求不定方程的整数解(含答案)-
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求不定方程整数解
有三对夫妻一同上商店买东
西
.
男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、
•
姓赵、姓尹。他们每人只买
一种商品，并且每人所
买商品的件数正好等于那种商品的单价
(
元数
< br>).
现在知道每一个丈夫都比他的妻子多
花
63
元
,
并且孙先生所买的
商品比赵女士多
23
件
,
金先生所买的商品比李女士多
11
件
,
问孙先生、陈先生、
金先生的爱人各是谁？
例
1
．
若
a
,
b
< br>都是正整数，且
143
a
500
b
200
1
，求
a
b
的值．
(2001
年北京市初中数学竞
赛
)
1
13
x
<
/p>
11
y
700
例２
设
m<
/p>
为正整数，
且方程组
< br>
有整数解，
求
m
的值。
（
“希望杯”
2
y
mx
< br>1
数学竞赛试题）
例３
已知自然数
x
,
y
满足
9
8
7
，求
x
y<
/p>
的值．（五羊杯数学竞赛试题）
x
y
【例
1
】若关于
x
的方程
(
6
k
)(
9<
/p>
k
)
x
2
(
117
15
k
)
x
54
0
的解都是整数，则符合条件的整数
k
的值有
个．
思路点拨
用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程
两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注：系数含
参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设
条件，看是否要分类讨论．
【例
2
】
已知
a
、<
/p>
b
为质数且是方程
x
2
13
x
c
0
的
根，那么
A
．
127
125
123
121
< br>
B
．
C
．
D
．
22
22
22
22
b
a
的值是
(
)
a
b
思路点拨
由韦达定理
a
、
b
的关系式，结合整数性质求出
a
、
b
、
c
的值．
【例
4
】
当
m
为整数
时，关于
x
的方程
(
< br>2
m
1
)
x
2
(
2
m
1
)
x
1
0
是否有有理根
?<
/p>
如果有，求出
m
的值；
< br>如果没有，请说明理由．
思路点拨
整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．
设△
=
(
2
m
1
)
2
4
(
2
m
1
)<
/p>
4
m
2
4
m
5
(
2
m
1
)
2
4
n
2
(
n
为整
数
)
解不定方程，讨论
m
的存在性．
注：一元二次方程
ax
2
bx
c
0
(a
≠
0)
而
言，方程的根为整数必为有理数，而△
=
b
2
4
ac
为完全平
方数是方程的根为有理数的充要条件．
【例
5
】
<
/p>
若关于
x
的方程
ax
2
2
(
a
3
)
x
(
a
13
)
0
至少有一个整数根，求非负整数
a
的值．
思路点拨
因根的表示式复杂，
从韦达定理得出
的
a
的两个关系式中消去
a
也较困难，
又因
a
的次数
低于
x
的次数，故可将原方程变形为关于
a
的一次方程．
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1
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