不定方程(初二)及答案
-
不
定
方
程
< br>(
初
二
)
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-
YICAI)_JINGBIAN
及
答
2010
年
2
月希望杯数学冬令营上
课材料初二
不定方程
一、赛点分析
1
、两个变量的不定方程
ax
by
c
，其中
a
,
b
,
c
为整数，且
a
,
b
都不为
0
，则有
以下性质：
（
1
< br>）不定方程有整数解的充要条件是
(
a
< br>,
b
)
|
c
；
b
x
x
t
0
(
a
,
b
)
（
2
）设不定方程有整数
解
(
x
0
,<
/p>
y
0
)
，则所有
整数解有：
（
t
为
a
y
y
t
0<
/p>
(
a
,
b
)
整数）。
2
、解不定方程（组）需要依据方程（组
）的特点进行恰当的变形，并灵活运用
一下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、整系
数分离法、因式分解、配
方利用非负数性质、乘法公式、不等分析等。
< br>
二、例题精讲
例
1
、求方程
4
x
5
y
21
的整数解。
解：设<
/p>
x
、
y
是已知方
程的整数解，由
x,y
之中较小的系数
4
去除各项得
x
把
21
5
y
，
4
4
21
54
1
y
和
中的整数分离出来，得
x
5
y
，
< br>4
4
4
1
y
1
y
因为
5
y<
/p>
和
x
都是整数，则
也是整数，设
k
，
k
为整数，则
4
4
y
1
4
k
，把
y
< br>
1
4
k
代入已知方程得
x
5
(1
4
k
)
k
4
5
k
。
<
/p>
x
4
5
k
所以
（
k
为整数）是方程的整数解，
y
1
4
k
并且当
k
取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。
变式
1
、求方程
7
x
4
y
100
的正整数解。
x<
/p>
4
4
t
x
4
解：通过观察得方程的一个特解：
，∴方程的通解是
（
t
为
y
18
7
t
y
18
整数），
2
4
4
t
1
3
17
∵
x
、
y
为正整数，∴
，∴
t
，
4
7
18
7
t
< br>
1
∵
t
为整数，∴
t
0
< br>，
1
或
2
，将它们分别代入通解，
x
4
x
8
x
12
得原方程的正整数解为：
，
，
。
y
<
/p>
18
y
11<
/p>
y
4
变式
2
：求方程
7
x
19
y
213
的所有正整数解。
x
25
x
25
19
t
解：方程的一个特解：
，方程的特解是
（
t
为整数），
y
2
y
2
7
t
<
/p>
25
19
t
0
25
2
∵
x
、
y
为正整数，∴
<
/p>
，∴
t
，
19
7
2
7
t
0
x
25
< br>
x
6
∴
t
1
或
0
，∴原方程的正整数解为
，
。
y
< br>2
y
9
例
2
、（
2005
年希望杯）小纪念册每本
5
元
，大纪念册每本
7
元。小明买这两
种纪
念册
共花了
142
< br>元，问两种纪念册最少共买了多少本？
解：设小明买了
x
本小纪念册，
y
本大纪念册，则有
5
x
7
y
142
，
再设
x
y
a
，∴
5
a
< br>2
y
142
< br>，
a
142
< br>
2
y
5
∵
a
是正整数，
< br>y
的值越大，
a
的值越小，
0
y
20
，
∴依次取
y
=
20
，
19
，
18
，
17
代入
a
142
2
y
试算，
a
都不是正整数。
5
当
y
16
时，
a
22
，所以两种纪念册最少共买了
2
2
本。
变式
1
：小燕付出了
14.85
元买了
A
、
B
两种卡片，
A
卡片的单价是
2.16
元，
B
卡片的单价
是
4.23
元。问小燕共买了多少张卡片？<
/p>
解：设小燕买了
A
、
B
两种卡片的张数分别为
x
、
y
，则
2.16
x
4.23
y
14.85
，
∴
24
x
47
y
165
，可知：
y
是奇数，
y
是
3
的倍数；
3
∴当
y
3
时，
x
1
；当
y
9
时，显然不合题意；
∴小燕共买了
4
张卡片
.
