根号2是无理数的8种证明
-
2
是无理数的
8
种证明
南京师大附中江宁分校
叶军
2
是一
个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此
付出了生命的代价
——
后世的数学史家所说的
“
第一次数学危机
”
盖源于此
.
“危
机”过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数
的概念开始确立，在
此意义上讲，
2
的
发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好见证
.
换
一个角度来看这个数，
我们可以把它看作一根
“
晾衣绳
”
，
上面悬挂着许多<
/p>
有趣的方法，
从中可以窥见数学的趣味
.
我们准备从不同的角度来证明
2
是一个
无理数，以体会这一点
.
证法
1
：
尾数证明法
.<
/p>
假设
2
是一个有理数，
< br>即
2
可以表示为一个分数的形
式
2
=
.
其中<
/p>
(
a,b
)=1
，
且
a
与
b<
/p>
都是正整数
.
则
a
2
2
b<
/p>
2
.
由于完全平方数
b
2
的尾数
只能是
0
、
1
、
4
、
5
、
6
、
9
中的一个，因此
2
b
2
的尾数只能是
0
、
2
、
8
中的一个
.
因为
a
2
2
b
2
，所以
a
2
与
2
b
< br>2
的尾数都是
0
，因此
b
2
的尾数只能是
0<
/p>
或
5
，因此
a<
/p>
与
b
有公因数
5
，与
(
a,b
)=1
矛盾！因此
2
是无理数
.
这个证法可以证明被开方数的尾数是
2
、
3
、
7
、
8
的平方根都是无理数
.
证法
2
：
奇偶分析法
.
假设
2
=
.
其中
(
< br>a,b
)=1
，
且
a
与
b
都是正整数
.
则
a
2
2
b
2
< br>.
可知
a
是偶数，设
a
=2
c
,
则
4
c
2
< br>
2
b
2
，
b
2
2
c
2
，可知
b
也是偶数，因此
a
、
< br>b
都是
偶数，这与
(
a,b
)=1
矛盾！因此
2
是无理数
.
希帕索斯就是用这种方
法证明了
2
不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的
“
万物皆数
(
任何数都可表
示成整数之比
)”
的数学信仰，
使毕达
哥拉斯学派为之大
为恐慌，希帕索斯因此葬身海底
.
证法
3
：仿上，得到
a
2
2
b
2
，易见
b
>1<
/p>
，否则
b=
1
，
则
2
=
a
是一
个整数
,
这是不行的
.
a
2
2
b
2
改写成
b
2
a
.
因为
b
>1
，
因此
b
有素因子
p
，
因此
p
整除
a
b
a
b
a
2
a<
/p>
2
1