数值计算方法复习题1
-
习题一
1.
下列各数都是经过四舍五入得到
的近似数，试指出它们有几位有
效数字以及它们的绝对误差限、
相对误差限。
（
1
）
< br>
；（
3
）
（
6
）
（
1
）
5
，
，
（
6
）
2
< br>，
；（
4
）
；（
7
）
，
；
，
；
（
5
）
1
，
，
，问各近似
；
（
2
）
；
；（
5
）
；（
2
）
2
，
，
；（
3<
/p>
）
4
，
，
；
；
（
4
）
5
，
，
（
7
）
6
< br>，
2.
为使下列各数的近似值的相对误差限不超过
值分别应取几位有效数字？
；
3.
设
（
1
）
；
均为第
1
题
所给数据，估计下列各近似数的误差限。
；
（
2
）
；
（
3
）
（
1
）
4.
计算
结果最好
.
（
1
）
5.
序列
；
（
2
）
；（
3
）
，取
；
(2
）
，利用下列等价表达式计算，
(3)
的
；
(3
）
(4
）
满足递推关系式
（三位有效数字），计算
若
时误差有多大？这个计算过
程稳定吗？
不稳定。从
计算到
时，误差约为
1
6.
求方程
的两个根，使其至少具有四位有效数字（要
求利用
。
，
7.
利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
1
）
3
）
4
）
；
；
2
）
;
8.
设
，求证：
1
）
2
）利用（
1
）
中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
9.
设
x>0,x*
的相对误差为
δ
，求
f(x
)=ln x
的误差限。
解：求
lnx
的误差极限就是求
f(x)=lnx
的误差限，有
已
知
x*
的
相
对
误
差
，
故
即
10.
下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位
有
效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：
直接根据定义得
有
5
位有效数字，其误差限
有
2
< br>位有效数字，
有
5
位有效数字，
11.
下列公式如何才比较准确？
<
/p>
（
1
）
（
2
）
，相对误差限
满
足
，
而
解：
要使计算
较准确，
主要是避免两相近数相减，
故应变换所给公式。
2
（
1
）
（
2
）
12.
近似数
x*=0.
0310,
是位有（
3
位）有效数字。
13.
计算
取
，利用
（
）
式计算误差最小。
四个选项：
习题二
1.
已
知
，
求
的
二
次
值
多
项
式
。
2.
令
解：
间内；
3.
给出函数
求
；
，当
的一次插值多项式，并估计插值误差。
，
介于
x<
/p>
和
0
，
1
决定的区
时。
的数表，
分别用线性插值与二次插值求
的近似值，
并估计截断误差。
0.54
667
，
0.000470
；
0.54714
，
0.000029
4.
设
5.
已知
的近似值。
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.38942
0.47943
0.56464
0.64422
0.71736
，试利用拉格朗日余项定理写出以
，
求
，
1.634
1.702
及
1.828
1.921
的值。
1
，
0
和
为节点的三
次插值多项式。
6.
根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，
并用其计算
X
1.615
3
F
(
x
)
2.41450
2.46459
2.65271
3.03035
3.34066
的如下函数值表，解答下列问题（
1
）试列出相
7.
已知函数
应的差分表；
（
2
）
分别写出牛顿向前插
值公式和牛顿向后插值公式。
X
f
(
x
)
0.0
1.00
0.1
1.32
0.2
1.68
0.3
2.08
0.4
2.52
0.5
3.00
解：向前插值公式
向后插值公式
时，
8.
下表为概率积分
的数据表，试问：<
/p>
1
）
积分
2
）
为何值时，积分
？
。
X
P
9.
利用
字），求方程
0.46
0.484655
在
0.47
0.48
0.49
0.4937452
0.5027498
0.5116683
各点的数据
（取五位有效数
在
0.3
和
0.4
之间的根的近似值。
0.3376489
10.
依据表
10
< br>中数据，求三次埃尔米特插值多项式。
x
y
y
¢
0
0
－
3
1
1
9
11.
依据数表
11
中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特
插值
多项式。
1
－
2
2
3
X
Y
0
0
4
y
¢
0
1
12.
在
上给出
的等距节点函数表，用分段线性插值
求
的近似值，
要使截断误差不超过
，
问函数表的步长
h
应怎样
选取？
13.
将区间
分成
n
等分，求
在
上的分
段三次埃尔
米特插值多项式，并估计截断误差。
14
、给定
的数值表
用线性插值与二次插值计算
ln0.
54
的近似值并估计误差限
解：
仍可使用
n=1
及
n=2
的
< br>Lagrange
插值或
Newton
< br>插值
,
并应用
误差估计。线性插
值时，用
0.5
及
0.6
两点，用
Newton
插值
误差限
，
因
，
故
二次插值时，用
< br>0.5
，
0.6
，
0.7
三点，
作二次
New
ton
插值
误差限
故
15
、
在
-
4≤x≤4
上给出
的等距节点函数表，
若用二次插值法
，
函数表的步长
h
应取多少
?
，
求
的近似值，
要使误差不超过
解：
用误差估计式，
5