反例在中学数学教学中的作用
-
毕
业
论
文
题
目
反例在中学数学教学中的作用
学生姓名
张栓
学号
1109014150
所
在
院
(
系
)
数
学
与
计
算
机
科
学
学
院
专业班级
数学与应用数学专业
(
师范类
)11
级
2
班
指导教师
张
琳
2015
年
5
月
15
日
陕西理工学院毕业论文
反例在中学数学教学中的作用
张栓
（陕西理工学院数学与计算机科
学学院数学与应用数学专业（师范类）
11
级
< br>02
班，陕西
汉中
723000
）
指导老师：张琳
[
摘要
]
主要阐述反例在中学数学教学中的几点功能，
应用反例进行教学
时应注意的几个问题及反例的背
景类型等方面的内容。在数学教学中利用反例可以有效的
激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基
础知识的理解，
反例不仅有助于学生全面正确的理解，
掌握数学的基本概念和基本定理，
而且是纠正错误，
发现问题的重要途径。
[
关键词
]
：
反例
中学数学
教学
作用
1
引言
在社会实践和学习过程中，
人们都有这样一个经验，
当你对某一问题苦思冥想而不得其
解时，
从反面去
想一想，
常能茅塞顿开，
获得意外的成功。用逆向思维方法从问
题的反面出
发，
可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。<
/p>
它不仅是解决问题的有力手段，
而且推动
了数学的发展，
开辟了数学领域的新天地。
当一个数学问题被提
出来后，
它面临着两种抉择：
一是根据已知的公理、定义、定理
等经过一系列的正确推理，
推证命题成立；一是从一些迹
象判断
该命题不成立，
然后寻求一个满足命题的条件，
但使结论不成立
的例证，
从而否定这
个命题。后者即为通常所说的反例，重要的
反例往往会成为数学殿堂的基石。
2
数学反例在中学教学中的应用背景
《
数学新课程标准》
的基本理念的核心内容有这样一条：
学生的数
学学习内容应当是现
实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察
、实验、猜测、验证、
推理和交流等数学活动。
内容的呈现应采
取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。
有效
的数学学习活
动不能单纯地依赖模仿与记忆，
动手实践、
主动探索与合作交流
是学生学习数
学的重要方式。
由于学生所处的文化环境、
家庭背景和自身思维方式的不同，
数学学习活动
应当是一个生动的、
主动的和富有个性的过程。
本条理念说明
了要赋予数学学习活动以生命
的活力，
要发展学生的实践能力和
创新精神。
数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，
要转
变过去封闭、被动、
接受性的学习方式，
倡导
动手实践、
自主探索与合作交流学习数学的重
要方式。
那么教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，
应注重创设问题情境，
引发矛盾
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冲突，激发学
习兴趣，激活探究欲望，提供探究材料，构建探究性活动过程，让学生在活动
中探究，在
探究中体验，在体验中发现，合作探究，自主构建。数学反例在中学教学中的应
用恰好迎
合此理念，
它是激发学生学习兴趣，
培养学生创新能力，
开发学生创造性思维的一
种必不可少的教学方法。
3
反例的来源与构造
证明一个猜想是真实可靠的，必须经过严格的推理证明才能得出结论
;
而要证明一个猜
想是假的
,
就只需要找到这个猜想命题的反例
.
在数学学习中
,
有这样一种现象：教师为了说
明一个
命题是假命题
,
就举出一个例子
,
说出这个例子虽然满足命题的条件
,
但是不能
满足命题的结论
,
这就是常用
的反例证明。
但是反例是怎样获得的呢
?
