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2021年2月13日发(作者：新虎口脱险)

不定方程讲义

讲义编号

LTJYsxsrl005

学员编号：

LTJY001

年

级：六年级

课时数：

学员姓名

:

辅导科目：数学

学科教师：

学科组长签名及日期

课

题

授课时间：

教学目标

重点、难点

考点及考试要求

【写在前面】

不定方程（组）是数论中的一个重要课题

.

< br>对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，

加上条件限制 后，解就可确定

.

有时还可以解决计数、求最值等方面的问题< /p>

.

二元一次不定方程是最简单的不定方程，

一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决

.

【本讲重点】

求一次不定方程（组）的整数解

【知识梳理】

不定方程（组）是指未 知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定

.

重要定理：

设

a

、

b

、

c

、

d

为整数，则不定方程

ax



by



c

有：

定理

1

若< /p>

(

a

,

b

)



d

,

< p>
且

d

不能整除

c

，则不定方程

ax



b y



c

没有整数解；

< br>



x



x

0



bt

,



(

x

0< /p>

,

y

0

)

y



y

0

< p>


at

ax



< p>
by



c

定理

< p>
2

若

是不定方程

且的一组整数解（称为特解），则



（

t

为整数）是方程的全

教务长签名及日期

一次不定方程（组）的整数解问题

备课时间：

1.

理解不定方程（组）的含义

2.

掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法

重点：不定方程定理的理解

难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用

不定方程（组）是数论中的一个重要课题

教学内容

部整数解（称为通解）

.

（其中

(

a

,

b

)



d

,

且

d

能整除

c

）

.

定理

3

< p>
若

(

x

0

,

y

0

)

是不定方程

ax



by

< p>


1

，

(

a

,

b

)



1

的特解，则

(

cx

0

,

cy

0

)

是方程

ax



by



c

的一个特解

.

（其

中

(

a

,

b

< p>
)



d

,

且

d

能整除

c

）

.

求整系数不定方程

ax



by



c< /p>

的正整数解，通常有以下步骤：

（

1

）

判断有无整数解；

（

2

）

求出一个特解；

1 / 1

（

3

）

写出通解；

（

4

）

有整数

t

同时要满足的条件（不等式组）， 代入命题（

2

）中的表达式，写出不定方程的正整数解

.

解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知 识和方法：

（

1

）分离整系数法；

（

2< /p>

）穷举法；

（

3

）因式分解法；

（

4

）配方法；

（

5

）整数的整除性；

（

6

）奇偶分析；< /p>

（

7

）不等式分析；

（

8

）乘法公式

.

【学法指导】

【例

< br>1

】

求下列不定方程的整数解（

1

）

2

x

< /p>

6

y



8

；

（

< p>
2

）

5

x



10

y



< br>13

.

【分析】

根据定理

1

、定理

2

确定方程的整数解

.



x



1

,



x



3

y< /p>



4

【解答】

（

1

）原方程变形为：

，

观察得到



y

< p>


1

是

x



3

y



4

的一组整数解（特解），

< /p>

x



1



3

t

,

(

< p>
t

是整数

)



< p>
y



1



t

根据定理

2

，

< p>


是原方程的所有整数解

.

（

2

）∵（

5

，

10

）

=5

，但

5

不能整除

13

，

∴根据定理

1

，原方程的无整数解

.

【点评】

先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解

.

求出的特解不同，同一个不定方

程的解的形式可以不同，但它们 所包含的全部解是一样的

.

【实践】

求下列不定方程的整数解（

1

）

7

x



14

y



211

；

（

2

）

5

x



14

y



11

.

【例

2< /p>

】

求方程

7

x< /p>



19

y



213

的所有正整数解

.

< br>

【分析】

此方程的系数较大，不易用观察法得出特解< /p>

.

根据方程用

y

来表示

x

,

再将含

y

的代数式分离出整系数部分，

然后对分数系数部分进行讨论，赋予

y

不同的整数，寻找一个使 分数系数部分成为正整数的

y

0

，然后 再求

x

0

，写出通

解，再解不等式组确定方程的正整数解

.

【解答】

∵（

7

，

19

）

=1

，根据定理

2

，原方程有整数解

.

由原方程可得

x



213



19

y

210< /p>



14

y



3



5

y

3



5

y





30



2

y



7

7

7

，

由此可观察出一组特解为

x

0

=25

，

y

0

=2.



x



25



19

t

,

(

t

是整数

)



y



< p>
2



7

t

∴方程的通解为



.

1 / 1

25



t





,

< /p>



19



25< /p>



19

t



0

,



2

25

2



t

< p>








t





7

∴

t





1

,

0

其中



2

< /p>

7

t



0

∴



7

∴

19



x< /p>



6

,



代入通解可得原方程的正整数解为



y



9

.



< p>
x



25

,

或





y

< br>

2

.

【点评】

根据定理

2

解这类方程，若 未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未

知数，再 利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法

.

这样就容易找出一组整数解来

.

【实 践】

求方程

31



47

y



265

< br>的正整数解

.

【例

3< /p>

】

大客车能容纳

54

人，小客车能容纳

36

人，现有

3 78

人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能

上车 且各车都正好坐满

.

【分析】

本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可

.

【解答】

设需要大客车

x

辆，小客车

y

辆，根据题意可列方程

54

x



36

y



378

，即

3

x



2

y



21

< br>.



x



1



2

t

,



x



1

,

(

t

是整 数

)





y< /p>



9



9

t

y



9

< p>
又（

3

，

2

）

=1

，根据定理

2

，原方程有整数解

.

易知

< br>

是一个特解，通解为





1



2

t



0

,



x



1

< br>,



x



3

,



x



5

,



x



7

,











9



9

t

< br>

0

y



9

.

y



6

.

y



3

.

t



0

,

1

,

2

,

3

.



< br>







y



0

.

由题意可知

解得

相应地

答：需要大客

1

车辆，小客车

9

辆；或需要大客车

3

辆，小客车

6

辆；或需要大客车

5

辆， 小客车

3

辆；也

可以只要大客车

7

辆，不要小客车

.

【点评】

一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解

.

【实践】

某次考试共需做

20

道小题，对

1

道得

8< /p>

分，错一道扣

5

分，不做不得分

.

某生共得

13

分，他 没做的题目有几

道？

【例< /p>

4

】

某人的生日月份数乘以

31

，生日的日期数乘以

12

，相加后得

347

，求此人的生日

.

【分析】

本题的隐含条件是：月份的取值

[1

，

12]

，日期的取值

[1

，

31].

【解答】

设此人生日的月份数为

x ,

日期数

y.

根据题意

可列方程

31x+12y=347.



347



31

x

(mod

< br>12

)

〈方法一〉

〈方法

二〉



11



7

x

(mod

12

)



x



12

t



5

(

t< /p>

是整数

)



x< /p>



5



x



5



12

t

通解：

(

t

是整数

)



1



x



12

< p>


1



12

t



5



< br>12



t



0





y



16

y



1 6



31

t



12

y



34 7



31

x



12

|

(

34 7





特

解

：



x



5

把

x



5

代入原方程得：

y



1 6

1 / 1

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