反比例函数中“k”的意义问题
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反比例函数中“
k
”的意义
知识点
:
反比例函数
y
k
图象上任意一点<
/p>
P
(
x
,
y
)
，恒有
xy
k
。
x
一．判断点是否在某一反比例函数的图象上：
例如，点
P
(
2
,
3
)<
/p>
在某一反比例函数的图象上，则下列点哪个也在该图象上（
）
A.
(
1
,
4
)
B.
(
1
.
5
,
4
)
C.
(
2
,
3
)
D.
(
3
,
2
)
又比如，下列四点中，哪个点与另外三个不在同一双曲线上（
）
A.
(
1
,
6
)
B.
(
1
.
5
,
4
)
C.
(
2
,
3
)
D.
(
3
,
2
)
二．图象所
处象限与“
k
”的关系：
k
的符号决定了
x
、
y
的符号关系。当
k
0
时，
x
、
y
同号，即点
P
(
x
,
y
)
处于一、三象限；当
k
0
时，
n
在同一坐标系中
可能是（
）
x
x
、
y
异号，即点
P
(
x
,
y
)
处于二、四象限。
1
．多选题：若
mn
0
，则直线
y
mx
与双曲线
y
y
A.
y
B.
y
C.
y
D.
0
x
x
0
x
x
0
0
2
．
通过上题发现：
当正比
例函数与反比例函数的
时，
它们的图象无交点；
当正比例函数与反比例
函数的
时，
它们的图象有两个交点，若其中一点为
(
< br>a
,
b
)
，则另一点的坐标必为
。
例如，
已知直线
y
kx
与双曲线
y
为
< br>
。
3
．一次
函数
3
交于点
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
，则
k
x
0
，且
x
1
y
2
< br>
x
2
y
1
的值
y
kx
1
与反比例函数
y
y
C.
y
D.
A.
y
B.
x
x
0
0
x
0
例如，如图，直线
y
k
1
x<
/p>
b
与双曲线
y
k
的图象大致是（
< br>
）
x
y
0
x
k
2
交于点
A
(
1
,
2
)
、
B
(
m
,
< br>
1
)
。求
(1)
AOB
的面积；
(2)
若点
x
(
x
1
,
y
1
)
、
(
x
2
,
y
2
)
、
(
x
3
,
y
3<
/p>
)
为双曲线上三点，且
x
1
x
2
0
x
3
，请直接比较
y
1
< br>、
y
2
、
y
3
的大小；
(3)
观察图象，直接写出方程
k
1
x
b
k
2
k
2
的解和不等
式
k
1
x
<
/p>
b
的解集。
x
x
B
y
A
O
x
y
C
y
1
x
9
(
x
< br>
0
)
的图象如图，
x
则结论：①交点坐标为
A
(
3
,
3
)
；②当
x
3
时，则有
y
2
y
1<
/p>
；③当
x
1<
/p>
时，
BC
8<
/p>
；④当
x
逐渐增大时，
< br>
y
1
也逐渐增大，
y
2
逐渐减小。其中正确的有
。
函数
y<
/p>
1
x
(
x
0
)
与
y
2
1
B
O
< br>A
y
2
9
x
x
反比例函数图像上三角形面积
问题
k
结论
1
：
如图
1
所
示，设
P
（
a
，
b
）是反比例函数
y=
x
（
k
≠
< br>0
）图像上的一点，过点
P
作<
/p>
PA
⊥
x
轴，垂
足为
A
，三角形
PAO
的面积是
S
，则
S=1/2|
k|
k
结论
2<
/p>
:
如图
2
所示，
设
P
（
a
，<
/p>
b
）是反比例函数
y=
< br>x
（
k
≠
0
）图像上的一点，过点
P
作
PB
⊥
y
轴，垂足为
B
，
三角形
PBO
的面积是
S
，则
S=1/2|k|
k
结论<
/p>
3
:
如图
3
所示
,
正比例函数
y=k
x
（
k
＞
0
）与反比例函数
y=
x
1
1
（
< br>k
＞
0
）的图像交于
A
、
B
两点，过
A
点作
AC
⊥
x
轴，垂足是
C
，
三角形
ABC
的面积设为
< br>S
，则
S=|k|
，与正比例函
数的比例系数
k
1
无关。
k
结论
4
:
如图
4
所示正比例函数
y=k
x
（
k
＞
0
）与反比例函数
y=
x
（
k
＞
0
）的图像交于
A
、<
/p>
B
两点，过
A
点
作
AC
⊥
x
轴
，过
B
点作
BC
1
1
⊥
y
轴
，两线的交点是
C
，三角形
ABC
的面积设为
S
，则
S=2|k|
，与正比例函数的比例系数
k
1
无关。
例
1
：
如上图
1
，若点
P
在双曲线
y
如上图
2
若点
P
在双曲线
y
2
上，则
AOP
面积为
；
x
k
上，且
BOP
面积为
3
，
则
k
。
（注意符号）
x
k
1
k
1
例
2
、两个反比例函数
y=
和
y=
在第一象限内的
图象，如图
6
所示，点
P
在
y=
的图象上，
PC
⊥
x
轴于点
C
，交
y=
的
x
x
x
x
1
k
图象于点
A
，
PD
⊥
y
轴于点
D
，交
y=
的图象
于点
B
，当点
P
在
y=
的图象上运动时，以下结论：①△
ODB
与△
OCA
的面
x
x
积相等；②四边形
P
AOB
的面积不会发生变化；
③
P
A
与
PB
始终相等；④当点
A
是
PC
的中点时，点
B
一定是
PD
的中点．
其中一定正确的是
（
08<
/p>
年湖北省咸宁市）
例
< br>3
、如图
8
，一次函数
y
1
x
2
的图象分别交
2
k
(
k
0)
x
x
轴、
y
轴于
A
、
B
，
P
为
< br>AB
上一点且
PC
为△
AOB
的中位线，
PC
的
延
长
线
交<
/p>
反
比
例
函
数
y
的
图
象
于
Q
，
3
，则
k
< br>的值和
Q
点的坐标分别为
___
_________
2
y
练习：
1
．如图，点
A
、
B
是双曲线同一支上两点，过
点
A
作
AM
x
轴，
BN
x
轴，
OB
与
AM
交于点
P
，则有（
）
A
．
S
AOP
S
梯
形
BPMN
B
．
S
AOP
S
梯
形
BPMN
<
/p>
S
OQC
<
/p>
2
A
P
B
x
o
M
N