不定方程和解不定方程应用题经典
-
1
不定方程
———研究其解法
方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许
多题目都可以通过方程来得到答案，
那么自然而然，它的解法就尤为重要了。
然而，
我今
天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，
因为它往往有多
个或无数个解，
他的解
法相对较多较难，以下就是关于不定方程
的一些问题。
一、不定方程是指未
知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法
1
、筛选试验法
根据方程特点，
确定满足方程整数的取值范围，
对此范围内
的整数一一加以试验，
筛去
不合理的值。
如：方程
x
﹢
y
﹢
z =
100
共有几组正整数解？
解：当
x =
1
时
y
﹢
z
= 99
，这时共有
98
个解：
(y
，
z)
为
(1
，
98) (2
，
97)
„„
(98
< br>，
1)
。
当
x =
2
时
y
﹢
z
= 98
，这时共有
97
个解：
(y
，
z)
为
(1
，
97)
(2
，
96)
„„
(97
，
1)
。
„„
当
x
=
9
8
时，
y
﹢
z
= 2
，这时有一个解。
∵
98
﹢
97
﹢
96
﹢„„﹢
1
=
98
99
=
4851
2
∴
方程
x
﹢
y
< br>﹢
z = 100
共有
4851
个正整数解。
2
、表格记数法
如：方程式
4
x
﹢
7 y =55
共有哪些正整数解。
解：
X
y
1
2
3
4
5
5
„„
„„
12
1
51
7
47
7
43
7
39
7
×
×
×
×
√
√
∴
<
/p>
方程
4
x
﹢
7 y =55
的正整数解有
x
= 5
x
= 12
y = 5
y =
1
3
、分离系数法
如：
求
7
x
﹢
2 y
=38
的整数解
解：
y =
3
8
7
X
1<
/p>
=19
-
3
x-
x
2
2
1
2
令
t=
1
x
2
38
7
<
/p>
2
t
=
19-<
/p>
7t
2
x
=2
t
则
y=
2
t
＞
0
19-
7t
＞<
/p>
0
（
t
为整
）
→
2
5
＞
t
＞
0
7
t=2
，
1
当
t=2
时，
x
=2
×
2=4
x
=4
y
=19
-
7
×
2=5
y
=5
当
t=1
时，
x
=2
×<
/p>
1=2
x
=2
y=19
-
7
×<
/p>
1=12
y=12
第四十周
不定方程
专题简析：
当方程的个数比方程中未
知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如
5x
－<
/p>
3y
＝
9
就是不
定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如
果附加一些
限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如
5x
－
3y
＝
9
的解有：
x
＝
2.4
x
＝
2.7
x
＝
3.06
x
＝
3.6
………
y
＝
1
y
＝
1.5
y
＝
2.1
y
＝
3
如果限
定
x
、
y
的解
是小于
5
的整数，那么解就只有
x
＝
3
，
Y
＝
2
这一组了。因此，研究
不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当
变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，
然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，
尽量缩小未知数的取值范围，
减少试验的次数。
对于有
3
个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
< br>解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
例
1
．
求
3x+4y
＝
23
的自然数解。
先将原
方程变形，
y
＝
X
Y
1
5
2
×
23
－
3x
。可列表试验求解：
4
3
×
4
×
5
2
6
×
7
×
所以
方程
3x+4y
＝
23
的自然数解为
X=1
x=5
Y=5
y=2
练习一
1
、
求
3x+2y
＝
25
的自然数解。
2
、
求
4x+5y
＝
37
的自然数解。
3
、
求
5x
－
3y
＝
16
的最小自然数解。
2
3
例
2
求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z
＝
25
3x
－
y
－
6z
＝
2
这是一个三元一
次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方
程组简化成例
1
那样的不定方程。
5x+7y+3z
＝
25
①
3x
－<
/p>
y
－
6z
＝
2
②
由①×
2+
②，得
13x+13y
＝
52
X+y
＝
4
③
把③式
变形，得
y
＝
4
－
x
。
因
为
x
、
y
、<
/p>
z
都是正整数，所以
x
< br>只能取
1
、
2
< br>、
3.
当
x
＝
1
时，
y
＝
3
当
x
＝
2
时，
y
＝
2
当
x
＝
3
时，
y
＝
1
把上面的结果再分别代入①或②，得
x
＝
1
，
y<
/p>
＝
3
时，
z
无正整数解。
x
＝
2
，
y
＝
2
时，
z
也无正整数解。
x
＝
3
时，
y
＝
1
时，
z
＝
1.
所以，原方程组的正整数解为
x
＝
1
y
＝
1
z
＝
1
练习
2
求下面方程组的自然数解。
1
、
4x+
3y
－
2z
＝
7
2
、
7x+9y+11z
＝
68
3x+2y+4z
＝
21
5x+7y+9z
＝
52
4
、
5x+7y+4z
＝
26
3x
－
y<
/p>
－
6z
＝
2
例
3
一个商人将弹子放进两种盒子里，
每个大盒子装
12
个，每个小盒子装
5
个，恰好装完。
如果弹子数为
99
，盒子数大于
9
，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，
所以要根据题意列出不定方程，<
/p>
再求出它的自然数解。
设大盒子有
x
个，小盒子有
y
个，则
12x+5y
＝
99
（
x
＞
0
，
y
＞
0
，
x+y
＞
9
）
y
＝（
99
－
12y
）÷
5
经检验，符合条件的解有：
x
＝
2
x
＝
7
y
＝
15
y
＝
3
所以，大盒子有
< br>2
个，小盒子有
15
个，或大盒
子有
7
个，小盒子有
3
个。
练习
3.
