(完整版)数值分析第五版答案
-
第一章
绪论
3
．下
列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
*<
/p>
*
*
*
*
出它们是几位有效数字：
x
1
1.1021
,
x
2
0.031
, <
/p>
x
3
385.
6
,
x
4
56.430
,
x
5
7
1.0.
*
解：
x
1
1.1021
是五位有效数字；
*
x<
/p>
2
0.031
是二位有效数字；
*
x
3
385.6
是四位有效
数字；
*
x
4
56.430
是五位有效数字；<
/p>
*
x
5
7
1.0.
是二位有效数字。
*
*
*
*
*
*
*
*
4
．利
用公式
(2.3)
求下列各近似值的误差限：
< br>(1)
x
1
x
2
x
4
,(2)
x
1
x
2
x
3
,(3)
x
2
/
x
4
.
其中
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
均为第
3
题所给的数。
解：
*
*<
/p>
*
*
1
2
1
*
(
x
2
)
10
3
< br>2
1
*
(
x
3
)
10
1<
/p>
2
1
*
(
x
4
)
10
3
2
1
< br>*
(
x
5
)
1
0
1
2
<
/p>
(
x
1
*
)
10
4
*
*
*
(1)
(
x
1
x
< br>2
x
4
)
*
*
*
(
x
1
)
(
x
2
)
(
x
4
< br>)
1
1
1
4
3
3
10
10
10
2
2
2
1.05
10
3
*
*
*
(2)
(
x
1
x
2
x
3
)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x
1<
/p>
x
2
(
x
3
)
x
2
x
3
(
x
1
)
x
1
x
3
(
x<
/p>
2
)
1
1
1
1.1021
0.031
10
1
0.031
385.6
10
4
1.1021
385.
6
10
3
2
2
2
0.215
*
*
(3)
(
x
2
/
x
4
)
*
*
*
*
x
2
(
x
< br>4
)
x
4
(
x
2
)
*
x
4
2
1
1
0.031
10
<
/p>
3
56.430
10
3
2
2
56
.430
56.430
10
5
5
计算球体积要使相对误差限为
1
< br>，问度量半径
R
时允许的相对误差限是多少？
解：球体体积为
V
<
/p>
4
3
R
3
则何种函数的条件数为
R
g
V
'
R
g
4
R
2
C
p
3
<
/p>
4
V
R
3
3
r
(
V
*)
C
p
g
< br>
r
(
R
*)
3
r
(
R
*)
又
Q
r
(
V
*)
1
故度量半径
R<
/p>
时允许的相对误差限为
r
(
R
*)
6
．设
Y
0
< br>
28
，按递推公式
Y
n
Y
n
1
1
< br>
1
0.33
3
1
783
（
n=1,2,
…
）
100
计算到
Y
100
。若取
783
27.982
（
5
位有效数字）
，试问计算
Y
100
将有多大误差？
解：
Q
Y
n<
/p>
Y
n
1
1
783
100
Y
100
Y
99
1
783
100
1
Y
99
Y
98
783
100
1
Y
98
<
/p>
Y
97
783
100
1
7
83
100
1
783
100
……
Y
1
Y
0<
/p>
依次代入后，有
Y
100
Y
0
100
即
Y
100
Y
0
783
，
若取
783
< br>27.982
,
Y
100
Y
0
27.982
1<
/p>
*
(
Y
100
)
(
Y
0
)
(27.982)
10
<
/p>
3
2
1
Y
100
的误差限
为
10
3
。
2
2
7
．求方程
x
<
/p>
56
x
1
0
的两个根，使它至少具有
4
位有效数字（
783
<
/p>
27.982
）
。
解：
x
56
x
1
0
，
故方程
的根应为
x
1,2
< br>28
783
故
x
1
28
783<
/p>
28
27.
