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2021年2月13日发(作者：虹吸的原理)

学号：

数形结合思想在中学数学中的应用

学院名称：

数学与信息科学学院

专业名称：

数学与应用数学专业

年级班别：

姓

名：

指导教师：

2012

年

05

月

数形结合思想在中学 数学中的应用

摘

要

数与 形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些

特定的条件下， 数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”

。

< p>
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。本文中主要

介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及

数形结合思想在中学解题中的应用等问题。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想

在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生

加强数形结合思想的意识。

关键词

数与形；数形结合；中学数学

The combination of shapes and number in the middle school

Abstract

The

number

and

shape

are

the

two

most

major

and

basic

research

objects

in

mathematics,

and

they

have

close

relationship.

In

some

specific

conditions,

they

are

interchangeable,which is named

the combination of shapes and number.

The

combination

of

shapes

and

number

is

an

important

thought

in

mathematics

studying,while

it

occupies

an

important

position

in

mathematics,

too.

This

article

mainly

introduces

：

the

research

background

and

significance

of

the

combination

of

shapes

and

number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and

the application of the combination of shapes and numberthought in the middle school problem

solving

and so

h the analysis, comparison and induction,it

showsthe combination of

shapes

and

number

thought's

characteristic

and

advantagesin

the

problem

solving,

which

in

actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to

strengthen the consciousness of the combination of shapes and numberthought.

Keywords

Number and shape The combination of number and shapesThe mathematics of the

middle school

目

录

摘

要

1

Abstract2

前

言

............... .................................................. ....

4

1

数形结合思想方法概述

...... ...............................................

4

1.1

数形结合思想的研究背景

..... ..........................................

4

1.2

数形结合思想的研究意义及作用

.........................................

5

2

数形结合思想方法在中学数学教学中的地位

...................................

5

2.1

从新课程标准对思维能力的 要求看数形结合

...............................

5

2.2

从 新课程教学内容的特点来看数形结合

...................................

5

2.3

从高考题设计背景来看数形结合

.........................................

6

3

数形结合思想应用的途径和原则

.. ...........................................

6

3.1

．数形结合的途径

< p>
............................................ ..........

6

3.2

．数形结合的原则

< p>
............................................ ..........

7

4

数形结合思想方法在中学解题中的应用

.......................................

7

4.1

“数”中思“形”

7

4.1.1

利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

..............................

7

4.1.2

利用数轴解决集合的有关运算

.....................................

8

4.1.3

数形结合思想在解决对称问题中的应用

.............................

8

4.1.4

利用函数图像比较函数值的大小

...................................

9

4.1.5

数形结合思想在解方程问题中的应用

9

4.1.6

数形结合解决最值问题

< /p>

........................................ ...

1

0

4.2

“形”中觅“数”

10

5

结束语

.................................................. ................

11

参考文献

............ .................................................. ....

11

致谢

.

................................. ....................................

12

前言

在数学思想中，有一类思想是体 现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这

些思想可以称之为基本数学思想。中 学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形

结合的思想、变换与转化的思想、整 体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思

想等等。中学数学中处处渗透着基本 数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的

思维活动上，它就能在发展学生的数 学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思

想方法中数形结合思想是一种很重要 的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。

一直以来数与形就是 两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著

名数学家华罗庚曾说过： “数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起

好处很多，而独立分开却会带 来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形

是不可分割的，

< br>数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。

而数形结合主要是指数

与形之间的一一对应关系。例如函数图象与函数表达式之间的关系。在数学问题中若

< br>能“以数示形，以形思数，数形渗透”

，则能加强知识的横纵联系

（

1

）

。

对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，

增强解

题能力，

特别是在一些题目中如选这题、

填空题，

在小题目中经常考察数形结合思想，

< br>如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，

那么我们将取得事半功倍的效果，

能

帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，

最终让你取得优异成绩。

那么接下来我

们将要研究数形 结合思想在我们中学中到底有哪些用处，

我们解什么样问题时需要用

到数形结合思想？

1

数形结合思想方法概述

1.1

数形结合思想的研究背景

数学以现实世界的数量关系和空间形式作为研究的对象，而数和形是相互联系，也是

可以相互转化的。

早在 数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形式联系起来

了

（

8

）

。我国宋元时 期，系统地引进了几何问题代数画化的方法，用代数式描述某些几何特

征，把图形之间的 几何关系表达成代数式之间的代数关系。

“数形结合”一词正 式出现在华罗庚先生于

1964

年

1< /p>

月撰写的《谈谈与蜂房结构有关

的数学问题》的科普小册子中。< /p>

“数形结合”的应用大致又可以分为两种情形：第一种情

形是“以 数解形”

，而第二种是“以形助数”

。

“以数解形”就是有些图形过于简单，直观

观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形 赋值，如边长

.