1
、
某校<
/p>
6
（
1
）班学生
48
人到公园划船。如果每只小船可坐
3
人，每只大船可坐
5
人。那
么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
3
4
2
、
甲级铅
笔
7
角钱一枝，乙级铅笔
3
角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔
共几枝？
3
、
< br>小华和小强各用
6
角
4
分买了若干枝铅笔，
他们买来的铅笔中都是
5<
/p>
分一枝和
7
分一枝
的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
例题
4
买
三种水果
30
千克，共用去
80
元。其中苹果每千克
4
元，橘子每千克
3
元，梨每千
克
2<
/p>
元。问三种水果各买了多少千克？
设苹
果买了
x
千克，橘子买了
y
千克，梨买了（
30
－
x
－
y
）千克。根据题意得：
4x+3y+2
×（
30
< br>－
x
－
y
）＝
82
y
x
＝
10
－
2
由式子可知：
y<20
，则
y
必须是
2
< br>的倍数，所以
y
可取
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
。因此，原方程的解如下表：
苹果
橘子
梨
9
2
19
8
4
18
7
6
17
6
8
16
5
10
15
4
12
14
3
14
13
2
16
12
1
18
11
练习
4
1
、
有红、
黄、蓝三种颜色的皮球共
26
只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的
9
倍，蓝皮球有
多少只？
2
、
< br>用
10
元钱买
25
枝笔。已知毛笔每枝
2
角，彩色笔每枝
4
角，钢笔每枝
9
角。问每
种笔
各买几枝？（每种都要买）
3
、
晓敏在
文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张
8
分，荧光纸每张
1
角，高级纸每张
2
角
。
她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
例
5
某次数
学竞赛准备例
2
枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生
。原计划一等奖
每人发
6
枝，二等奖每
人发
3
枝，三等奖每人发
2
枝。后又改为一等奖每人发
9
枝，二等奖
每人发
4
枝，三等奖每人发
1
枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？
设一等
奖有
x
人，二等奖有
y
人，三等奖有
z
人。则
6x+3y+2z
＝
22
①
9x+4y+z
＝
22
②
由②×
2
－①，得
12x+5y
＝
22
y
＝<
/p>
22
－
12x
x
＝
1 <
/p>
5
x
只能取
1<
/p>
。
Y
＝
2
，代入①得
z
＝
5<
/p>
，原方程的解为
y
＝
2
z
＝
5
所以
，一等奖的学生有
1
人，二等奖的学生有
2
人，三等奖的学生有
5
人。
练习
5
1
、
某人打
靶，
8
发打了
53
环，全部命中在
10
环、
7
环和
5
环。他命中
1
0
环、
7
环和
5
环
各几发？
2
、
篮子里
有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋
30
个，价值
2
4
元。已知煮蛋每个
0.60
元，茶叶
蛋每个
1
元，皮蛋每个
1.20
元。问篮子里最多有几个皮蛋？
4
5
1
1
1
3
、
一头猪卖
3
个银币，一头山羊卖
1
个银币，一头绵羊买
个银币。有人用
100
个银
2
3
2
币卖了这三种牲畜
100
头。问猪、山羊、绵羊各几头？
答案：
练
1
1
、
x
＝
1
x
＝
3
x
＝
5
x
＝
7
y
＝
11
y
＝
8
y
＝
5
y
＝
2
2
、
x
＝
3
x
＝
8
y
＝
11
y
＝
1
4
、
x
＝
5
y
＝
3
练
2
1
、
x
＝
1
y
＝
3
z
＝
3
2
、
x
＝
3
x
＝
4
y
＝
4
y
＝
2
z
＝
1
z
＝
2
3
、
x
＝
3
y
＝
1
z
＝
1
练
3
1
、
设需要
小船
x
只，大船
y
只。则
3x+5y
＝
48
，
y
＝
方程的解是
x
＝
1
x
＝
6
x
＝
11
y
＝
9
y
＝
6
y
＝
3
2
、
设买甲
级笔
x
枝，乙级笔
y
< br>枝，则
7x+3y
＝
60
，
y
＝
60
－
7x
。
x
≢
3
48
－
3x
根据题意，
x
可
取
1
、
6
、<
/p>
11
，
5
不定方程
方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）
。
它的解是不定的。
如果没有给定不定方程的
某种限制条件，
那么它就有无限多个解。
本讲中
所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范围内，
它可能
有解，
也可
能无解，如果有解，也只能是有限个解。但是，限制
的条件，有时很隐蔽，需要我们去认真
思考。
例
1
工程队
要铺
78
米长的地下排水管道，仓库中有
3
米和
5
米长的两种管子，问两种管
子
各用多少根？
5
6
例
2
在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共
46
只脚，求蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
例
3
将
601
个球分别装在大小两种包装盒里，
大
盒每盒装
5
个，
小盒每盒装
3
个。
求使用的
包装盒的
个数有多少种不同的安排方法？
例
4
将
426
个乒乓球装在三种盒子里。大盒每
盒装
25
个，中盒每盒装
20
个，小盒每盒装
16
个。现共装了
24
盒，求用了多少个大盒？
【例<
/p>
5
】小李同学把他出生的月份乘以３１，再把出生日期乘以１２，
把他们加起来是１７
０，试求小李生日是哪一天？
说明：通过以上例题说明，小学生解不定方程，应该紧紧结合题意及数字特征，灵活
运用学习过的知识来确定解的限制范围。
【例
6
】一个两位数，各位数字和的
5
倍比原数大
10
，求这个两位数。
6
7
【例７
】
小明准备到商店买２角钱一支的铅笔和９角钱一支的圆珠笔，
两种笔都要买，
并且
刚好花了４元钱，问小明铅笔与圆珠笔各买
了几支？
例
8
有三张扑克牌，
牌的数字互不相同，
并且都在
10
以内
.
把三张牌洗好后，
分别发给甲、
乙、
丙三人
.
每人记下自己牌的数字，
再重新洗牌、
发牌、
记数
< br>.
这样反复几次后，三人各自记录
的数字和分别为
13
、
15
、
23.
请问这三张牌的数字是什么？
例
9
采购员
用一张
1
万元支票去购物
.
购单价
590
元的
A
种物若干，又买单价
670
元的
B
种物若
干，其中
B
种个数多于
A
种个数，找回了几张
100
元和几张
10
元
的（
10
元的不超过
9
张）
.
