韦达定理及其应用
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韦达定理及其应用
【内容综述】
设
一
元
二
次
方
程
有
二
实
数
根
，
则
，
< br>
。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数
a
，
b
，
c
的关系，
称之为
韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次
方程的重要理论在初中数学
竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】
1
．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换，可以
求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★
例
1
<
/p>
若
a
，
b
为实数，且
思路
注意
a
，
b
为方程
，
的二实
根；
（隐含
，求
）
。
的值。
说明
<
/p>
此题易漏解
a=b
的情况。根的对称多项
式
方程的系数表达出来。一般地，设
有递推关系。
< br>，
为方程
，
，
< br>的二根，
等都可以用
，则
其中
n
为自
然数。由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出
a
< br>，
b
值进而求出所求多项式值，但计算量
较大。
★★★
例
2
若
，
且
，试求
代数式
的值。
思路
此例
可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
2
．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的
和与积，
则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根
的一元二次
方程。
★★★★
例
3
设一元二次方程
（
1
）试求以
（
2
）若以
和
和
的二实根为
和
。
为根的一元二次方程；
为根的一元二
次方程仍为
。求所有这样的一元二次方
程。
3
．证明等式或不等式
根据韦达定理（或逆定理）及判别
式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★
例
4
已知<
/p>
a
，
b
，
c
为实数，且满足条件：
说明
<
/p>
由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得
c=0<
/p>
后，由恒等式
可得
，
即
a=b
。
此方法较第一种烦琐，
且需一
，
，求证
a=b
。
定的跳跃性思维。
4
．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合，
可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。
关于方程
⑴方程有二正根
⑵方程有二负根
⑶方程有异号二根
⑷方程两根均为“
0”
的实根符号判定有下述定理：
，
ab<0
，
ac>0
；
，
ab>0
，
ac>0
；
，
ac<0
；
，
b=c=0
，
；