一次不定方程的解法
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一次不定方程的解法
我们现在就这个问题，先给出一个定理．
定理如果
a
,
b
是互质的正整数，
c
是整数，且方程
ax<
/p>
by
c
①
有一组整数解
x
0
,<
/p>
y
0
则此方程的一切整数解可以表示为<
/p>
其中
t
0,
1,
2,
3,
…
证因为
x
0
,
y
0
是方程①的整数解，当然满足
ax
0
by
0
c
②
< br>
因此
a
(<
/p>
x
0
bt
)
b
(
y
0
at
)
ax
0
by
0
c
．
这表明
x
x
0
bt<
/p>
，
y
y
0
at
也是方程①
的解．
设
x
,
y<
/p>
是方程①的任一整数解，则有
ax
by
c
③
③
②得
a
(
< br>x
x
0
)
b
(
y
y
0
)
④
由于
(
a
,
b
)
1
，所以
a
y
y
0
，即
y
y
0
at
，其中
t
是整数．将
y
y
0
at
代入④，即得
x
x
0
bt
．
因此
x
,
y
可以表示成
x
x
0
bt
< br>，
y
y
0
at
的形式，
< br>所以
x
x
0
bt
，
y
y
0
at
表示方程①的一切整数解，命题得证．
有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解
.
例
1
求
< br>11
x
15
< br>y
7
的整数解．
解法
1
将方程变形得
因为
x
是整数，所以
7
15
y
应是
1
1
的倍数．由观察得
x
0
2,
y
0
1
是这个方程的一
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组整数解，所以方程的解为
解法
2
先考
察
11
x
1
5
y
1
，通
过观察易得
11
< br>(
4)
15
3
1
，
所以
11
(
4
7)
15
(3
7)
7
，
可取
x
0
28,
y
0
21
，从而
可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数
组整数解，由于
求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的
全部解是
一样的．将解中的参数
t
做适
当代换，就可化为同一形式．
例
2<
/p>
求方程
6
x
<
/p>
22
y
90<
/p>
的非负整数解．
解
因为
(6,22)
2
，所以方程两边同除以
2
得
3
x
1
1
y
45
①
由观察
知，
x
1
4
,
y
1
<
/p>
1
是方程
3<
/p>
x
11
y
1
②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
由定理，可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
180
11
t
0
③
< br>
45
3
t
0
由于
t
是整数，由③得
15
t
16
< br>，所以只有
t
15,
t
16
两种可能．<
/p>
当
t
15,
x
15,
y
0
；当
t
16,
x
4,
y
3
．所以原方程
的非负整数解是
x
15
x
< br>
4
，
y
3
y
0
例
3
求方程
7
x
19
y
213
的所有正整数解．
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分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我
们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．
解用方程
7
x
19<
/p>
y
213
①<
/p>
的最小系
数
7
除方程①的各项，并移项得
213
19
y<
/p>
3
5
y
②
30
2
y
7
7
3
< br>5
y
因为
x
,
y
是整数，故
u
也是整数，于是
5
y
7
u
3
．化简得到
7
x
5
y
7
u
3
③
令
v
3
2
u
（整
数）
，由此得
5
2
u
5
v
3
④
由观察知
u
<
/p>
1
u
1
是方程④的一组解．
将
代入③得
y
< br>
2
，
再将
y
2
代入②得
< br>
v
1
v
1
x
0
25<
/p>
x
25
19
t
t
为整数
，所以它的一切解为
x
25
< br>．于是方程①有一组解
y
<
/p>
2
y
2
7
t
0
由于要求方程的正整数解，所以
解不等式，得
t
只能取
0,1
．因此得原方程的正整数解为
x
25
x
6
，
y
2
y
9
当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相
除法求其特解，其解法结合例题说
明．
例
4
求方程
37
x
<
/p>
107
y
25
的整数解．
解
为用
37
和
107
表示
1
，我们把上述辗转相除过程回代
，得
由
此可知
x
1
26,
y
1
9
是方程
37
x
107
y
1
的一组整数解．于是
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