如
把购
A
种物品和
B
种物品的个数互
换，找回的
100
元和
10
元的钞票张数也恰好相反
.
问购
< br>A
物几个，
B
物几个？
例
10
王虎用
100
元买油菜籽、西红柿种子
和萝卜籽共
100
包
.
油菜籽每包
3
元，西红柿种子每
包
4
元，萝卜籽
1
< br>元钱
7
包，问他每种各买了多少包？
7
8
练习：
1.<
/p>
小明问小强：
“你养了几只兔和鸡？”小强说：
< br>“我养的兔比鸡多，鸡兔共
24
条腿，你猜猜
我养了几只兔和鸡？”
2.
李明带
6
元钱到花店买花
.
如果月季花
1
元钱一盆，
茉莉花
8
角钱一盆，
要把
6
< br>元钱刚好用完
.
问能买月季花和茉莉花各多少盆？
3.<
/p>
甲种铅笔
7
分钱一支，
< br>乙种铅笔
3
分钱一支，
张明用<
/p>
6
角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？
4.<
/p>
李大伯下山去小商店买东西
.
下午
1
时离开家，
先走了一段山路，
来到山脚下，
又走了一段
平路，到了小商店
.
半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午
3
时半到家
.
已知平地每小时
走
4
千米，
上山每小时走
3
千米，
下山每小时走
6
千米
.
请问：
李大伯去商店买东西走了多少千
米的路？
5.
大汽车能容纳
54
人，小汽车能容纳
36
人，现有
3
78
人，问大、小汽车各要几辆才能使每个
人都上车且每个车上
无空座？
8
9
6
、有一
个两位数，加上
36
以后，十位上的数字与个位上的数字的位置
正好交换，求这个两
位数。
7
、甲乙两家养鸡
106
只，甲家养的鸡
中，公鸡占
共养母鸡多少只？
8
、学校
将
70
人分成
12
个小组，有
8
人一组的，有
7
人一组的，有
5
人一组的。求
8
人一
组的共有多少组？
答案
:
分析
例
1
、
问
3
米和
5
米长的管子各用多少根，
设
3
米长的管子用
X
根，
那
5
米长的管子用的根
数呢，如果用共
78
米这个条件表示出
5
米长的管子的根数，列方程时则没有其他等量关系
了，只能
设其为
Y
根，列出一个含两个未知数的方程，即不定方程。
解：设
3
米长的
管子用
X
根，
5
米长的管子用
Y
根。
3X+5Y=78
3X=78-5Y
X=
（
78
-5Y
）÷
3
3
5
；乙家养的鸡中，母鸡占
。甲乙两家
8
11
78
－
5
Y
3
X=
根据
题意，
X
一定是一个整数，且不等于
0
。
X
是整数，
78-5Y
的值一定是
3
的倍数，
78
已
经是
3
的倍数，则
5Y
的值也一定是
3
的倍数，那么
Y=3
、<
/p>
6
、
9
、
12
、
15
，当
Y=18
时，
5Y
的值大于
78
，一符合题意。所以
Y<
/p>
可能是
3
、
6<
/p>
、
9
、
12
、
15
这五种可能，相应的
X
也有五
9
10
种可能，从而得出原方程有下面五组解。
X=21
X=16
X=11
X=6
X=1
Y=3
Y=6
Y=9
Y=12
Y=15
在本例中，只列一个方程，却包含
两个未知数，结果也不唯一，这样的方程就是不定方程。
在解不定方程时，
可将方程变形为用代数式表示出其中一个未知数，
再根据题意及数字特点
讨论其可能的解。
例
2
解：设蟋蟀有
X
只，蜘蛛
Y
只
6X
＋
8Y=46
6X=46
－
8Y
< br>46
－
8
Y
6
X=
46
－
8
Y
6
是一个整数，则
46
－
8Y
的值是
6
的倍数。因为
46
÷
6
余
4,
所以
X
、
Y
均为整数，
8Y
÷
6
也应该余
4,
那么
8
×几÷
6
< br>余
4
呢
?
可以是
2
、
5
。
如果再大些则
46>8Y
，
不符合题意。
解得
:
答：蟋蟀有
5
只，蜘蛛
2
只；或者蟋蟀有
1
只，蜘蛛
5
只。
例
3
解：设
大盒用
X
个，小盒用
Y
个，根据题意列方程
5X+3Y=601
5X=601
—
3Y
601
－
3
Y
5
X=
601
－
3
Y
5
< br>X
、
Y
均为整数，
是一个整数，则
601
—
3
Y
的值是
5
的倍数。
< br>601
除以
5
余
1
，
3Y
除以
5
也应该余
1
，则
Y=2
、
7
、
12
、„、
197
，
Y
的值是一个首项是
2
，公差是
5
的等差数
列，都有一个
与之相对应的
X
值。共有
40
种不同的安排方法。
说明：本题中讨论
Y
的取值，实质是从同余的角度来理解，若用同余的知识来讨论会更快
捷一些，有
兴的同学可以试一试。
例
4
、分析
题目中大、中、小三种盒子，根据共装
24
盒，可设
X
个大盒，
Y
个中盒，小
盒个数用代数式
24-X-Y
来表示。再根据共有
426
< br>个乒乓球这个等量关系列方程。
解：
设用
X
个大盒，
Y
个中盒，那么用小盒
24-X-Y
个。列方程有
25X+20Y+16
（
24-X-Y
）
=426
化简整理，得
9X+4Y=42
由方程
9X+4Y=42
可知，
X
＜
5
。
42
是偶数，
4Y
的值也是偶数，则
9X
的值也应该是偶数，
那么
X
也一定是偶数。
解得
10
11
答：
用了
2
个大盒。
例
5
、二月
9
日
例
6
、
25
例
7
、
x=11
y=2
x=2
y=4
例
8
、
六年级奥数：不定方程（一）
年级
班
姓名
得分
一、填空题
1.
