不定方程及不定方程组
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第二十七讲
不定方程、方程组
不定方程
(
组
)
是指未知数的个数多于方程的个
数的方程
(
组
)
，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一
确定．
对于不定方程
(
组
)
，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，
一些复杂的不定方程
(
组
)
常常转化为二元一次不定方程问题加
以解决，与之相关的性质有：
设
a
、
b
、
c
、
d
为整数，则不定方程
ax
by
c
有如下两个重要命题：
(1)
若
(a
，
b)=d
，且
d
卜
c
，则不定方程
ax
by
c
没有整数解；
(2)
若
x
0
，
y
< br>0
是方程
ax
by
c
且
< br>(a
，
b)=1
的一组整数解<
/p>
(
称特解
)
，则
x
x
0
bt
(
t
为整数）
是方程
的全
y
y
at
0
部整
数解
(
称通解
)
．
解不定方程
(
< br>组
)
，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程
(
组
)
的特点
进行恰当的变形，并灵
活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、
因数分解。配方利用非负数性质、穷举，
乘法公式，不等式分析等．
举例
【例
1
】
正整数
m
、
n
满足
8m+9n=mn+6
，则
m
的最大值为
．
(
新加坡数学竞赛题
)
思路点拔
把
m
用含
n
的
代数式表示，并分离其整数部分
(
简称分离整系数法
)
．再结合整除的知识，求
出
m
的最大值．
注：求
整系数不定方程
ax
by
c
的整数解。通常有以下几个步骤：
（
1
）判断
有无整数解；
(2)
求一个特解；
(3
)
写出通解；
(4)
由整数
t
同时要满足的条件
(
不
等式组
)
，代入
(2)
中的表达式，写出不定方程的正整数解．
分离整系数
法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，
结合整除的知识讨论
．
【例
2
】
如图，
在高速公路上从
3
千米处开始，
每隔
4
千米设一个速度限制标志，而且从
10
千米
处开始，
每隔
9
千米设一个测速照相标
志，则刚好在
19
千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设
置这两种标志
的地点的千米数是
(
)
．
A
．
32
千米
B
．
37
千米
C
．
55
千米
D
．
90
千米
(
河南省竞赛题
)
思路点拨
设置限速标志、照相标志千米数分别表示为
3+4x
、
10
十
9y(x
，
y
为自然数
)
，<
/p>
问题转化为求
不定方程
3+4x=0+9
y
的正整数解．
【例
3
】
<
/p>
(1)
求方程
15x+52y=6
的所有整数解．
(2)
求方程
x+y
＝
x
2
一
xy+y
2
的整数解．
(
莫斯科数学奥林匹克试题
)
(3)
求方程
1
1<
/p>
1
5
的正整数解．
x
y
z
6
(
“希望杯”邀请赛试题
)
思路点拨
对于
(1)
通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于
(2)
易想到完全平方公式，从配方人手，
对于
(2)
易知
x
、
y
、
z
都大于
1
，
不妨设
≤ z <
br>
l
≤
y
z
，则
1
1
1
，
将复杂的三元不定方程转化为一元不等
x
y
式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结
果．
注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答
．
【例
4
】
<
/p>
一个盒子里装有不多于
200
粒棋子，如
果每次
2
粒，
3
粒，
4
粒或
6
粒地取出，最终粒盒内都剩
1
粒棋子；如果每次
11
粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？
（
2002
年重庆市竞赛题）
思路点拨
无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．
【例
5
】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡
雏各几何
?
(
出自中
国数学家张丘建的著作《算经》
)
x
y
z<
/p>
100
思路
点拨
设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为<
/p>
x
、
y
、
z
，则有
z
5
x
3
y
100
3
通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．
【例
6
】
甲组同学每人有
28
个核桃，乙组同学每人有
30
个核桃，丙组同学每人有
31
个核桃，三组的
核桃总数是
365
个，问三个小组共有多少名同学
?
(2001
年海峡两岸友谊赛试题
)
思路点拨
设甲组学生
a
人，
乙组学生
b
人，
丙组学生
c
人，
由题意得
28a+30b+31c=365
，怎样解三元一
< br>次不定方程
?
