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2021年2月13日发(作者：纸短情长歌词)

拓展五

1

、如图⑴⑵ ⑶⑷…

n

分别为以△

ABC

< p>
的

AB

、

AC

< p>
为边在三角形外作正三角形

ABE

和正三角形

ACF

，正方形

ABDE

< br>和

ACGF,

正五边形

ABDH E

和

ACKGF

，…正

n

边形

ABD

…

E

和

ACKG

…

< p>
F,BF

与

CE

交于

O

（

1

）如图

1

，图

2

，图

3

，在△

AB C

中，分别以

AB

，

< br>AC

为边，向△

ABC

外作正三

角形，正四边形，正五边形，

BE

，< /p>

CD

相交于点

O

．

①如图

1

，求证：△

ABE

≌△

ADC

；

②探究：如图

1< /p>

，∠

BOC=120

°

< br>

；如图

2

，∠

BOC=90

°；

如图

3

，∠

BOC=72

°

（

2

） 如图

4

，已知：

AB

< br>，

AD

是以

AB

为边向△

ABC

外所作正

n< /p>

边形的一组邻边；

AC

，

AE

是以

AC

为边向△

ABC

外所作正

n

边 形的一组邻边，

BE

，

CD

< p>
的延长相交于

点

O

．

①猜想：如图

4

，∠

BOC=360

÷

n

（用含

n

的式子表示）；

②根据图

4

证明你的猜想．

< p>

解：

（

1

）①证法一

∵△

ABD< /p>

与△

ACE

均为等边三角形，

< p>

∴

AD=AB

，

AC=AE

，

且∠

BAD=

∠

CAE=60

°，

∴∠

BAD+

∠

BAC=

∠

CAE +

∠

BAC

，

即∠

DAC=

∠

BAE

，

∴△

ABE

≌△

ADC

证法二：

∵△

ABD

与△

ACE

均为等边三角形，

∴

AD=AB

，

AC=AE

，

< br>且∠

BAD=

∠

CAE=60< /p>

°，

∴△

AD C

可由△

ABE

绕着点

A

按顺时针方向旋转

60

°得 到，

∴△

ABE

≌△

ADC

，

< br>②

120

°，

90

°，

72

°．

< p>
（

2

）①

360

°

/n

②证法一：依题意，知∠

BAD

和∠

CAE

都是正< /p>

n

边形的内角，

AB=AD

，

AE=AC

，

∴∠

BAD=

∠

CAE=(n-2)180/n

∴∠

BA D-

∠

DAE=

∠

CAE-

∠

DAE

，

即∠

BAE=

∠

DAC

，

∴△

ABE

≌△

ADC

，

∴∠

ABE=

∠

ADC

，

∵∠

ADC+

∠

ODA=180

°，

∴∠

ABO +

∠

ODA=180

°，

∵∠

ABO+

∠

ODA+

∠

DAB+

∠

BOC=360

°，

∴∠

BOC+

∠

DAB=18 0

°，

∴∠

BOC=180

°

-

∠

DAB=180

°

-

(n-2 )180/n=

360

°

/n

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