八年级数学竞赛题：正方形
-
八年级数学竞赛题：正方形
有一组
邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，
或有一组邻边相等的矩形是正
方形，
也即有一角是直角的菱形是正方形，
正方形具有矩形、
菱形的一切性质，
主要体现在：
正方形的四条边相等；
正方形的四个角是直角；
正方形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角．
由于正方形往往与直角三角形联系在一起，
所以在解与正方形相
关问题时，
常用到勾股定理，
具有代数风格，体现数形结合思想
．
熟悉以下基本图形、基本结论：
例
1
如图，四边形
< br>ABCD
为正方形，以
AB
为边
向正方形外作等边三角形
ABE
，
CE
与
DB
相交于点
F
，则∠
AFD
=________
____
度．
例
2
如图
，正方形
ABCD
的面积为
256
，点
E
在
AD
上，点
F
在
AB<
/p>
的延长线上
EC
⊥
FC
在
AB
的延长线上，
EC
⊥
FC
，△
CEF
的面积是
200
，则
BF
的长是（
）
．
A
．
15
B
．
12
C
．
11
D
．
10
例
3
（<
/p>
1
）如图
1
，已
知正方形
ABCD
和正方形
CGEF<
/p>
（
CG
>
BC<
/p>
）
，
B
、
C
、
G
在同一直线上
，
M
为线段
AE
的中点
M
．探究：线段
MD
、
MF
的关系．
（
2
）
若将正方形
CGEF
绕点
C
逆时针旋转
45
°，
使得正方形
CGEF
对角线
CE
在正方
形
ABCD
的边
BC
的延长线上，
M
为
AE
的中点．试问：
（
1
）中探究的结论是否成立？若成
立，请证明，若不成立，
请说明理由．
例
4
如图
，将正方形
ABCD
折叠，使顶点
A<
/p>
与
CD
边上的
M
点重合折痕交
AD
于
< br>E
，交
BC
于
F
，边
AB
折叠后与
BC
边交于点
G
．
（
1
）如果
M
为
CD
边的中点，求证
DE
：
DM
：
EM
=3
：
4
：
5
；
（
2
）
如果
M
为
CD
边上的任意一点，
设
AB
< br>=2
a
，
△
CMG
的周长是否与点
M
的位置有
关
?
若有关，请把
△
< br>CMG
的周长用含
DM
的长
x
的代数式表示；若无关，请说明理由．
例
5
在边
长为
6
cm
的正方形
< br>ABCD
中，点
E
、
F
、
G
、
H
分别按
A
→
B
、
B
→
C
、
C
→
D
、
D
→
A<
/p>
的方向同时出发，以
1
cm
／
S
的速度匀速运动．
<
/p>
（
1
）在运动中，点
E
、
F
、
G
、
H
所形成的四边形
EFGH
为（
）
．
A
．平行四边形
B
．矩形
C
．菱形
D
．正方形
（
2
）四边形
EFGH
的面积
S
（
cm
2
）随运动时间
t
（
s
）变化的图象大致是（
）
．
（
3
）写出
四边形
EFGH
的面积
S
（
cm
2
）关于运动时间<
/p>
t
（
s
）变化的
函数关系式，并求运动
几秒钟时，面积最小
?
< br>最小值是多少
?
1
．
如图，
边长为
3
的正方形
ABCD
< br>绕点
C
按顺时针方向旋转
30<
/p>
°后得到正方形
EFCG
，
EF
交
AD
于点
H
，那么
DH
的长为
______________
．
2
．
如图，
若四边形
ABCD
是正方形，
△
CDE
是等边三角形，
则∠
E
AB
的度数为
_____________
．
3
．如图，直线
l
过正方形
ABCD
的顶点
B
，点
A
、<
/p>
C
到直线
l
的距
离分别是
1
和
2
，则正方
形的边长是
_____________
．
4
．若正方形
ABCD
的边长为
4
，
E
为
BC
边上一点，
BE
=3
< br>，
M
为线段
AE
上一点，射线
BM
交正方形的一边于点
F
，且
BF=AE
，则
BM
的长为
_______________
．
5
．
将
n
个边长都为
1
c
m
的正方形按如图所示摆放，
点
A
1
、
A
2
，
…
，
A
n
分别是正方形的中心，
则
n
个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（
）
．
A
．
C
．
1
n
cm
2
B
．
cm
2
4<
/p>
4
n
1
2
1
cm
D
．
（
）
n
cm
2
4
4
6
．如图，将边长为
8cm
的正方形
ABCD
折叠，使点
D
落在
BC
边的中点
E
< br>处，点
A
落在
F
处，折痕为
MN
，则线段
CN
的长是（
）
．
A
．
3cm
B
．
4cm
C
．
5cm
D
．
6cm
7
．如图，
E
、
F
分别是正方形
ABCD
的边
CD
、
AD
上的点，
且
CE=DF
，
AE
< br>、
BF
相交于点
O
，下列结论：①
AE=BF
；②
AE
⊥
BF
；③
< br>AO=OE
；④
S
△
AOB
=
S
四边形
DEOF
中，错误的有（
）
．
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
‘
8
．如图，正方形
ABCD
中，
O
是对角线
AC
、
BD
的交点，过
O<
/p>
作
OE
⊥
OF<
/p>
，分别交
AB
、
BC
于
E
、
F
，若
AE
=4
，
CF
=3
，则
EF
的长为（
）
．
A
．
7
8
．
5
C
．
4
·
D
．
3
9
．如图，在
Rt
△
ABC
与
Rt
△
ABD
中，∠
ABC=
∠
BAD=90
°
，
AD=BC
，
AC
< br>、
BD
相交于
点
G
，过点
A
作
AE
∥
DB
交
CB
的延长线于点
E
，过点<
/p>
B
作
BF
∥
CA
交
DA
的延长
线于点
F
，
AE
、
BF
相交于点
H
< br>．
（
1
）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明
（不添加任何辅助线）
；
．
（
2
）证明四边形
AHBG
是菱形；
（
3
）若使四边形
AHBG
是正方形，还需在
Rt
△
ABC
的边长之间再添加一个什么条件
?
请你写出这个条件．
（不必证明）
10
．
如图，
△
ABC
中，
点
O
是边
AC
上一个动点，
过
点
O
作直线
MN
∥
BC
，
设
MN
交∠
BCA