反比例K的几何意义
-
反比例
K
的几何意义
反比例函数比例系数
k
的几何意义
知识梳理：
如图所示，
过双曲线
y
k
x
(
k
0
)
上任一点
P
(
x
,
y
< br>)
作
x
轴、
y
轴的垂线
PM
、
PN,
垂
足为
M
、
N
，
所得矩形
PMON
的面积
S=PM
•
PN=|y|
•
|x|.
y
k
x
,
< br>∴
xy
k
，
S
|
k
|
。
反比
例函数图像上任意一点
“对应的直角三角形
的面积”
S=
1
2
│
k
│
反比例函数图像上任
意一点“对应的矩形的面
积”
S=
│<
/p>
k
│
这就说明
，过双曲线上任意一点作
x
轴、
y
轴的
垂线，
所得到的矩形的面积为常数
|k|
。
这是系数
k
几何意义
,
明确了
< br>k
的几何意义，
会给解题带来
许
多方便。
典例精析
专题一
K
值与面积直接应用
例
1
：已知如图，
A
是反比例函数
y
k<
/p>
x
的图象上
的一点，
AB
丄
x
轴于点
< br>B
，且△
ABO
的面积是
3
，则
k
的值是（
）
A
、
3
B
、﹣
3
C
、
6
D
、﹣
6
变
式练习
1
：如图，点
P
是反比例函数
y
6
图象
x
上的一点，则矩形
PEOF
的面积是
．
变式练习
2
：
如图：点
A
在双曲线
< br>
y
k
x
上，
AB
丄
x
轴于
B
，且
△
AOB
的面积
S
< br>△
AOB
=2
，则
k=
．
变式练
习
3
：
如图，
A
是反比例函数图象上一点，
过点
A
作
AB
⊥
y
轴于点
B
，点
P
在
x
轴
上
:
△
ABP
的面积为
2
，则
这个反比例函数的解析式为
______________
．<
/p>
y
B
A
<
/p>
变式练习
4
：如图反比例函数
y
4
的图象与直线
x
P
O
x
1
y
x
3
的交点为
A
，
B
，过点
A
作
y
轴的平行线
与过点
B
作
x
轴的平行线相交于点
C
，
则
△
ABC
的面积为（
）
A
．
y
8
B
．
6
C
．
4
D
．
2
A
O
C
B
变式练
习
5
：如图，
A
、
B
为双曲线
y
-
12
上的点，
x
AD
⊥
x
< br>轴于
D,BC
⊥
y
轴于点
C
，则四边形
ABC
D
x
的面积为
。
(
k
0
)
交
A
、
例
2
：
如图
1
所示，
直线
l
与双曲线
y
k
x
B
两点，
P
是
AB
上的点，
试比较⊿
AOC
的面积
S
1
，⊿
BOD
的面积
S
2
，⊿
POE
的面积
S
3
的大
小：
。
变式练习
1
：如图，点
A
是
y
轴正半轴上的一个
2
定点，点
B
是反比例函数
y
＝
< br>x
(
x
＞
0)
图象上
的一个动点，当点
B
的纵坐标逐渐减小时，
△
OAB
的面积将（
）
A
．
逐渐增大
B
．
逐渐减小
C
．
不
变
D
．先增大后减小
y
A
B
O
:
x
变式练习
2
：如图，在反比例函数
y
k
x
图象上任取取两点
P
、
Q
，
过点
P
分别作
x
轴、
y
轴的平行线，
与坐
标轴围成的矩形面
积为
S
1
；
过
点
Q
分别作
x
轴、
y
轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为
S
2
；
S
1
与
S
2
的关系为
。且它们的面积
都等于
。
4
变式练习
3
：如图
2
，
P
、
C
是函数
y
x
（
x>
0
）
图像上的任意两点，过点
P
作
x
轴的垂线
PA,
垂足为
A
，过点
C
作
x
轴的垂线
CD,
垂足为
D
，
连接
OC
交
PA
于点
E
，设⊿
POA
的面积为
S
1
,
则
S
1
=
,
梯形
CEAD
的面积为
S
2
，则
S
1
与
S
2
的大小关系是
S
1
S
2
,
⊿<
/p>
POE
的面积
S
3
和梯形
CEAD
的面积为
S
2
的大小关系是
S
2
S
3
.
