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2021年2月13日发(作者：捏拼音)

数学奥赛辅导

第四讲

不定方程

不定方程是指未知数的个数 多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整

数、正整数或有理数）的方程

.

不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂< /p>

的课题

.

1

．几类不定方程

< br>（

1

）一次不定方程

在

不

定

方

程

和

不

定

< br>方

程

组

中

，

最

简

单

的

不

定

方

程

是

整

系

数

方

程

ax



< p>
by



c



0

,

(

a

< br>

0

,

b



0

)

①通常称之为二元一次不定方 程

.

一次不定方程解的情况有

如下定理

.

定理一：

二元一次不定方程

ax



by



c

,

a

,

< p>
b

,

c

为整数

< p>
.

有整数解的充分必要条件是

(

< br>a

,

b

)

|

c

.

定理二：

若

(

a

,

b< /p>

)



1

,

且

x

0

,

< p>
y

0

为①之一解，

则方程 ①全部解为

x



x

0



bt

,

y



y

0



at

.

（

t

为整数）

。

（

2

）沛尔

(

pell

)

方程

形如

x

2



dy

2



1

（

d



N

*< /p>

，

d

不是完全平方数）的方程称为沛尔方 程

.

能够证明它

一定有无穷多组正整 数解；又设

(

x

1

,

y

1

)

为该方程的正整数解

(

x

,

< p>
y

)

中使

x



y

d

最小的

1



n

n

< br>x



[(

x



d

y

)



(

x



d< /p>

y

)

]

n

1

1

1

1

< p>


2



解，则其的全部正 整数解由



（

n



1,2,3,



）给

1



y

n

< br>

[(

x

1



d

y

1

)

n



(

x< /p>

1



d

y

1

)

n

]

< p>


2

d



出

.

①只要有解

(

x

1

,

y

1

)

，就可以由通解公式 给出方程的无穷多组解

.

②

x

n

,

y

n

< p>
满足的关系：

x

n



y

n

（

3

）勾股方程

x



y



z

这里只讨论 勾股方程的正整数解，只需讨论满足

(

x

,

y

)



1

的解，此时易知

x

,

< br>y

,

z

实际

上两两互素

.

这种

x

< p>
,

y

,

z

两两互素的正整数解

(

x

,< /p>

y

,

z

)

称为方程的本原解，也称为本原的勾

股数。

容 易看出

x

,

y

一奇一偶，

无妨设

y

为偶数，

下面的结果勾股方程的全部本原解通解公

式。

2

2

2

定理三 ：

方程

x



y



z

满足

(< /p>

x

,

y

)



1

，

2

< p>
|

y

的全部正整数解

(< /p>

x

,

y

,

z

)

可表为

2

2

2



< p>
x

n



2

x

1

x

n



1



x

n



2

，

d



(

x

1



y

1

d

)

；



y

< br>

2

x

y



y

1

n



1

n



2



n

n

x



a

2



b

2

,

y

< br>

2

ab

,

z



a

2



b

2

，其中，

a

,

b

是满足

a



b



0

,

a

,

b

一奇一偶，且

(

a

,

b

)



1< /p>

的任意整数

.

4

．不定方程

xy



zt

这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：< /p>

设

(

x

,

z

)



< p>
a

，

则

x



ac

,

z

< br>

ad

，

其中

< br>(

c

,

d

)



1

，

故

acy



adt

,

即

cy



dt

,

因

(

c

,

d

)



1

，

所以

d

|

y

,

< p>
设

y



bt

,

则

t



< br>bc

.

因此方程

xy



zt

的正整数解可表示为

x



ac

,

y



bd

,

z



ad

,

t



bc

.< /p>

a

,

b

,

c

,

d

都是正整数， 且

(

c

,

d< /p>

)



1

.

反过来，易知上述给

出的

x

< br>,

y

,

z

,

t

都是解

.

也可采用如下便于记忆的推导：

设< /p>

x

c

x

t

c

c





< p>
,

这里

是

既

约

分

数

，

< br>即

(

c

,

d

)



1

.

由

于

约

分

后

得

出

，

故

z

d

z

y

d

d

x

< br>

ac

,

z



ad

，同理

t

< br>

cb

,

y



ab

.

2

．不定方程一般的求解方法

1

．奇偶分析法；

2

．特殊模法；

3

．不等式法；

4

．换元法；

5

．因式分解法

6

．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个）

7

．无穷递降法

由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法

.

