勾股弦数
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勾股弦数
李明亮
（河北省平乡县大刘庄学校，河北
邢台
054500
）
摘要
：
勾股弦数是指这样的三个正整数（分别称为勾数、股
数、弦数）
：勾数
与股数的平方和等于弦数的平方。每一组勾股
弦数都和
3
、
4
、
5
这三个数有关；
任意给定一个不
小于
3
的勾数或股数，
都可以求出一组
勾股弦数；
但是，
只有
4k+1
形的质数和它们的倍数才可以做弦数。
关键
词
：勾股弦数；通项公式；质数；平方
勾股弦数是指这样的三个正整数：
两个较小数的平方和等于第三个数的平方。
也就是说，
如果三条线段的长度正好分别等于这三个数，
则用这三条线段可以围成
直角三角形。
3
、
4
、
5
< br>是最简单的一组勾股弦数。在一组勾股弦数中，从小到大依
次称为勾数、股数、弦
数。
勾股弦数的通项公式如下：
<
/p>
a=k(m
2
－
n
2
)
，
b=
2kmn
，
c=k(m
2
+n
2
)
（
k
、
m
、
< br>n
均为正整数，且
m
＞
n
）
例如，
k=1
，
m=3
，
n=1
时，可得到一组勾股弦数
6
、
8
、
10
；
k=2
，
m=2
，
n=1
时，也可得到
6
、
8
、
1
0
；
k=1
，
m=3
，
n=2
时，可得勾股弦数
5
、
12
、
13
；
k=1
，
m=4
，
n=1
时
，可得勾股弦数
8
、
15
、
17
……
下面讨论几个与勾股弦数有关的问题。
一、
在一组勾股弦数中，当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶；当
弦数是偶数时，勾数和股数一定都是偶数。
因为
奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数
+
奇数
=
偶数，偶数
+
偶数
=
偶数，奇数
+
偶
数
=
奇数，所以当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶。
但
是，
当弦数是偶数时，
勾数和股数为
什么一定是两个偶数，
而不能是两个奇数呢？
这是因为，奇数的平方的末两位数只能是
01
、
21
、
41
、
61
、
81
、
09
、
29
、
49
、
69
、
89
或
25
这十一个
数，而偶数的平方的末两位数只能是
04
、
24
、
44
、
64
、
84
、
16
、
36
、
56
、
76
、
96
或
00
这十一个数。这十一个
奇数中的任何两个相加，其结果
的末两位都不会等于这十一个偶数中的任何一个。
也就是说，
两个奇数的平方和不
可能是完全平
方数。
如果在一组勾股弦数中，勾数和股数都是偶数，那么，
把这组勾股弦数都除
以
2
或者连续除以
2
，最终都将变成勾数和股数是一奇一偶的勾股弦数。
二、
在一组勾股弦数的勾数和股数中，至少有
一个是
3
的倍数。
此命题的证明如下：
我们把
m
和
n
都分成三种情况
来讨论：
m=3m
1
或
3m
1
±
1
< br>，
n=3n
1
或
3n
1
±
1
（
m
1
和
n
1
均为正整数）
。
（
1
）当
m=3m
1
时，
b=2kmn
=6km
1
n
，此时，不论
k
和
n
是什么数，
b
都是
3
1
的倍数。
（
2
）当
n=3n
1
时，
b=2kmn=6kmn
1
，
此时，不论
k
和
m
是什么数，
b
都是
3
的倍数。
（
3
）当
m=3 m
1
±
1
，
n=3n
1<
/p>
±
1
时，
a=k(m
2
－
n
2
) =km
2
－
kn
2
=k(3 m
1
±
1)
2
－
k(3n
1
±
1)
2
=k(9m
1
2
±
6m
1
+1)
－
k(9n