与获得证明的方法一样
,
反例的获得也需要经过一系列深层次
的思维活动
,
其方法包括
:
观察与实验
,
归纳
,
分析与综
合
,
概括
与抽象等
,
反例决不是凭空得到的。
从
概念的定义入手分析获得反例是最常用的一种
方法，概念是反映事物本质属性的思维形式
。在数学问题中
,
若首先给出一个概念的定义
< br>,
然后判断一个猜想是否正确
,
则反例的获得就常常需要从定义入手分析。数学中的反例作为
简明而又有力的否定方法<
/p>
,
它不仅在培养逆向思维能力中占有重要地位，而且在纠正错误结
论、
澄清概念、
开拓数学新领域中也起
到了非常重要的作用，
正如美国数学家盖尔鲍姆所说：
“数学是
由两大类－证明和反例组成，
而数学的发展也是朝着这两个目标的即提出证明和构
造反例。”
4
数学反例的概念与类型
数学中的反例
，
是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。
也就
是说反例
是一种指出某命题不成立的具体例子。
从某种意义上来
说，
所有的例子都可以称为反例，
因
为
它总可以指出某命题不成立。
但是我们所说的数学反例，
应该注
意这样几点：
①是相对于
数学命题而言；
②是具体的实例；
③是反驳与纠正错误数学命题的一种方法；
④是它建立在
数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上。
一
般来说，
一个假命题的反例有多个，
我们
在举反例时，
只选其中一个有代表性的就可以了。
反例是相对
于命题而言，
它的产生与分类
和数学命题的结构密切相关，因此
在数学上的反例可以分为以下几种类型：
4.1
基本形式的反例
数学命题有以下
4
种基本形式：
全称肯定判断，全称否定判
断，特称肯定判断，特称否
定判断。全称肯定判断（所有，都有，）与特称否定判断（有
，不是，）可以互为反例。例
如对任何自然数
n
都有
n
0
的值为
1
，这是全称肯定判断，但当
n
=
0
时，
¹
1
，这是特称
n
0
< br>否定判断，这就是反例。
4
．
2
充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例
充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，
可以表述
为因为某某所以某某。即“有前者，必有后者”。但是
“没有前者，不一定没有后者”。
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必要条件的假
言判断，可表述为因为某某不存在，故某某也不存在，即“没有后者，就
没有前者”。但
是“有了前者，不一定有后者”。可举反例“有了前者，没有后者”说明之。
这种反例称
为关于必要条件假言判断的反例。
4
．
3
条件变化型反例
数学命题的条件改变
时，
结论不一定正确，
为了说明这一点所举出的反例称为条件变
化
型反例。条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下
结论
的变化，对数学科学的研究与教学是很有益的。
5
反例在数学教学中的作用
反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉，被誉为大自然的几何学的分形
(Fractal)
理
论
,
是现代数学的一个新分支
,
但其本质却是一种
新的世界观和方法论
.
它与动力系统的混沌
理论交叉结合
,
相辅相成
.
它承认世界的局部可能在一定条件下
.
过程中
,
在某一方面
(
形态
,
结构
,
信息
,
功能
,
时间
,
能量等
)
< br>表现出与整体的相似性
,
它承认空间维数的变化既可以是
离
散的也可以
是连续的
,
因而拓展了视野
.
虽然
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布
罗特
1975
年首
先提出的
,
但最早的工作可追朔到
1875
年
,
德国数学家维尔斯特拉斯构
造了处处连续但处处不可微的函数
,
集合论
创始人康托德国数学家
)
构
造了有许多奇异性质
的三分康托集
.1890
年
,
意大利数学家皮亚诺构造了
填充空间的曲线
.1904
年
,
瑞典数学家
科赫设计出
类似雪花和岛屿边缘
的一类曲线
.1915
年
,
波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地
毯和海绵一<
/p>
样的几何图形
.
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例
,
但它们
正
是分形几何思想的源泉
.
以后
,
这一领域的研究工作没有引起更多人的注意
,
先驱们的工作只
是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开
来
.
5.1
运用反例进行教学，能够帮助学生正确全面地理解数学概念
数学概念的教学，
不仅要运用
正面的例子加以深刻阐明，
而且要通过合适的反例，
从另
一个侧面抓住概念的本质，
使学生对所学概念进一步反思，
从而达到深刻理解和掌握该概念
的目的。
例
1<
/p>
：
关于函数的概念，
不少学生片面地认为
：
一个变量随着另一个变量的变化而变化，
它们之间的关系就是
函数关系，
为了帮助学生澄清、
纠正这一错误认识，
可向学生提出这样
的两个问题：
(1)
人的身高与年龄成函数关系吗？
(2)
若
y
=
tan
x
?
cot
x
，
则
y
是
x
的函数吗？
结果不少学生都认为
(1)
人的身高与年龄有关
系，因而人的身高与年龄构成函数关系。
而
(2)
中由于
y
=
tan
x
?
cot
x
=1
，因变量
y
不随<
/p>
x
的变化
(
y<
/p>
=
1
)
，故
y
不是
x
的函数。
老
师学生一起参与讨论。发现问题
(1)
里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人
的身高，
即当自变量
(
人的年龄
)
发生变化时，
因变量
(
身
高
)
没有完全确定的值和它对应，
因<
/p>
此不符合函数的定义。而在问题
(2)
里
，对每一个给定的
x
值
(
在
x
的定义域内
)
，
y
随
x
总
有唯一确定的值
(
y
=
1
)
和它对应，
只不过当
x
变化时，
y
的值始终不变罢了。由此使学生
认识到
y
是
x
的函数，并非一定要求
y
随
x
的变化而变化。
第
3
< br>页共
8
页