已知
1999
×△
+4<
/p>
×□
=9991,
其中△
,
□是自然数
,
那么□
= .
2.<
/p>
数学测试卷有
20
道题
< br>.
做对一道得
7
分
;
做错一道扣
4
分
;
不答得
0
分
.
张
红得了
100
分
,
她有
道题没答
.
3.
x
是自然数
,
x
810
0
.
a
< br>2
5
,
字母
a
表示一个数字
,
x
是
.
4.
不定方程
12
x
21
y
17
的整数解是
.
5.
某青年
1997
年的年龄等于出生年份各数字的和
,
那么
,
他的出生年份
是
.
28
7
6.
如果在分数
的分
子分母上分别加上自然数
a
、
b
,
所得结果是
,
那么
43
12
a+b
的最小值等于
.
7.40
只脚的蜈蚣与
3
个头的龙同
在一个笼子中
,
共有
26
个头和
298
只脚
,
若
40
只脚的蜈蚣有
1
个头
,
那么
3
个头的龙有
只脚
.
8
.
甲、乙两个小队的同学去植树
.
甲小
队一人植树
6
棵
,
其余每人都植树
13
棵
;
乙小队有一人植树
5
棵
,
其余每人都植树
10
棵
.
已知两小队植树棵数相等
,
且
每小时植树的棵数大于
100
而不
超过
200,
那么甲、乙两小队共有
人
.
9.
小明用
5
天时间看完了一本
200
页的故事书
.
已知
第二天看的页数比第一
天多
,
第三天看
的页数是第一、
二两天看的页数之和
,
第四天看的页数是第二、
三
两天看的页数之和
< br>,
第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和
.
那么
,
小明第
五天至
少看了
11
12
页
.
10.
一群猴子采摘水蜜挑
.
猴王不在的时候
,
一
个大猴子一小时可采摘
15
公
1
斤
,
一个小猴子一小时可采
< br>11
公斤
;
猴王在场监督的时候
,
大猴子的
和小猴子
< br>5
1
的
必须停止采摘
,
去伺侯猴王
.
有一天<
/p>
,
采摘了
8
小时
,
其中只有第一小时和最
5
后一小时有猴王在场监督
,
结果共采摘
3382
公斤水密桃
,
那
么在这个猴群中
,
大
猴子共有
个
.
二、解答题
11.
今有公鸡每只五个钱
,
母鸡每只三个钱
,
小鸡每个钱三只
.
用
100
个钱买
100
< br>只鸡
,
问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只
?
12.
某地收取电费的
标准是
:
每月用电不超过
50
度
,
每度收
5
角
;
如果超过
50
度
,
超出部分按每度
8
角收费
.
某月甲用户比乙用户多交
3
元
3
角电费
,
这个月甲、
乙各用了多少度电
?
13.
哲洙替
爸爸买了
50
张圣诞节卡片
.
他先到“甲”文具店去买了几张每张
500
分钱
的卡片
,
剩余的卡片到“乙”文具店去买了
.
“乙”文具店的一张卡价格
是以每百分为单位
,
且小于
2000
分
.
哲洙买了
50
张
卡片共花了
30400
分
.
请你写
出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形
< br>.
14.
现有两小堆小石头
,
如果从第一堆中取出
100
块放进第二堆
,
那么第二堆
比第一堆多一倍
,
相反
,
如果从第二堆中取出一些放进第一堆
,
那么第一
堆比第二
堆多五倍
.
问第一堆中可能的
最少石头块数等于多少
?
并在这种情况下求出第二
堆的石头块数
.
———————————————答
案——————————————————————
1. 1998.
提示
:
△是小于
4
的奇数
,
检验△
=1
或
3
两种情况即可
.
2. 1.
设张红做对
x
道题
,
做错
y
道题
,
依题意得
:
7
x
4
y
100
①
所以
x
100
4
y
100
2
≣
14
.
7
7
7
12
13
又
x
+
y
≢
20
②
所以
x
≢
20-
y
≢
20,
2
故
14
≢
x
≢
2
0.
7
又
4|4
y
,4|100,
由①知
4|7
x
,
又
4
与
7
互质
,
所以
4|
x
,
故
x=
16
或
20.
当
x=
20
时
,
由①得
y=
10,
与②产生矛盾
.
因此
x=<
/p>
16,
代入①得
y=
3.
张红共有
20-
x
-
y=
1(
道
)
题没做
.
3. 750.
x
100
a
25
,
整理得
,
810
999
810
(
100
a
2
5
)
30
2
5
(
4
a<
/p>
1
)
x
.
<
/p>
999
37
因为
x
为自然数
,37
是质数
,
所以
4
a
+1
一定能被
37
整除
,
推知
a
=
9,
因此
x
30
25
750
.
根据题意
,
4.
没有整数解
.
若方程有整数解
,
则
3
12
x
,
3
21
y
,
因此
3
12
x
21
y
,
且
3|17,
产生矛盾
,
因
此
原方程没有整数解
.
5.
1975.
设他出生年份为
19
ab
,
依题意
,
得
:
1997
19
ab
1
9
a
<
/p>
b
整理得
:<
/p>
11
a
2
b
87
87
2
b
所以
a
11<
/p>
3
87
2
9
87
2
b
87
10
10
3
由
0
≢
b
≢
9
得
6
≢
< br>
≢
7
,
即
6
≢
a
≢
7
.
11
11
11
11
11
11
11
故
a
=7,
从而
b
=5,
他出生于
1975
年
.
6. 24.
28
a
7
,
43
b
12
于是可得
12(28+
a
)=7(43+
b
)
即
12
a
+35=7
b
①
显然
,7
|35.
又因
(12,7)=1,
故<
/p>
7|
a
.
由①知
,
b
随
a
增大而增大
,
所以
a
取最小值
7
时
,
b
也取最小值
,
是
17.
所以
,
a
+
b
的最小值是
7+17=24.
依题意
,
有
7. 14.