注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例：

证明：方程

x



y



z

无正整数解。

< /p>

4

4

2

证明：假 设

x



y

< /p>

z

存在正整数解，其中

z

最小的解记为

z

0

。因为

x

4

4

2









y



2

2

< br>2

2



z

2

，

根据勾股方程的通解公式有

x< /p>

2



a

2



b

2

,

< p>
y

2



2

ab

,

z

0

< br>

a

2



b

2

，其中

a

,

b

一奇一偶，

2

< br>2

2

2



a

,

b





1

。从

x

< /p>

a



b

可以得到

a

为奇数，

b

为偶数，令

b



2

s

，

y



2

ab



4

a s

，

其

中

< /p>

a

,

s





1

，

所

< p>
以

a



t

2

,

s



q

2

,(

t

,

q

)



1

。

由

x



a



b

得

x

2



t

4



4

q

< br>4

，

即

2

2

2

x

2



4

q

4



t

4

，

又

可

以

通

过

勾

股

方

程

< br>的

通

解

公

式

2

2

，

x



l

2



m

2

,2

q

2



2

lm

,

t

2



l

2



m

< br>2

,(

l

,

m

)



1

，

注

意

到

q< /p>

2



lm

，

所

以

l



l

0

,

m



m

0

4

< br>2

4

4

，而

z

0



t



b



t

，与

z

0

的最小性矛盾。所以原方程组无正 整数解。

t

2



l

0



m

0

赛题精讲

例

1

．

（

1< /p>

）求不定方程

37

x



107

y



25

的所有解；

（

2

）求不定方程

7

x



19

y



213

的所有解。

解 析：

（

1

）可以由辗转相除法得到，其 实根据该方法可以得到必存在整数

s

,

t

，使得

37

s



107

t



1

。如

107



2



37



33,37



1



< br>33



4,3



4



8



1

，依次反代即可得到一个

特解。

（

2

）

x



213



19< /p>

y

3



5

y

，可以取

x



30



2

y



，此时可以得到

y



2

。从而得到一个

7

7

特解。

注：这个两个方法是基本方法。

例< /p>

2

．求所有满足方程

8

< br>

15



17

< br>的正整数解

解析：首先从同余的角度可以发现

y

必须为偶数，

8

< /p>

15



17

，又

15

的个位数必须为

5

，而

8

的个位数为

2

，

4

，或

6

< p>
，

17

的个位数为

3

，

9

，

1

，所以

x



0,2(m od

4)

，对应的

x

< br>z

x

y

z

y

x

y

z

z



0,2(mod

4)

。

这

样

可

以

令

y



2

k

，

z

< /p>

2

l

，

可

以

得

到

8

< p>
x



17

2

l



15

2

k



(17

l



15

k

)(17

< p>
l



15

k

)

，注意到

17

l

,15

k

均为奇数，两个的和和差必定是

l

k





< p>
17



15



< p>
2

l

k

17



15



2

，观察有解

一个单偶，一个双偶，从而



l

，目标集中于

k

3

x



1



< p>


17



15

< p>


2



l

,

k







1

,1



。当

k



2

时，两边取模



2,2,2



17

可以得到

(



1)



2



mod9



矛盾。 所以仅有解

k

例

3

．

a

为给定的一个整数，当

a

为何值时，方程

y



1



a

(

x y



1)

有正整数解？有正整数

解时，求这个不定方程。

解

：

y



1



a

(

x

y



1

可

)< /p>

以

变

形

为



x

3

3

< p>
3

y

3



1



y

3



x

3

y

3

(



a

1< /p>

，

x

)



y

这

样

(

< p>
x

y



1



)

3

|



y

3

3

x

y



，一个明确的事实



xy



1,

y

3





< br>1

，从而

(

xy



1)

|



< br>1



x

3



。这样我们

3

3

< br>得到

(

xy



< br>1)

|

1



x



(

xy



1)

|

y



1(*)

。不妨假设

y



x

,

y

< br>

x

两种情况。





（

1

< br>）

y



x

y

3



1

1

，从这个代数式发现，

y

< p>


2

，对

y



1

单独讨

y



1



a

< br>(

y



1)



a



2



y



y

< /p>

1

y



1

3

2

论

，

< p>
有

2



a

(

x



1)

< br>，

a



1,

x



3;

a



2,

x



2

，

这

种

情< /p>

况

共

有

解

：

a



1

< p>
,





3,1

< p>


;

a



2





2,1



；

a



3





2,2



，

注

意

到

*

式

的

等< /p>

价

性

，

又

有

解

a

< p>


14,





< p>
1

,3



;

a



9



< br>

1

,2



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