982
55.982
2
x
1
< br>具有
5
位有效数字
x
2
28
783
1
28
783
1
1
0.017863
28
<
/p>
27.982
55.982
x
2
具有
5
位有效数字
9
．正方形的边长大约为了
100cm
，应怎样测量才能使其面积误差不超过
1
cm
？
解：
正方形的面积函数为
A
(
x
)
x
2
2
(
A
*)
2
A
*
g
(
x
*)
.
当
x
*
100
时，若
(
A
*)
1<
/p>
,
则
(
x
*)
1
10
2
2
2
故测量中边长误
差限不超过
0.005cm
时，才能使其面积误差不超过
1
cm
11
．序列
y
n
满足递推关系
y
n
10
y
n<
/p>
1
1
(n=1,2,
…
),
若
y
0
< br>2
1.41
（三位有效数字）
，计算到
y
10
时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：
Q
y
0
2
1.41
< br>1
(
y
0
*)
10
2
2
又
Q
y
n
10
y
n
1
1
y
1
10
y
0
1
(
y
1
*)
10
(
y
0
*)
又
Q
y
2
10
y
1
1
(
y
2
*)
10
(
y
1
*)
(
y
2
*)
10
2
(
y
0
*)
......
(
y
10
*)
10
10
(
y
0
*)
10
10
1
10
2
2
1
< br>10
8
2
计算到
y
10
时误差为
1
10
8
，这个计算过程
不稳定。
2
6
12
．计算
f
(
2
1)
，取
2
，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
1
1
3
(3
2
2)
,
,
，
<
/p>
99
70
2<
/p>
。
6
3
(
2
1)
(3
2
2)
解：设
y
(
x
1)
，
若
x
6
1
2
，
x
*
1.4
，则
x
*
10
1
。
2
1
计算
y
值，
则
6
(
2<
/p>
1)
若通过
y
*
<
/p>
1
g
x
*
*
7
(
x
1)
< br>
6
*
*
y
x
*
7
(
x
<
/p>
1)
y
*
x
*
3
若通过
(3
2
2)
计算
y
值，则
y
*
(3<
/p>
2
x
*
)
2
g
x
*
6
y
*
g
x
*
*
3
2
x
y
*
x
*
若通过
1
计算
y
值，则
3
(3
2
2)
y
*
1
*
g
x
*
4
(3<
/p>
2
x
)
1
*
*
y
x
*
7
(3
2
x
)
y
*
x
*
通过
< br>1
计算后得到的结果最好。
3
(3
2
2)
第二章
插值法
2
．
给出
f
(
x
)
ln
x
的数
值表
X
lnx
0.4
-0.916291
0.5
-0.693147
0.6
-0.510826
0.7
-0.356675
0.8
-0.223144
用线性插值及二次插值计算
ln0.54
的近似值。
解：由表格知，
x
< br>0
0.4,
x
1
0.5,
x
2
0.6,
x
3
0.7,
x
4
0.8;
f
(
x
0
)
0.916291,
f
(
x
1
)<
/p>
0.693147
< br>f
(
x
2
)
0.510826,
f
(
x
3
)
0.356675<
/p>
f
(
x
4
)
0.2231
44
若采用线性插值法计算
ln0.54
即
f
(0.54)
，
则
0.5
0.54
0.6
l
1
(
x
)
l
2
(
x
)
x
x
< br>2
10(
< br>x
0.6)
x
1
x
2
x
x
1
10(
x
0.5)
x
2
x
1
L
1
(
x
)
f
(
x
1
)
l
1
(
x
)
< br>f
(
x
2
)
l
2
(
x
)
6.9
3147(
x
0.6)
5.10826(
x
<
/p>
0.5)
L
1
(0.54)
0.6202186
0.620219
若采用二次插值法计算<
/p>
ln0.54
时，
l
0
(
x
)
l
1
(<
/p>
x
)
l
2
(
x
)
(
x
x
1
)(
x
< br>
x
2
)
50(
x
0.5)(