设有
x
只蜈蚣
,
y
只三头龙
,
每只三头龙有
n
只
脚
,
依题意得方程组
:
x
3
< br>y
26
< br>
40
x
ny
298
< br>①
②
13
14
①×
40-
②
,
得
120
n
y
742
,
即
(
120
n
)
y
2
7
53
③
由于
x<
/p>
和
y
都是正整数
,
从①式得
y
≢
8.
又因为
120
n
120
7
53
,
所以从③式得
y
=7,
120
n
106
,
由此得
n
=
14.
8. 32.
设甲小队
有
x
人
,
乙小
队有
y
人
.
由
两小队植树棵数相等
,
得到
13
x
-7=10
y
-5.
因为上式右端个位数为
5,
所以
< br>13
x
的个位数应是
2,
得到
x
=4,
y<
/p>
=5
是上式的
一组解
,
且
x
每增大
10,
y
就增大
13,
仍是上式的解
.
为使
10
y
-5
在
100
与
200
之间
< br>,
只有
y
=5+13=18,
所以乙小队有
18
人
< br>,
甲小
队有
4+10=14(<
/p>
人
),
共有
18
+14=32(
人
).
9. 84.
设小明第一天看了
a
页
,
第二天看了
b
页
,
则前五天看的页数依次为
:
a
,
b
,
a+b
,
a+
2
b
,
2
a+
3
b<
/p>
.
上面各个数的和是
200,
得到
5<
/p>
a
+7
b
=20
0
.
因为
5
a
与
200
都是
5
的倍数
,
所以
b
是
5
的倍数
.
因为
b
>
a
,
所以上式只有两
组解
:
b
=20,
a
=12;
b
=25,
a
=5.
将这两组解分别代入
2
a
+
3
b
,
得到第五天至少看了
84
页
.
10. 15.
以
5
只大猴子为一组
,
根据题意
,
一组大猴子这天可采摘
1
5
×
38(
千克
).
同
理
,
以
5
只小猴子为一组
,
这天可采摘
11
×
38(
千克
).
设有大猴子
x
组
,
小猴子
y
组
,
则有
15
38
x
11
38
y
3382
,
15
x
11
y
89
.
易知其整数解为
x
=3,
y
=4,
所以有大猴子
5
×
3=15(
只
).
11.
设公鸡、母鸡、小鸡各买
x
,
y
,
z
只
,
由题意列方程组
:
1
①
5
x
3
y
z
100
3
②
x
y
z
100
3
×①
-
②整
理得
7
x
4
y
100
.
又
4|4
y
,4|100,
所以
4|7
x
,
又
(4,7)=1,
所以
4|
x
.
14
15
100
4
y
100
2
≢
14
.
7
7
7
所以
x=
4,8
或
12.
x=
4
时
,
y=
18,
z=
78;
x=
8
时
,
y=
11,
z=
81;
x=
12
时
,
y=
4<
/p>
,
z=
84
.
即可能有三种情况
:4
只公鸡
,18
只母鸡
,78
只
小鸡
;
或
8
只
公鸡
,11
只母
鸡
,81
只小鸡
;12
只公鸡
,4
只母鸡
,84
只
小鸡
.
12.
因为
33
既不是
5
的倍数又不是
8
的倍数
,
所以甲用电超过
50
度
,
乙用电不
足
50
度
.
设甲用电
(50
+x
)
度
,
乙用电
(50-
y
)
度
.
因为甲
比乙多交
33
角电费
,
所以
有
:
8
x+
5
y=
33.
容易看出
x=
1
时
,
y=
5.
推知甲用电
51
度
,
乙用电
45
度
.
又
x
13.
设哲洙在乙文具店买了
x
张卡片
,
花了
y
100
分
.
由共花钱数
可列方程
500
50
x
y
100
x
30400
整理得
x
(
y
5
)
54
因为
x
是小于
50
的
54
的约数
,
则
x
与
y
的关系如下表
:
x
y
-5
1
54
2
27
3
18
6
9
9
6
18
3
27
2
因为乙文具店一张卡片的价格小于
< br>2000
分
,
推知
y
小于
2000
÷
100=20,
即
y
-
5<15,
所以
x
的可能取值是
6,9,18,27.
14.
设第一堆有
x
块石头
,
第二堆有
y
块石头
< br>,
并设
z
为从第二堆取出放进第
一
堆的块数
,
由题意
< br>:
2
(
x
100
)
y
100
①
②
x
z
6
(
y
z
)
由①得
y
2
x
100
.
代入②整理得
11
x
7<
/p>
z
1800
.
1800
7
z
7
(
z
<
/p>
1
)
所以
x
.
<
/p>
163
11
1
1
又
x
,
z<
/p>
自然数
,
所以
1
1|
z+
1,
当
z=
10
时
,
x
有最小值
,
此时
x=
170,
y=
40,<
/p>
即第一堆中最少有
170
块
.
在这种
情况下
,
第二堆
40
块
.
15
16
不定方程
例
1
甲班有
42
名学生，乙班有
48
名学生。已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班
的数学总成绩相
同，
各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于
80
分，
那么甲班的平均成绩
比乙班高
______
分。（
1998
年奥林初赛试题）
分析与解
：设
甲班的平均成绩为
x
分，乙班的平均成绩为
y
分。依题意列方程：
42x=48y
根据甲、乙两班的平均成绩都是整数，平均成绩都高于
80
分，且是百分制，可分别取
y=84
、
91
、
98
尝试可得<
/p>
y
＝
84
，
x
＝
96
。因此，
甲班的平均成绩比乙班高的分数为：
96-84
＝
12
（分）
例
2
一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，
一个大猴子一小时可采摘
15
公斤，
一个小猴子一小
时可采摘
11
< br>公斤；猴王在场监督的时候，大猴子
只有第一小时和最
后一小时有猴王在场监督，结果共采摘
3382
公斤水蜜桃，那
么在这个猴群中，
共有大猴子
_______
< br>个。（
1998
年奥林决赛试题）
分析与解
：设大猴子有
x
个，小猴子有
y
个。依题意列方程：
15x
＋
11y=445
16
17
11y=445-15x
根据大
、小猴子的个数均为整数，且是
5
的倍数，可分别取
x
＝
5
、
10
、
15
、
20
、
25
尝试可得
x=15
，
y
＝
20
。因此，在这个猴群中，共有大猴子
15
个。
练一练：
和的最小值是。（
1991
年奥林初赛试题）
【教学内容】
求二元一次方程与多元一次方程组的整数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题。
< br>
【典型问题】
1.
