《分类讨论思想在中学数学中的应用》论文
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安阳师范学院本科学生毕业论文
分类讨论思想在中学数学中的应用
作
者
***
院
(
系
)
数学与统计学院
专
业
数学与应用数学
年
级
****
级
学
号
指导老师
***
论文成绩
日
期
****
年
**
月
**
日
学生诚信承诺书
< br>本人郑重承诺
:
所呈交的论文是我个人在导师指导下进行
的研究工作及取得的研究成果．
尽
我所知，除了文中特别加以标
注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究
成果，也不包含为获得安
阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同
工作的同志对本研究
所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．
签名
:
日期
:
论文使用授权说明
本人完全了解安阳
师范学院有关保留、
使用学位论文的规定，
即
< br>:
学校有权保留送交论文的
复印件，允许论文被查阅和借
阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印
或其他复制手段保存论文
．
签名
:
导师签名
:
日期
:
分类讨论思想在中学数学中的应用
牛红姣
（安阳师范学院
数学与统计学院，
河南
安阳
455002
）
摘
要：
在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，
完整，严密的解答．分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要
根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐
一地
加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到
解决．
关键词：
< br>正确分类；应用；分类讨论思想；标准
1
简述分类讨论思想
由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之< p>
为分类讨论思想，
其实质是一种逻辑划分的思想，
是一种
“化整为零，
各个击破，
再积零
为整”
的数学策略．
分类讨论思想，
是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策
略．分类讨论思
想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培
养学生思维
的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置．
2
分类讨论的要求、原则及其意义
分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想解决问
题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过
程．
为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，
在中学阶段，我们经常用到的有
以下四大原则
:
⑴
同一性原则
分类应按照同一标准进行
，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合
的思想来解释，
如果把研究对象看作全集
I
，
< br>A
i
是
I
的子集并以此分类，
且
A
1
A
2
A
n
< br>I
，
则称这种分类
A
１
,
A
２
,
An
< br>
符合同一性原则．
⑵
互斥性原则
分类后的每个子项应当互
不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于
这个子项，又属于另一个
子项．即对于研究对象
I
，
A
i
i
1
n
< br>是
I
的子集，且作为分类的标
准
，若
A
i
A
j
i
,
j
1
n
,
i
j
< br>，则称这种分类符合互斥性原则．
⑶
相称性原则
分类应当相称，即划分后
子项外延的总和（并集）
，应当与母项的外延相等．
⑷
层次性原则
分类有
一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分
类后的
所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止．
分
类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不
能
给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解
决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解
< br>答．
3
分类讨论思想在中学数学中的应用
3.1
分类讨论思想在集合中的应用
在集合
运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些
第
3
页
含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解．