x
0.6)
(
x
0
x
1
)(
x
< br>0
x
2
)
(
x
x
0
)(
x
<
/p>
x
2
)
100(
x
0.4)(
x
0
.6)
(
x
1
x
0
)(
x
1
x
2
)
(
x
x
0
)(
x
x
1
)
50(
x
0.4)(
x
0.5)
(
x
2
x
0
)(
x
2
x
1
)
L
2
(
x
)
f
(
x
0
)<
/p>
l
0
(
x
)
f
(
x
1
)
l
1
(
x
)
f
(
x
2
)
l
2
(<
/p>
x
)
50
0.91
6291(
x
0.5)(
x
0.6)
69.3147(
x
0.4)(
x
0.6)
0.510826
50
(
x
0.4)(
x
0.5)
< br>L
2
(0.54)
0.61531984
0.615320
3
．
给全
cos
x
,0
x
90
的函数表，
步长
h<
/p>
1
(1/
60)
,
若函
数表具有
5
位有效数字，
研
究用线性插值求
cos
x
近似值时的总误差界。
解：求解
co
s
x
近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，
x
是近似值，具有
5
位有效
数
字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数
cos
x
的近似
值时，
采用的线性插值法插值余项不为
0
，也会有一定的误差。因此，
总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
< br>当
0
x
90
时，
令
f
(
x
)
cos
x
取
x
0
0,
h
(
o
o
o
o
o
1
o
1
)
60
60
180
10800
令
x
i
x
0
ih
,
< br>i
0,1,...,5400
则
x
5400
2
90
o
当
x
x
k
,
x
k
1
时，线性插值多项式为
L
1
(
x
)
f
(
x
k
)
插值余项为
x
x
k
1
x
x
k
< br>f
(
x
k
1
)
x
k
x
k
1
x
k
1
x
k
R
(
x
< br>)
cos
x
< br>
L
1
(
x
)
1
f
(
)(
x
x
k
)(
x
x
k
1
)
2
又
< br>Q
在建立函数表时，表中数据具有
5
位有效数字，且
cos
x
0,1
，故计算
中有误差传播
过程。
1
(
f
< br>*
(
x
k
))
10
5
2
x
x
k
1
x
x
k
1
R
2
(
x
)
< br>
(
f
*
(
x
k
))
(
f
*<
/p>
(
x
k
1
))
x
k
x
k
1
x
k
< br>1
x
k
(
f
*
(
x
k
))(
x
x
k
1
x
x
k
1
)
x
k
< br>
x
k
1
x
k
1
x
k
1
(
f
*
(
x
k
))
(
x
k
1
x
x
x
k
)
h
<
/p>
(
f
*
(
x
k
))
总误差界为
R
R
1
(
x
)
R
2
(
x
)
< br>1
(
cos
< br>
)(
x
x
k
)(
x
x
k
1
)
(
f
*
(
x
k
))
2
1
(
x
x
k
)(
< br>x
k
1
x
)
(
f
*
(
x
k
))
2
1
1
(
h
)
2
(
f
*
(
x
k
))
2
2
1
1.06
10
8
10
5
2<
/p>
0.50106
10
5
4
．设为互异节点，求证：
（
1
）
n
x
l
(
x
)
x
k
< br>j
j
j
0
n
k
(
k
0,1,
L<
/p>
,
n
);
（
2
）
证明
(
x
j
0
j
x
)
k
l
j
(
x
)
0
(
k
0,1,
L
,<
/p>
n
);
（
1
）
令
f
(
x
)
x
若插值节点为
x
j
,
j
0,1,
L
,
n
，则函数
f<
/p>
(
x
)
的
n
次插值多项式为
L
n
(
x
)
<
/p>
k
x
l
(
x
)
。
k
j
j
j
0
n
f
(
n
1)
(
)
n
1
(
x
)
插值余项为
R
n
(
x
)
f
(
x
)
L
n
(
x
)
< br>
(
n
1)!