甲级铅笔
7
分钱一支，
乙级铅笔
3
分钱一支。张明用五角钱恰好可以买两种不同的铅
笔
共多少支？
解答：
7x+3y=50
，有两组解（
x=2,y=12
）或（
x=5,y=5
），所以共
10
或
14
支
.
2.
将一根长为
374
厘米的合金铝管截成若干根
36
厘米和
24
厘米两种型号的短管（加工
损耗忽略不计）。问：剩余部分的管子最少是多少厘米？
<
/p>
解答：
36
和
2
4
的最大公约数是
12
，
374
÷
12=31
„
2
，所以至少剩下
2
厘米
.
3.
有
< br>43
位同学，他们身上带的钱从
8
分到
5
角，钱数都各不相同，每个同学部把身上带
的全部钱各自买了画片，画片只有两种，
3
分一张
和
5
分一张，每人都尽量多买
5
分一张
的画片。问他们所买的
3
分画片的总数是多少张？
解答：
< br>8
，
13
，
18
，
23
，
28
，
33
，
38
，
43
，
48
都是
1
张
3
分的；
9
，
14
，
19
，
24
，
2
9
，
34
，
39
，
44
，
49
都是
3
张
3
分的；
10
，
15
，
20
，
25
，
30
，
35
，
40
，
45
，
50
都不
17
18
用
3
分的；
11
，
16
，
21
，
26
，
31
，
36
，
41
，
46
都是
2
张
3
分的；
12
< br>，
17
，
22
< br>，
27
，
32
< br>，
37
，
42
< br>，
47
都是
4
< br>张
3
分的，所以一共是
9
×
1+9
×
3+0+
8
×
2+8
×
4=36+48=
84
张
.
4.
小萌在邮局寄了三种信，平信每封
8
分，航空信每封
1
角，挂号信每封
2
角。她共用了
一元二角二分。那么小
萌寄的三种信的总和最少是多少封？
解答：因为最后是
122
分，个位只能是平信的，所以至少有
9
封平信（
9
×
8=72
分），
还差
50
分，最好是
1
封航空，
2<
/p>
封挂号，所以至少是
12
封信
.
5.
有三堆砝码，第一堆中每个砝码重
3
克，第二堆中每个砝码重
5
克，第三堆中每个砝码
重
7
克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为
130
克。写出
你的取法：需要多少个
砝码？其中
3
克
、
5
克和
7
克
的砝码各有几个？
解答：
7
克的要尽量多，如果
18
个就是
126
克，差
4
克，不行！那
17
个
7
克就
是
119
克，差
11
< br>克，
1
个
5
克和
2
个
3
克就够了！所以一共是
20
个
.
6.
五种商品的价格如下表，其中的单位是元：
品种
单价
A
2.9
B
4.7
C
7.2
D
10.6
E
14.9
现用
60
元钱恰好买了
10
件商品，那
么有多少种不同的选购方式？
解答：
29a+47b+72c+106d+149e=600
，
a+
b+c+d+e=10
，
用第一个等式减去第二
个等式的
29
倍，得到
18b
+43c+77d+120e=310
，找到
4
组整数解！
7.
有纸币
60
张，其中
1
分、
1
角、
1
元和
10
元各有若干张，问这些纸币
的总面值是否能
够恰好是
100
元？<
/p>
18
19
解答：
每张纸币的金额除以
9
的余数都是
1
，
所以
60
张纸币的金额除以
9
的余数就是
60
，
即
6
，但是
100
元除以
9
余
1
，所以不能！
8.
设
A
和
B
都是自然数，并且满足
A/11+B/3=17/33
，那么<
/p>
A+B
等于多少？
解答：显然
A=2
，
B=1
，那么
A+B=3.
9.
两位数中，能被其各位数字和整除，并且除得的商恰好是
4
的数有多少个？
解答：
12
，
24
，
36
，
48
共
4
个。（个位必须是十位的
2
倍！）
10.
某单位的职工到郊外植树，其中有男职
工也有女职工，并且有
1/3
的职工各带一个孩
子参加。男职工每人种
13
棵树，女职工每人种
10
棵树，每个孩子种
6
棵树，他们一共种
了
216
棵树，
那么其中有多少名男职工？
解答：
1
3x+10y+6
×
1/3
（
x+y
）
=216
，即
15x+12y=216
，
5x+4y
=72
，有（
x=4,
y=13
），（
x=8,y=8
）和（
x=12,y=3
）三组解，考虑到职工人数应该是
3
的倍数，所
以男职工应该是
12
人
.
11.
哥德
巴赫猜想是说：“每个大于
2
的偶数都可以表示成两个质数之和
”。间：
168
是
哪两个两位数的质数
之和，并且其中的一个的个位数字是
1
。
解答：
168=71+97.
12.
（
1
）将
50
分拆成
10
< br>个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质
数是多少？
（
2
）将
60
分拆成
10
个质数之
和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大
的质数是多少？
解答：（
1
）最大的要尽量大，那就让
别的都小，全是
2
不行，所以是
8
个
2
和
1
个
3
，
这时最大的是<
/p>
31
。
（
2
）最大的尽量小，那就很接近平均数
6
，所
以看看
7
，实际上
5
< br>个
5
和
5
个
7
就行了，所以最大是
7.
13.
