精选初中不定方程、方程组练习题
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初中数学竞赛专题讲座
不定方程、方程组
不定方程、方程组
所谓天才人物指的
就是具有毅力的人、
勤奋的人、
入迷的人和忘
< br>我的人．
——————木村六一
【知识纵横】
不定方程（组）是指未
知数的个数多于方程的个数的方程（组）
，其特点是解往往有无
穷多个，不能惟一确定．
对于不定方程
（组）
，
我们往往限定只求整数解，
甚至只求正整数解，
加上条件限制后，
解就可确定．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常
转化为二元
一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：
设
a
、
b
、
c
、
d
为整数，则不定方程
ax
by
c
有如下两个重要命题：<
/p>
（
1
）
若
(
a
,
b
)
d
，且
d
不能被
c
整除，则不定方程
ax
by
c
没有整数解；
（
2
）
若
x
0
,
y
0
是
方
程
ax
by
c
且
(
< br>a
,
b
)
1
的
一
组
整
数
解
（
称
特
解
）
，
则
x
x
0
< br>bt
(
t
为整数）是方程的全部
整数解（称通解）
．
y
y
< br>at
0
解不定方程（组）
，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进
行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、
因
数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等．
【例题求解】
例
1
（
1
）正整数
m<
/p>
,
n
满足
8
m
9
n
mn
6
，则
m
的最大值为
___
__________
．
（
2
）小纪念册每本
5
元
，大纪念册每本
7
元．小明买这两种纪念册花了
142
元，则两
种纪念册最少共买
_______________
本．
例
2
如图，
在高速公路上从
3
< br>千米处开始，
每隔
4
千米设一个
速度限制标志，
而且从
10
千
米处开始，
每隔
9
千米
设一个测速照相标志，
则刚好在
19
千
米处同时设置这两种标志．
问
下一个同时设置这两种标志的地点
的千米数是（
）
．
例
3
（
1
）求方程
15
x
52
y
<
/p>
6
的所有整数解．
（
2
）求不定方程
5
x
7
y
97
8
的正整数解的组数．
1
1
1
5
（
3
）求方
程
的正
整数解．
x
y
z
6
例
4
一个盒
子里装有不多于
200
粒棋子，如果每次
2
粒，
3
粒，
4
粒或
6
粒地取出，最终盒
内都剩一粒棋子；如果每次
11
粒地取出，那么
正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？
例
5
中国百
鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问
鸡翁、鸡
母、鸡雏各几何？
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