1
2
±
6n<
/p>
1
+1)
=3k(3m
1
2
±
2m
< br>1
)
－
3k(3n
1
2
±
2n
1
)
其中的每一项都是
3<
/p>
的倍数，所以，此时的
a
一定是
3
的倍数。
这就证明
了，不论
m
、
n
是怎样的正整数，
a
和
b
之中都至少有一个是
3
的倍
数。
三、
在一组勾股弦数的勾数和
股数中，一定有一个是
4
的倍数。
<
/p>
这是因为，当
m
和
n
之中有一个偶数或都是偶数时，
b=2kmn
是
4
的倍数；
当
m
和
n
都是奇数时，
a=k(m
2
－
n
2
)
是
4
的倍数。
四、
在
一组勾股弦数中，至少有一个是
5
的倍数。
此结论的证明如下：
我们把<
/p>
m
和
n
都分成五
种情况来讨论：
m=5m
1
或
5m
1
±
1
或
5m
1
±
2
，
n=5n
1
或
5n
1
±
1
或
5n
1
±
2
（
m
1
和
n
1
均为正整数）
。
（
< br>1
）当
m=5m
1
时，
b=2kmn=10km
1
n
，此时，不论
k
和
n
是什么数，
b
都是
5
的倍数。
（
2
）当
n=5n
1
时，
b=2kmn=10kmn
1
，此时，不论
k
和
m
是什么数，
b
都是
< br>5
的倍数。
（
3
）当
m=5m
1
±
1
，
n=5n
1
±
1
时，
a=k(m
2
－
n
2
) =km
2<
/p>
－
kn
2
=k(
5m
1
±
1)
2
－
k(5n
1
±
1)
2
=5k(5m
1
2
±
2m
1
)
－
5k(5n
1
2
±
2n
1
)
很显然，此时的
a
是
5
的倍数。
（
4
）当
m=
5m
1
±
2
，
n=5n
1
±
2
时，
a=k(m
< br>2
－
n
2
) =km
2
－
kn
2
=k(5m
1
±
2)
2
－
k(5n
1
±
2)
2
=5k(5m
1
2
±
4m
1
)
－<
/p>
5k(5n
1
2
±
4n
1
)
在此情况下，
a
也是
5
的倍数。
（
5
）当
m=5m
1
±
1
，
n=5n
1
±
2
时，
c=k(m
2
+n
2<
/p>
)=km
2
+kn
2
=k(5m
1
±
< br>1)
2
+k(5n
1
±
2)
2
=25k(m
1
2
+n
1<
/p>
2
)
±
10k(
m
1
+2n
1
)+5k
显然，此时的
c
是
5
的倍数。
（
6
）当
m=5m
1<
/p>
±
2
，
n=5n
1
±
1
时，<
/p>
c=k(m
2
+n
2
)=km
2
+kn
2
=k(5m
1
±
2)
2
+k(5n
1
±
1)
2
=25k(m
1
2
+n
1
2
)
±
10k(2m
1
+n
< br>1
)+5k
显然，此时的
c
也是
5
的倍数。
可见，不论
m
、
< br>n
是怎样的正整数，
a
、
b
、
c
之中都至少有
一个是
5
的倍数。
< br>从上面三个命题可以看出，每一组勾股弦数都与
3
、
4
、
5
这三个数有
关。但
一组勾股弦数并不一定是
3
、<
/p>
4
、
5
的倍数各
一个，还可能是：
（
1
）勾数和股数一个是
3
和
4
的公倍数，一个是
5
的倍数，如
5
、
12
、
13
；
（
2
）勾数或股数是
3
和<
/p>
4
的公倍数，弦数是
5
< br>的倍数，如
7
、
24
、
25
；
（
3
）勾数和股数一个是
3
和
5
的公倍数，一个是
4
的倍数，如
15
、
8
、
17
；
（
4
）
勾数和股数一个是
4
和
5
的公倍数，
一个是
3
的倍数，
如
21
、
20
、
29
；
（
5
）勾数或股
数是
3
、
4
、
5
的公倍数，如
11
< br>、
60
、
61
< br>和
19
、
180
、
181
。
2