
2
．将二次三项式
2x
4x
6
进行配方，正确的结果是（
）
2
x-1
）
4
A.
（
2
2
2
x-1
）
4
B.
（
2
<
/p>
2
x-2
）
<
/p>
2
C.
（
2
<
/p>
2
x-2
）
<
/p>
2
D.
（
2
3
．方程
(
x
1)
9<
/p>
的解是（
）
#
A.
x
2
B.
x
4
C.
x
1
2,
x
2<
/p>
4
D.
x
1
2,
x
2
4
4.
已知
a
1
1
1
x
20,
b
x
19,
c
x
21
，则代数式
a
2
b
2
c
2
< br>ab
bc
< br>ac
的
20
20
20
C.
2
D.
1
值是（
）
B.3
二、填空题
5
．
4
x
___
9
(___
3)
6
．将二次三项式
x
2x
2
进行配方，其结果等于
__________.
2
7.
已知
m
是方程
x
x
2
0
的一个根，则代数式
m
m
的值等于
______.
2
2
2
2
三、解答题
。
8
．用配方法解下列方程
(1)2
x
2
3
x
6
0;
(2)
$$ <
/p>
2
2
1
y
y
2
0;
3
3
(3)
0.4
x
2
0.8
x
1;
(4)
y
2
2(
3
<
/p>
1)
y
2
3
0;
《
9.
用配
方法证明
10
x
7
x
4
的值恒小于
0.
%
2
10.
来自信息产业部的统计数字显示，
2003
年
1
月至
4
月份我国手机产量为
4000
万台，相
当于
2002
年全年手机产量的
80
％，预计到
2004
年年底收机产量将
达到
9800
万台，试
求这两年手机产
量平均每年的增长率
.
·
~
第
3
讲
公式法
【
知识要点
】
1
．公式法：一般地，对于一元二次方程
、
b
b
2
－
4ac
ax
bx
c
（
0
a
0),
当
b
－
4ac
0
时，
x
1
，
.
2
＝
2a
2
2
2
< br>．
当
=
b
－
4ac
0
，
方程可用公式法求解；当
当
=
b
－
4ac
0
时，
方程无解
.
【
典型例题
】
例
1
用公式法解下列方程
2
2
（）
1
x
2
4
3
x
10
0
(2)2
x
2
2
x
1<
/p>
(3)(
x
1)(
x
1)
2
2
x
分析：首先把每个方程化成一般式
，确定
a
、
b
、
c
的值，在
b
－
4ac
0
的前提下，代
入求根公式求出方程的根
.
解：
：
2
(1)
2
a
1,<
/p>
b
4,
c
10,
b
2
4
ac
(
4
3
）
－
4
1
10
< br>＝
8
0,
(
4
3)
8
4
3
2
2
2
3
2
，
2
1
2
< br>x
1=
2
3
2
，
x
2
2
3
<
/p>
2.
x
(2)
移项，得
2
x
2
2<
/p>
x
1
0,
a
2,
b
2,
c
1,
b
2
4
ac
2
2
< br>4?2?(
-1)=12>0,
-2
12
1
3
,
2
2
2
1
3
1
3
x
1
,
x
2
.
2
2
(3)
原方程可化为
x
2
2
2
x
1
< br>
0,
x=
< br>2
a
1,
b
2,
c
1,
b
2
4
ac
（
2
2
）
4?
1?(<
/p>
-1)=12>0,
-
（
-2
2
）
< br>12
2
2
2
3
2
3,
2
2
2
x
1
2
3,
x
2
2
3.
x=
(4)
将原方程可化为
x
2
x
<
/p>
1
0,
a
1,
b
1,
c
1,
b
2
4
ac
1
2
4?
1?(
-1)=5>0,
1
5
,
2
1
5
1
5
x
1
,
x
2
.
2
2
x
例
2
阅读下面一段材料，并解答问题
.
b
b
2
4
ac
我们知道由一元二次方程
ax
bx
c
< br>0(
a
0)
< br>运用配方法得其求根公式
x
,
2
a
由平方根的意义知
:
当
b
2
4
ac
0
时
,
即负数
,
没有平方根
,
故代数式
b
2
4
ac
就决定了方程根
2
b
b
2
4
ac
的情况
,
称它为一元二次方程根的判别式
,
用记号
“
”
表示
,
故公式
x
必须
2
a
符合条件
a
0
且
0,
方可用于求实数根
.
此外
,
若
ax
2
bx
c
0(
a
0,
a
,
b<
/p>
,
c
均为整数
)
应当
注意当
b
2
4<
/p>
ac
是完全平方时
,
方程根
为有理根
;
当
是完全平方且
(
b
b
2
4
ac
)
是
2
a
的整数倍时
,
方程的根为整数根
.
根据上面得出的结论
,
请你解答下列问
题
:
k
2
已知关于
x
的方程
x
(
k
1)
x
1
0,
试求
:
4
⑴<
/p>
k
为何值时
,
方
程有两个实数根
?
2
⑵若方程的两个实数根
x
1
,
x
2
满足
x
1
x
2
,
则
k
为何值
?
分析
:
根据上面材料分析
,
当
0
时方程有实数根
,
从而确定
k
的取值
,
对
于⑵中
x
1
x
2
需分类讨论
.
k
2
解
:
(1)<
/p>
方程有实数根
,
故
0,
即
-(
k
1
)
4(
1)
0
4<
/p>
3
化简得
2
k
3
0
k
时方程有两个实数根
.
2
(2)
由
x
1
x
2
2
①
当
x
1
0<
/p>
时
,
x
1
x
2
,
此时
0,
即
2k-3=0,
3
5<
/p>
k=
,
x
1
x
2
0,
符合要求
.
2
4
②当
x
1
0
时
,
x
1
x
2
即
x
1
x
2
0
k<
/p>
1
0,
k
1
与
0
相矛盾
,
故舍去
k=-1<
/p>
3
综上可知
:
当
k=
时
,
有<
/p>
x
1
x
2
2
例
3
<
/p>
某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为
200
< br>平方米
的三级污水处理池
(<
/p>
平面图如右图
),
由于地形限制
,
三级水库处理
池的
长、宽都不能超过
16
米
,
如果池的外围墙建造单价为每米
400
元
,
中间两条间隔墙单价为每米
300
元
,
池底建造单价为每
平
方米
80
元
.(
池墙的厚度忽略不计
)
(1)
：
(2)
A
隔
墙
隔
墙
D
B
*
x
C
当三级污水处理池的总造价为
47200
元时
,
求池长
x;
如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以
47200
元为总造价来修
(3)
建三级污水处理池是否最合算请说明理由
.