又
Q
k
n
,
f
(
n
1)
(
)
0
R
n
(
x
)
0
k
x
k
j
l
j
(
x<
/p>
)
x
(
k
0,1,
L
,<
/p>
n
);
j
0
n
(2)
(
x
j
x
)
k
l
j
(
x
< br>)
j
0
n
(
C
k
j
x
i
j
(
x
)
k
i
)
l
j
< br>(
x
)
j
0
n
i
0
i
k
n
n
C
(
x
)
(
x
< br>i
j
l
j
(
x
))
k
i
i
0<
/p>
j
0
n
又
Q
0
i
n
由上题结论可知
< br>
x
l
(
x
)
x
k
j
j
i
j
0
n
原式
C
k
i
(
x
)
k
i
x
i
i
0
n
<
/p>
(
x
x
)
k
0
得证。
x
6
．在
4
x
< br>4
上给出
f
(
< br>x
)
e
的等距节点函数表，若用二次插值求
e
的近似值，要使
x
截断误差不超过
10
，问使用函数表的步长
h
应取多少？
解：若插值节点为
x
i
1
,
x
i
和
x
i
1
，则分段二次插值多项式的插值余项为
6
1
f
(<
/p>
)(
x
x
i
1
)(
x
x
i
)(
x
x
i
1
< br>)
3!
1
R
2
(
x
)
(
x<
/p>
x
i
1
)(
x
x
i
)(
x
x
i
1
)
max
f
(
x
)
4
x
4<
/p>
6
R
2
(
x
)
设步长为
h
，即
x
i
1
x
i
h
,
x
i
1
x
i
h
1
2
3<
/p>
3
4
3
R
2
(
x
)
e
4
h
e
h
.
6
27
3
3
若截断误差不超过
10
，则
6
R
2
(
x
)
10
< br>
6
3
4
3
e
h
1
0
6
27
h
0.0
065.
n
4
4
7
．若
y
n
2
,
求<
/p>
y
n
及
y
n
.
，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
y
n
2
n
4
y
n
(
< br>E
1)
4
y
n
4
4
j<
/p>
(
1)
E
y
n
j
0
j
< br>4
4
(
1
)
j
y<
/p>
4
n
j
j
0
j
4
j
4
4
j
(
1)
2
y
n
j
0
j
(2
1)
4
y
n<
/p>
4
j
y
n
2
n
1
2
1
2
4
y
n
(
E
E
)
y
n<
/p>
(
E
)
(
E
1)
4
y
n
E
y
n
2
4
1
2
4
4
< br>y
n
2
2
n
2
0
1
7
0
1
8
14
．
f
(
x
)
x
x
3
x
1,
求
F
及
2
,2
,
L
,2
F
2
,2
,<
/p>
L
,2
。
7
4
解：
Q
f
(
x
)
x
x
3
x
1
i
若
x<
/p>
i
2
,
i
0,1,
L
,8
7
4
f
(
n
)
(
)
则
f
x
0
,
x
1
,
L
,
x
n
<
/p>
n
!
f
(7)
(
)
7!
f
x
0
,
x
1
,
L
< br>,
x
7
1
7!
7!
f
(
8)
(
)
f
x
0
,
x
1
,
L
,
x
8
0
< br>8!