某居民要装修房屋，买来长
0
．
7
米和
0<
/p>
．
8
米的两种木条各若干根。如果从这些
木条
中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如，
0
.7
＋
0.7
＝
1.4
（米），
0.7
＋
0.
8
＝
1.5
（米）等等，那么在
3.6
米、
3.8
米、
3.4
米、
3.9
米和
3.7
米
这
5
长度中，哪种
是不可能通过这些木
条的恰当拼接而实现的？
19
20
解答：
3.6=0.7+0.7+0.7+0.7+0.8
；
3.7=0.7+0.7+0.7+0.8+0.8
；
3.9=0.7+0.8
+0.8+0.8+0.8
；
3.8=0.7+0.7+0.8+0.8+0.8
；只
有
3.4
不行！
14.
有
30
个
2
分硬币和
8
个
5
分硬币，用这些硬币不能构成的
1
分到
1
元之间的币值有
多少种？
解答：
首先<
/p>
1
分和
3
分不行
，
然后看
100-1=99
分和
100-3=97
分也不行，
所以共
4
种。
其他都可以构成，大家不妨自己证明一下
！
15.
小明买红、蓝两支笔，共
用了
17
元。两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵。小<
/p>
强打算用
35
元来买这两种笔（也允许只
买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把
35
元恰好用完，
那么红笔的单价是多少元？
解答：
x+y=17
，显然
x
和
y
不是
35
的约数，否则是可以将
35
元恰好用完的。
（
x=16,
y=1
），
（
x=15,y=2
），（
x=14,
y=3
），（
x=13,y=4
），（
x=12,y=5
），（
x=1
1,y=6
），（
x=10,y=7
），（
x=9,y=8
）这些解中很快可以将第
一，五，七组排除，然
后排除第二，三，六，八组，只有第四组是可以的，所以红笔的价
钱是
13
元
.
三
不定方程
1
装某种产品的盒子有大、
小两种，
大盒每盒
装
11
个，
小盒每盒装
8
个，要把
89
个产品装入盒
内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒
子各多少个？
2
有
150
个乒乓球分装在大小两种盒子里，
大盒装
12
个，小盒装
7
个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？
3
大客车有
39
个座位，小客车有
30
个座位，现有
267
位乘客，要使
每位乘客都有座位且没有空座位。问：需大、小客车各几辆？
4
某商店卖出若干
< br>23
元和
16
元一支的钢笔，共
收入
500
元，问：这
两种钢笔共卖出
多少支？
5
小明花
4
.5
元钱买了
0.14
元一支的铅笔和
0.67
元一支的圆珠笔共
17
支。问：铅笔和圆珠笔各几支？
6
小明把
他生日的月份乘以
31
，再把生日的日期乘以
< br>12
，然后把两
个乘积加起来刚好等于
< br>400
。你知道小明的生日是几月几日吗？
20
21
7
在一次活动中，丁丁和冬冬到射击
室打靶，回来后见到同学“小博
士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。“小博士
”让丁丁把自己
命中的次数乘以
5
，让
冬冬把自己命中的次数乘以
4
，再把两个得数加起
来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是
31
，“小博士”
正确地说出了他们各
自命中的次数。丁丁和冬冬分别命中几次？
8
甲、
乙二人植树，
用每天植
18
棵，
乙每天植
21
棵，
两人共植了
135
棵树。问：甲、乙二人各干了几天？
9
有两种
不同规格的油桶若干个，大的能装
8
千克油，小的能装
5
千
克油，
44
千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？
10
<
/p>
参加围棋比赛的八段、九段选手有若干名，他们的段位数字加在
一
起正好是
100
段。问：八段、九段选手各几名？
11
有
1
04
个同学去操场踢足球和打排球，
每个足球场地
22
人，
每个
排球场地
12
人。问：他们占用了足球场地和排球场地各几个？
12
甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是
18
的倍数，乙搬的砖数是
23
的
倍数，两人共搬了
300
< br>块砖。问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？
13
14
个大、中、小号钢珠共重
100
克，大
号钢珠每个重
12
克，中号
每个重
8
克，小号每个重
5
克。问：大、中、小号钢珠各多少个？
14
有<
/p>
100
个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地
22
人，
每个排球场地
12
人，
每个篮球场地
10
人，
他们共占了
8
个
场地。
问：
其中足球场、排球场和篮球场各几个？
15
某人打靶，
8
发打了
53
环，
全部命中在
10
环、
7
环和
5
环上。
问：<
/p>
他命中
10
环、
7
环和
5
环各几发？
< br>
16
妈妈用
14.3
元买回苹果、梨和桔子共
10
千克，苹果每千克
2
元，
梨每千克
1.6
元，桔子每千克
1.1
元。问：苹果、梨和桔子各多少千克？
17
新发
行的一套邮票共
3
枚，面值分别为
20
分、
40
分和
50
分，小
明花
5.00
元买了
15
张。问：其中三种面值的邮票各多少张？
18
某次数学竞赛准备了
22
支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖
的学
生，原计划一等奖每人发
6
支，二等奖每人发
< br>3
支，三等奖每人发
2
支。后来
又改为一等奖每人发
9
支，二等奖每人发
4
支，三等奖每人发
1
支。问：获一
、二、三等奖的学生各几人？
21
22
19
右图
中两个矩形的面积之和为
43
厘米
2<
/p>
，两个矩形的边长都是整
数厘米，求两个矩形的面积之差。
20
一批布长
36
米，用此布做一套成人衣服用布
3
米，做一套儿童衣
服用布
1.6
米。
要把这批布刚好用完，
应做多少套成人衣服？多少套儿童
衣服？
21
工程队要铺设
< br>78
米长的地下排水管道，
仓库中有
3
米和
5
米长的
< br>两种管子。问：可以有多少种不同取法？
22
某地
收取电费的标准是：若每月用电不超过
50
千瓦时，则每千瓦<
/p>
时收
5
角；若超过
50
千瓦时，则超出部分按每千瓦时
8
角收费。某月甲
用户比乙用户多交
3
元
3
角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？
23
庙里有若干个大和尚和若干个小
和尚，已知
7
个大和尚每天共吃
41<
/p>
个馒头，
29
个小和尚每天共吃
11
个馒头，
平均每个和尚每天恰好吃一
个馒头。问：庙里至少有多少个和尚？
24
小花
狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声
表示问候。
< br>若是早晨见面，
小花狗叫两声，
波斯猫叫一声；
若是晚上见面，
小花狗叫两声，波斯猫叫三声。细心的小娟对它们的叫声
统计了
15
天，
发现它们并不是每天早
晚都见面，在这
15
天内它们共叫了
6
1
声。
问：波斯猫至少叫了多少声？
25
袋子
里有三种球，
分别标有数字
2
，
3
和
5
，
小明从中摸出几个球，
它们的数字之和是
43
。问：小明最多摸出几个标有数字
2
的球？
26
篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共<
/p>
30
个，价值
24
元，已知煮蛋每个
0.6
元，茶蛋每个
1.00
元，皮蛋每个
1.20
元。
问：篮子中最多有几个皮
蛋？
27
商店
里的白糖有
4
千克、
3
千克和
1
千克三种不同包装，
一位顾客
要买
15
千克白糖。问：售货
员给这位顾客白糖可以用多少种不同方法？
28
用<
/p>
1
分、
2
分和<
/p>
5
分硬币凑成
1
元钱，共有多少种不同的凑法？
22
23
十一、不定方程（一）
年级
班
姓名
得分
一、填空题
1.