例
1
设
A
{
x
|
2
x
a
},
B
{
y
|
y
2
x
3,
x
A
},
C
{
z
|<
/p>
z
x
2
,
x
A
},
且
C
B
，求实数
a
的取值范围．
分析
当
2
x
a
时
z
x
2
的范围与实数
a
取值的正
负号，
a
与
2
的大小均有关系，因
此必须对
a
分情况
讨论，从而得到集合
C
，再根据
C
B
，求出
a
的取值范围．
解
A
x
2
x
a
，
B
y
y
2
x
3
,
x
< br>
A
y
1
y
2
a
3
< br>．
⑴
当
2
a
0
时，
C<
/p>
{
z
|
a
2
z
4}
，因为
C
B
，所以
4
2
a
3
，
解得
1
a<
/p>
，
2
与
2
a
0
矛盾．
⑵
当
0
a
2
时，
C
{
z
|
a
2
z
4}<
/p>
，因为
C
B<
/p>
，所以
4
2<
/p>
a
3
，
解得
1
a
，
2
故
1
a
2
．
2
⑶
当
a
2
时，
C
{
z
|
0
z
a
2
}
，因为
C
B
，所以
a
2
2
a
3
，
解得
1
a
3
，
故
2
a
3
．
综上可得
1
a
a
3
．
2
3.2
分类讨论思想在函数中的应用
3.2.1
分段函数中的分类讨论
例
2
已知函数
f
(
x
)
x
3
<
/p>
x
1
，作函数
f
(
x
)
的图像．
分析
f
(
x
)
是分段函数，没有统一的表达式，所以按其零点分区间讨论．
解
⑴
当
x
1
时，
f
(
x
)
3
x
x
1
2
x
2
；
⑵
当
1
x
3
时，
f
(
x
)
3
x
x
1
4
；
⑶
<
/p>
当
x
3
时，
f
(
x
)
x
3
< br>x
1
2
x
2
；
即
第
4
页
2
x
2,
x
1
f
(
x
)
4,
< br>1
x
3
．
2
x
2,
x<
/p>
3
故
f
(
x
)
的函数图像为如图（
1
）所示
:
图（
1
）
3.2.2
函数中含参数的分类讨论
例
3
已知函数
f
x
2
x
2
<
/p>
2
ax
3
在区间
1,1
上有最小值，记作
g(a)
，求
g(a)
的函数
表
达式．
解
原式配方得
a
2
a
2
y
2(
x
)<
/p>
3
，
2
2
其对称轴方程
为
x
a<
/p>
，
2
a
⑴
当
1
时，即
a
2
时，
y
在
1,1
上递增，
2
在
x
1
时，
g
(
a
)
2
a
5
；
a
⑵
当
1
1
时，即
2
a
2
时，
2
a
在
x
处有最小值，
2
a
2
g
(
a
)
< br>
3
；
2
a
⑶
当
1
即
a
2
时，
y
在
1,1
上单调递减，
2
在
x
1
时，
g
(
a
)
5
2
a
；
综上所述可得
2
a
< br>5,(
a
< br>2)
a
2
g
(
a
)
3
<
/p>
,(
2
a
2)
．
2
5
2
a
,(
a
< br>2)
第
5
页
3.3
分类讨论思想在不等式中的应用
3.3.1
涉及运算要求的分类讨论
我们在解题
过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形
和运算是受
条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值
是否为
负；解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于
0
等等．
例
4
解
不等式
x
1
x
3
．<
/p>
分析
解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，才能同时平
方而不改变不等号方向，因此根据运算要求进行分类讨论．
解
原不等式等价于
< br>x
1
0
，
x
3
0
或
x
1
0
；
< br>
x
3
0
2
x
1
x
3
解得
1
x
3
，
或
3
x
5
．
原不等式解集为
x
1
x
5
．
3.3.2
含参数不等式的分类讨论
2
2
3
例
5
解关于
x
的不等式
x<
/p>
(
a
a
)
x
a
0
．
分析
< br>原不等式是关于
x
的一元二次不等式，可化为
(
x
a
)(
x
< br>
a
2
)
0
．
由
于
a
与
a
2<
/p>
无法确定，
此不等式无法解下去，
因此对
a
进行讨论，
讨论的着眼点应该在
a
与
a
2
的大小上．
解
⑴
当
0
a
1
时，
a
a
2
，不等式的解集为
x
x
a
2
或
x
a
；
⑵
当
a
0
时，
a
a
2
，不等式解集
为
x
x<
/p>
R
且
x
0
；
⑶
当
a
1
时，
a
a
2
，不等式解集为
x<
/p>
x
R
且
x
1
；
⑷
当
a
1
或
a
0
时，
a
a
2
，不等式解集为
x
0
x
a
且
x
a
2
．
3.4
分类讨论思想在排列组合中的应用
分
类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类
讨
论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题．
例
6
在正方体的
< br>8
个顶点中，
12
条棱的中点，
6
个面的中心及正方体的中心共
27<
/p>
个点中，
共线的三点组的个数是多少？
第
6
页