变式练习
4
：如图
12
，
A
、
B
是函数
y
2
的图象上
x
y
关于原点对称的任意两点，
B
C
∥
x
轴，
A
C
∥
y
轴，
△
ABC
的面积记为
S
< br>，则（
）
O
A
．
S
2
A
x
B
．
S
4
C
．
2
S
4
D
．
S
4
B
C
变
式练习
5
：如图
3
所示，点
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
(
x
0
< br>)
上
,
且
x
2
-x
1
=4,y
1
-y
2
=2;
分别过
都在双曲线
y
k
x
点
A
、
B
向
x
轴、
y
轴作垂线，垂足分别
为
C
、
D
、<
/p>
E
、
F
，
AC
与
BF
相交于<
/p>
G
点，
四边形
F
OCG
的面积为
2
，
< br>五边形
AEODB
的面积为
14
，
那么
双曲线的解析式为
。
专题二
设坐标、面积法一题多解
(
x
0
)
上，
例题
3
：
如图，
已知点
A
、
B
在双曲线
y
k
x
AC
⊥
x
轴于点
C
，
BD
⊥
y
轴与点
D
，
AC
与
BD
交于
点
P
，
P
是
AC
的中点，若⊿
ABP
的面积为
3
，则
k=
。
(
k
0
)
经过直角三
变式练习
1
：
如图已知双曲线
y
k
x
角形
OAB
斜边
OA
的中点
D
，且与直角边
AB
相交
于点
C
，若点
A
的坐标为（
-6
，
4
）
,
则⊿
AOC
的
面积为
。
变式练
习
2
：在直角坐标系中，有如图所示的
R
t
ABO
,
AB
x
3
轴于点
B
，斜边
AO
10
，
sin
AOB
< br>5
,
反比例
(
< br>x
0)
的图像经过
AO
的中点
C
，
函数
y
k
y
x
I
且与
AB
交
于
点
D
C
,
则
点
D
为
.
的
O
坐
B
标
D
x
变式练
习
3
：已知双曲线
y
< br>
k
x
(
k
＞
0
)
经
过直角三角形
OAB
斜边
OB
的中点
D
，
与直角边<
/p>
AB
相交于点
C
．
若
△
OBC
的面积为
3
，则
k
＝
____________
．
培优拓展：如图，
□
ABCD
的顶点
A
，
B
的坐标分别是
A
（－
1
，
0
）
，
B
（
0
，
－
2
）
，
< br>顶点
C
，
D
在双曲线
y=
k
x
上，
边
AD
交
y
轴于点
E
，且四边形
BCDE
的面积是△
ABE
< br>面积的
5
倍，则
k
=_____
．
(
x
0
)
经过矩形
OA
BC
例
4
：如图，已知双曲线
y
k
x
边
AB
的中点
F
，交
BC
于点
E
，
（
1
）若四边形
OEBF
的面积为
4
，
则
k=
；
（
2
）若梯形
OEBA
的面积
为
9
，则
k=
。
变式练习
1
：如图，平行四边形
AOBC
中，对
角
线交于点
E
，双曲线
y
=
k
x
(k>0)
经过
A
、
E
两点，
若平行四边形
A
OBC
的面积为
18
，则
k=
。
变式练习
2
：如图，已知双曲线
y
4<
/p>
y
2
x
0
x
1
1
x
0
，
x
，点
P
4
为双曲线
y
2
x
上的一点，且
PA
⊥
x
轴于点
A
，
PB
⊥
y
轴于点
B
，
PA
、
PB
分别次
双曲线
y
1
于
D
、
C
两点，则△
PCD
的面积
x
1
为
。
变
式练习
3
：双曲线
y
< br>1
、
y
2
在第一象限的图
像如图，
y
1
4
x
，过
y
1
上的任意一点<
/p>
A
，作
x
轴的平
行线交
y
2
于
B
，
交
y
轴于
C
，
若
S
△
AOB
=1
，<
/p>
则
y
2
的解析式
是
______
．
培优拓展：
1
、如图，直线
y
＝
－
x
＋
1
交
x
轴于
A
，交
y
轴
k
于
B
、
P
为反
比例函数
y
＝
（
x
＞
0
）
图象上一
x
点，
PM
< br>⊥
x
轴于
M
交
AB
于
E
，
PN
⊥
y
轴于
N
交
AB
于
F
，若∠
EOF
＝
45
°，则
k
的值为
y
B
N
F
P
E
A
O
M
x
变式练习
2
：如图，正方形
A
1
B
1
P
1
< br>P
2
2
的顶点
< br>P
1
、
P
2
在反比例函数
y
＝
（
x
x
＞
0
）的图像上，顶点
A
1
、
B
1
分别在
x
轴和
y
轴
的正半轴上，再在其右侧作正方形
P
2
P
3
A
2
B
2
，顶
2
< br>点
P
3
在反比例函数
y
＝
（
x
＞
0
）的图象上，顶
x
点
A
2
在
x
轴的正半轴上，则点
P
3
的坐标为
专题三
反比例函数与观察规律
例
5
：如图
5
所示，
P
1
（
x
1
，
y
1
）
、
P
2
（
x
2
，
y
2
）
，……
P
n
（
x
n<
/p>
，
y
n
）在