已知
1999
×△
+4<
/p>
×□
=9991,
其中△
,
□是自然数
,
那么□
= .
2.<
/p>
数学测试卷有
20
道题
< br>.
做对一道得
7
分
;
做错一道扣
4
分
;
不答得
0
分
.
张
红得了
100
分
,
她有
道题没答
.
3.
x
是自然数
,
x
810
0
.
a
< br>2
5
,
字母
a
表示一个数字
,
x
是
.
4.
不定方程
12
x
21
y
17
的整数解是
.
5.
某青年
1997
年的年龄等于出生年份各数字的和
,
那么
,
他的出生年份
是
.
28
7
6.
如果在分数
的分
子分母上分别加上自然数
a
、
b
,
所得结果是
,
那么
43
12
a+b
的最小值等于
.
7.40
只脚的蜈蚣与
3
个头的龙同
在一个笼子中
,
共有
26
个头和
298
只脚
,
若
40
只脚的蜈蚣有
1
个头
,
那么
3
个头的龙有
只脚
.
8
.
甲、乙两个小队的同学去植树
.
甲小
队一人植树
6
棵
,
其余每人都植树
13
棵
;
乙小队有一人植树
5
棵
,
其余每人都植树
10
棵
.
已知两小队植树棵数相等
,
且
每小时植树的棵数大于
100
而不
超过
200,
那么甲、乙两小队共有
人
.
9.
小明用
5
天时间看完了一本
200
页的故事书
.
已知
第二天看的页数比第一
天多
,
第三天看
的页数是第一、
二两天看的页数之和
,
第四天看的页数是第二、
三
两天看的页数之和
< br>,
第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和
.
那么
,
小明第
五天至
少看了
页
.
10
.
一群猴子采摘水蜜挑
.
猴王不在的时
候
,
一个大猴子一小时可采摘
15
公
1
斤
,
一个小猴子一小时可采
11
公斤
;
猴王在场监督的时候
,
大猴
子的
和小猴子
5
1
的
必须停止采摘
,
去伺侯猴王
.
有一天
,
采摘了
8
小时
,
其中
只有第一小时和最
5
后一小时有猴王在场监督
< br>,
结果共采摘
3382
公斤水密
桃
,
那么在这个猴群中
,
大
猴子共有
个
.
23
24
二、解答题
11.
今有公鸡每只五个钱
,
母鸡每只三个钱
,
小鸡每个钱三只
.
用
100
个钱买
100
只鸡
,
问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只
?
12.
某地收取电费的标准是
:
每月
用电不超过
50
度
,
< br>每度收
5
角
;
< br>如果超过
50
度
,
超出部分按每度
8
角收费
.
某月甲用户比乙用户多交
3
元
3
角电费
,
这个月甲、
乙各用了多少度电
?
13.
哲洙替爸爸买了
50
张圣诞节卡片
.
他先到“甲”文具店去买了几张每张
500
分钱的卡片
,
剩余
的卡片到“乙”文具店去买了
.
“乙”文具店的一张卡价格
是以每百分为单位
,
且小于
2000
分
.
哲洙买了
50
张卡片共花了
30400
分
.
请你写
出他在“乙”文具
店买的卡片数量的所有可能情形
.
14.
现有两小堆小石头
,
如果从第一
堆中取出
100
块放进第二堆
,
那么第二堆
比第一堆多一倍
,
相反
,
如果从第二堆中取出一些放进第一堆
,
那么第一堆比第二
堆多五倍
.
问第一堆中可能的最少石头块数等于多少
?
并在这种情况下求出第二
堆的石头块数
.
———————————————答
案——————————————————————
1. 1998.
提示
:
△是小于
4
的奇数
,
检验△
=1
或
3
两种情况即可
.
2. 1.
设张红做对
x
道题
,
做错
y
道题
,
依题意得
:
7
x
4
y
100
①
100
4
y
100
2
≣
14
.
7
7
7
又
x
+
y<
/p>
≢
20
②
所以
x
≢
20-
y
≢
20,
2
故
14
≢
x
≢
2
0.
7
又
4|4
y
,4|100,
由①知
4|7
x
,
又
4
与
7
互质
,
所以
4|
x
,
故
x=
16
或
20.
当
x=
20
时
,
由①得
y=
10,
与②产生矛盾
.
因此
x=<
/p>
16,
代入①得
y=
3.
张红共有
20-
x
-
y=
1(
道
)
题没做
.
所以
x
3.
750.
24