例
3
、（中国百鸡问题）
鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱
一。百钱买百鸡，
问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
解：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为
x
、
y
、
z
，则有：
< br>
x
y
z
1
00
，消去
z
得：
7
x
4
y
100
，
z
5<
/p>
x
3
y
100
3
x
4
t
显然
x
0
< br>，
y
25
是方程的一个特解，∴通解为
（
t
为整数），
y
25
7
t
于是有
z
100
x
y
100
4
t
(
25
7
t
)
75
3<
/p>
t
，由
x
,
y
,
z
0
，
4
t
< br>0
即
25
7
t
0
，且
t
为
整数可得
t
0
，
1
，
2
，
3
，将
t
的值代入通解
75
3
t
0
得：
（
x
,
y
,
z
）
=
（
0
，
25
，
75
），（
4
，
18
，
78
），（
8
，
11
，
81
），（
12
，
4
，
84
）。
变式
1
：旅游团一行
50
人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人
间三种，其中三人间的每人每天
20
元，二人间的每人每天
30
元，单人间
的每天
50
元，如果旅行团共住满了
20
间客房，问三种客房各住几间怎
样
消费最低
解：三人间、二人间、单人间分别为
x
、
y
、
z
间，则有
< br>
4
x
y
z
20
x
10
z
，得
，这
里
x
、
y
、<
/p>
z
都是非负数，
3
x
2
y
z
50
y
10
2
z
由于
y
10
2
z
0
，∴
0
z
5
，∴
z
只能取
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5.
∴（
x
,
y
,
z
）
=
（
10
，
10
，
0<
/p>
），（
11
，
8
，
1
），（
1
2
，
6
，
2<
/p>
），
（
13<
/p>
，
4
，
3
），（
14
，
2
，
4
），（
15<
/p>
，
0
，
5
）。
∵
50
人住宿的总消费为
W
60
x
60
y
50
z
1200
10
z
，
∴当
z
5
时，即（
x
,
y
,
z
）
=
（
15
，
0
，
5
），总消费最低。
变式
< br>2
、（
2003
年全国初中数学
竞赛题）若
4
x
3
y
6
z
0
，
x<
/p>
2
y
7
z
0
（
xyz
0
），
5
x
2
2
y
< br>2
z
2
则代数式
2
的值等于（
）
2
x
3
y<
/p>
2
10
z
2
1
19
A
、
B
、
C
、
15
D
、
13
2
2
4
x
3
y
6
z
0
x
< br>3
z
45
z
2
8
z
2
z
2
<
/p>
13
，
解：∵
，∴
，代
入得：原式
=
2
2
2
18
z
12
z
10
z
x
2
y
7
z
0
y
2
z
选
D
。
例
< br>4
、求方程
x
2
y
2
105
的正整数解。
解：∵
x
2
y
2
105
，∴
(
x
y
)(
x
y
)
3
< br>5
7
，
∵
x
、
y
都是正整数，
x
y
，∴
x
y
x
y
，
x
y
105
x
y
35
x
y
21
x
y
< br>
13
∴
，
，
，
，
<
/p>
x
y
1
x
y
3
x
y
5
x
y
7
x<
/p>
53
x
19
x
13
x
11
∴
，
，
，
。
y
52
y
16
y
8
<
/p>
y
4
变式
1
、方程
x
2
y
2
1991
的整数解的个数是（
）
A
、
0
B
、
1
C
、
8
D
、无穷
5
x
y
1
x
y
1991
C
∵
(
x
y
)(
x
y
)
11
181
，∴
，
，
x
y
1991
x
y
1
< br>x
y
1
x
y
199
1
x
y<
/p>
11
x
y
181
，
，
，
，
x
y
< br>
1991
x
y
1
x
y
181
x
y
<
/p>
11
x
y
11
x
y
181
，
，
x
y
181
x
y
11
这
8
个
方程组的解均为整数，∴原方程的整数解的个数为
8
。
1
1
2
变式
2
、设
p
是大于
2
的质数且
x
y
，求方程
的正整数解。
x
y
p
1
1<
/p>
2
解：∵
<
/p>
，∴
2
xy
<
/p>
px
py
，∴
2
xy
px
py
0<
/p>
，∴
x
y
p
4
xy
2
px
2
py
p
2
p
2
∴
(2
x
p
)(2
y
p
)
p
< br>2
，∵
p
是大于
2
的质数且
x
y
，
p
1
p
2
p
x
x
<
/p>
2
x
p
1
2
x
p
p
2
2
2
∴
，
，∴
，
。
2
2
2
y
p
p
2
< br>y
p
1
y
p
1
y
p
p
2
2
变式
3
、有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前
面的两位
数末尾添一个
0
，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于
原来的四位数，又知道原数的个位数字是
5
，求这个四位数。
解：设四位数分成的前后两位数分别为
a
、
b
，则<
/p>
10
a
ab<
/p>
100
a
<
/p>
b
，
∴
(
a
1)(
b
90)
90
，∵
a
0
，∴
b
90
0
，
∵
b
是两位数，且个位
数字是
5
，∴
b
95
，则
a
1
18
，∴
a
19
。
故所求的四位数是
1995.
6