运用放缩法，从求出
a+b+c
的取值范围入手．
注：
解不定方程组基本方法有：
(1)
视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；
(2)
通过消元，将问题转化为不定方程求解；
(3)
运用整体思想方法求解．
【例
7
】
<
/p>
不定方程
4x+7y=2001
有
组正整数解．
思路点拨
49
十
7y=3
×
667
易知
<
/p>
x
667<
/p>
7
t
x
667
是其一组特解，∴其通解为
，
t
< br>z
，
y
667
4
t
y
667
∵
667
7
t
1
，解之得
96
≤
t
≤
1
66
667
4
t
1
∴
t
可取整数值共
< br>71
个．
∴
4x+7y=2001
有
71
组正整数解．
学力训练
1
．已知
x
、
y
、
z
满足
x
+y=5
及
z
2
=xy+y
—
9
，则
x+2y+3z=
．
(2002
年山东省竞赛题
)
2
x
2
3
y
2
6
z
2
2
．已知
4x
一
3y
一
6z=0
，
x+2y
一
7c=0(xyz
≠
0)
，那么
2
的值为
．
2
2
x
5
y
7
z
3
．
用一元钱买面值
4
分、<
/p>
8
分、
1
角的<
/p>
3
种邮票共
18
张，
每种邮票至少买一张，
共有
种不同的买法．
4
．购买
5
种数学用品
A
1
、
A
2
、
A
3
、
A
4
、
A
5
的件数和用
钱总数列成下表：
品名
件数
第一次购件数
第二次购件数
A
1
l
1
A
2
A
3
A
4
A
5
3
5
4
7
5
总钱数
6
1992(
元
)
9
11
2984(
元
)
则
5
种数学用品各买一件共需
元．
(
北京市竞赛题
)
< br>5
．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共
20
个，其总价值为
330
元，这三种球的
价格分别是足
球每个
60
元，篮球每个
30
元，排球每个
10
元，那么其中排球有
个．
(
温州市中考题
)
< br>6
．方程
(x+1)
2
+(y-2)
2
＝
1<
/p>
的整数解有
(
)
．
A
．
1
组
B
．
2
组
C
．
4
组
D
．无数组
7
．二元方程
x+y+z=1999<
/p>
的非负整数解的个数有
(
)
．
A
．
200
01999
个
B
．
19992000
个
C
．
2001000
个
D
．
2001999
个
< br>
(
“希望杯”邀请赛试题
)
8
．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数
(
不一定相同
)
，则
a+b
+c+d+e+f=(
)
．
A
．
27
B
．
24
C
．
30
D
．无法确定
(
“五羊杯”邀请赛试题
)
9
．求下列方程的整数解：
(1)1lx+5y=7
；
(2)4x+y
=3xy
．
10
．在车站开始检票时，有
a(a>0)
名旅客在候车室排队
等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排
队检票进站，设旅客按固定的速度增加
，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需
30
分钟
才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需
10
分钟便可将排队等候检票的旅客
全部检票完毕；
如果要在
5
分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后
来到站的旅客能随到随检，
至少要同时开放几个检票口
?
(
广州市中考题
)
< br>11
．
下面是同学们玩过的
“锤
子、
剪子、
布”
的游戏规则：
游戏在两位同学之间进行，
用伸出手掌表示
“布
”
，
两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时
出手，
“布”赢“锤子”，
“锤子”赢“剪子”，
“剪子”赢“布”．
现在我们约定：“布”赢“锤子”
得
9
分，“锤子”赢“剪子”得
5
分，“剪子”赢“布”
得
2
分．
(1)
小
明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了
21
次，得
108
分，其中“剪子”赢“布”
7
次．聪明的同学，
请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”
赢“剪子”各多少次
?
(2)
如果小明与某同学玩了若干次，
得了
30
分，
请你探究一下小明各种可能的赢法
，
并选择其中的三种赢
法填人下表．
赢法一：
赢的次数
．．
“布”赢“锤子”
“锤子”赢“剪子”
“剪子”赢“布”
赢法二：
“布”赢“锤子”
“锤子”赢“剪子”
“剪子”赢“布”