15
．证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4)
2
2
R
3
(
x
)
f
(
)(
x
x
k
)
(
x
x
k
1
)
/
4!,
(
x
k<
/p>
,
x
k
1
)
解：
若
x<
/p>
[
x
k
,
x
k
1
]
，且插值多项式满足条件
(
x
k
)
f
<
/p>
(
x
k
)
H
3
(
x
k
)
f
(
x
k
),
H
3
(
x
k
1
)
f
(
x
k
1
)
H
3
(
x
k
< br>
1
)
f
(
x
k
1
),
H
3<
/p>
插值余项为
R
(
x
)
f
(<
/p>
x
)
H
3
(
x
)
由插值条件可知
R
(<
/p>
x
k
)
R
(
x
k
1
)
0
且
R
(
x
k
)
R
(<
/p>
x
k
1
)
0
R
(
x
)
可写成
R
(
x
)
g
(
x
)(
x
x
k
)
2
(
x
x
k
1
)
2
其中
g
(
x
)
是关于
x
的待定函数，
现把<
/p>
x
看成
[
x
k
,
x
k
1
]
上的一个固定点
，作函数
(
t
)
f
(
t
)
H
3
(
t
)
g
(
x
)(
t
x
k
)
2
(
t
x
k
1
)
2
根据余项性质，有
(
x
k
)
0,
(
x
k
1
)
0
(
x
)
f
(
x
)
H
3
(
< br>x
)
g
(
x
)(
x
x
k
)
2<
/p>
(
x
x
k
1
)
2
f
(
x
)
H
3
(
x
)
R
(
x
)<
/p>
0
(
t
)
g
(
x
)[2(
t
x
k
)(
t
x
k
1
)
2
2(
t
x
k
1
)
(
t
x
k<
/p>
)
2
]
(
t
)
f
(
t
)
H
3
(
x
k<
/p>
)
0
(
x
k
1
)
0
由罗尔定理可知，存在
(
x
k
,
x
)
和
(
x
,
x
k
< br>
1
)
，使
(
1
)
0,
(
2
)
0
即
(
x
)
在
< br>[
x
k
,
x
k
1
]
上有四个互异零点。
根据罗尔定理，
(
t
)
在
(
t
)
的两个零点间至少有一个零点，
故
(
t
)
在
(
x
k
,
x
k<
/p>
1
)
内至少有
三个互异零点，
依此类推，
(4)
(
t
)
在
(
x
k
,
x
k
1
)
内至少有一个零点。
<
/p>
记为
(
x
k
,
x
k
1
)
使
(4)
(
)
< br>f
(4)
(
< br>)
H
(4)
< br>3
(
)
4!
g
(
x
)
0
<
/p>
又
Q
H
(4)<
/p>
3
(
t
)
0
g
(
x
)
f
(4)
(
)
4!
,
< br>
(
x
k
,
x
k
1
)
其中<
/p>
依赖于
x
<
/p>
R
(
x
)
f
(4)
(
)
4!
(
x
x
2
k
)
(
< br>x
x
2
k
1
)
分段三次埃尔米特插值时，若节点为
x
k
(
k
0,
1,
L
,
n
)
，设步长为
h
，即
x
k
x
0
kh
,
k
0,1,
L
,
n
在小区间
[
x
k
,
x
k
1
]
上
R
(
x
)
f
(4)
(
)
(
x
x
< br>2
k
)
(
x
x
2
4
!
k
1
)<
/p>
R
(
x
)
1
f
(4)
(
)
(
x
x
2
2
4!
< br>k
)
(
x
x
k
1
)
1
4!<
/p>
(
x
x
(4)
k
)
2
(
x
k
1
x
)
2
max
a
x
b
f
(
x
)
1
[(
x
x
k
x
k
1
x
)
2
]
2
max
f
(4)
(
x
)
4!
2<
/p>
a
x
b
1
4!
1
4
2
4
h
max
a
x
< br>b
f
(4)
(
< br>x
)
h
4
max
f
(4)
< br>384
a
x
< br>
b
(
x
)
16
．
求
一
个
次
数
不<
/p>
高
于
4
次
的
多
项
式
P
（
x
），
P
(0)
P
(0)
0,
P
(1)
P
(1)
0,
P
(2)
0
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于
4<
/p>
的多项式
x
0
0,
x
1<
/p>
1
y
0
0,
y
1
1
m
0
0,
m
1
1
1
1
H
3
(
x
)
y<
/p>
j
j
(
x
)
m
j
j
(
x
)
j
0
j
0
0
(
x<
/p>
)
(1
2
x
x
0
x
)(
x
x
1
x
)
2
0
x
1
x
0
1
(1
2
x
)(<
/p>
x
1)
2
使
它
满
足