角度等等。

“以形助数 ”是指

把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。

1.2

数形结合思想的研究意义及作用

数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。首先 ，

“数形结合”能更好帮助学生

对所学知识的掌握与记忆。例如 ：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知

识点，像函数的定义域

.

值域

.

单调性

.

奇偶性

.

周期性< /p>

.

有界性以及凹凸性等。

其次，应用

“数形结合”能培养学生的数学直觉思维能力。第三，数形结合思 想有利于培养学生的发

散思维能力。第四，应用“数形结合”有益于培养学生的创造性思 维能力。

“数无形时不直观，

形无数 时难入微”

道出了数形结合的辩证关系，

数形结合简言之就是：

见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形

结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。在中学教学中，数

形结合已成为一条重要的教学原则。

2

数形结合思想方法在中学数学教学中的地位

< br>2.1

从新课程标准对思维能力的要求看数形结合

数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过 数与形的有机结合，把形象思

维与抽象思维有机地结合，

尽可能 地先形象后抽象，

不但能促进这两种思维能力同步发展，

还为学 生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学

生

从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第 三通过数形结合引

导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的 观点考虑问题，更

好地把握事情的本质。

由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重 要思想，要求教师能充分渗透

数形结合思想，挖掘它的教学功能和解题功能。

< p>

2.2

从新课程教学内容的特点来看数形结合< /p>

数学基本知识与数学思想方法是课堂教学内容的两个不可分割的 有机组成部份。数学

思想方法是解决数学问题的根本思想和手段，它是人们探索数学真理 ，求解数学问题的过

程中逐步积累起来的，并蕴含于各个数学分支的公理、定理、公式、 法则和解决问题的过

程中，是人类宝贵的精神财富。数学思想方法产生数学知识，数学知 识蕴含数学思想和方

法，两者的联系是辩证的统一。这就决定了在中学数学课堂教学中， 数学知识的教学不能

代替数学思想方法的教学，课堂教学的目的，应在于运用数学思想方 法去揭示数学知识之

间的内在联系，教师在课堂教学中，既要重视数学知识的教学，更要 突出数学思想和方法

的教学，通过数学思想和方法的教学，使我们的学生毕业之后，

“不论做什么业务工作，

唯有深深铭刻在头脑中的数学精神，数学思 想方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他

（

2

）

们终生受用。

”

然而在课 堂教学中教师过于呆板地强调着逻辑思维能力。

在教学中忽视对

直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中一些抽象的结论的理解。忽视

学生形象思维的培养。学生对于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生“亲和感”

，

感到枯燥，厌恶。事实上教材中体现数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给

代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学

习数学的兴趣。利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接。初中数学的教学

内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强对数学概念的理解基

础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力，数学语言的运用要求较高。因此学

生对于高中数学的学习要有一个适应过程。教师更要帮助学生渡过这个关口。从高一数学

内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。

2.3

从高考题设计背景来看数形结合

随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多 变性发展，增加了应用题，开

放题，情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识 理解的准确性、深刻性，重在

考查知识的综合应用，着眼于对数学思想方法、数学能力的 考查。高考试题这种以能力立

意的积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知 识、方法的运用，整体把握各

部分知识的内在联系。而数形结合是中学数学中最重要、最 基本的数学思想方法之一。利

用数形结合设题，一方面考查学生对数学的符号语言，数学 的图形语言的理解能力，语言

的互补、互译、互化能力，即在数学本质上的有欲转化能力 ，另一方面考查学生的构图能

力，以及对图形的想象能力，综合应用知识的能力；考查数 形结合的应用能力最能展示学

生能否进行“数学地思维”

。因此 数形结合在每年的高考中都是一道亮丽的风景线，如果

能从图形特征中发现数量关系，又 能从数量关系中发现图形特征，并准确构图那么很快就

能得出正确答案。

3

数形结合思想应用的途径和原则

3.1

．数形结合的途径

（

1

） 通过坐标系形题数解

借助于建立直角坐标系、复平面可以将图 形问题代数化。这一方法在解析几何中体现

的相当充分；

值得强 调的是，

形题数解时，

通过辅助角引入三角函数也是常常运用的 技巧。

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的 点的对应关系；②函数与图象

的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几 何条件为背景，建立起来的概

念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含 有明显的几何意义

（

3

）

。如等式

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