用不定方程解应用题
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用不定方程解应用题
知识要点
在应用题中出现了两个
(
甚至更多
)
未知
量，
而数量关系却少于未知量的个数，
我
们列出的就是不定方程。不定方程
一般是指未知数的个数通常多于方程个数的方程。<
/p>
这样的
方程的解通常不止一个
。列方程解
应用题时
,
出现未知数的个数多于所列方程
的个数
,
这样的方程叫做不定方程
.
不定方程往往有无数解
,
因而这种方
程解得个数由
题目中关于未知数的限制条件来决定
,
因在解题过程中要特别注重对所设未知数的限
制条件
(
有时是隐蔽的
)
的分析
.
解不定方程是可以用以下原则来缩小范围。
<
/p>
[
原则一
]
：系
数大的开始讨论
[
原则二
]
：奇偶性讨论
[
原则三
]
：倍数原理
[
原则四
]
：尾数原理（运用条件：出现
5
的倍数）
例
1
求不定方程
5x+3y=22
的解，这里
x,y
为自然数。
解析
由
5
x+3y=22
可知
x≤4，这样可以依次试出方程的解：
当
x=l
时，<
/p>
3y=17
，
y=
7
3
17
3
与
y
为自然数矛盾。
当
x=2
时，
3y=l2
，
y=4
。
当
x=3
时，
3y=7
，
y=
，与
< br>y
为自然数矛盾。
2
3
当
x=4
时
, 3y=2
，
y=
，与
y
为自然数矛盾。
先确定一个未知数的取值范围，再依次试出这些未知数的值。
练一练
1
求不定方程
5x+9y=104
的整数解。
答案：
X=19,Y=1;
X=10,Y=6; X=1,Y=11
例
2
一
个工人将
99
颗弹子装人两种盒子中，
每个大盒子装
12
颗，
小盒子装
5
颗，
恰好装完，
已
知盒子数大于
10
，这两种盒于各有多
少个
?
解析
设大盒子有
< br>x
个，小盒子有
y
个，
x
与
y
为自然数，
x+y>10
，所以列不定方程如下：
12x+5y=99
5y=99-12x
因为
9
9-
12x≥0，
所以
x≤8，
又
99-12x
是
5
的倍数，
个位数字只能为
0
或
5
，
那么
12x
的个位
数字只能为
4
,x
可取
2
或
7
。
当
x=2
时，
y=15
；
当
x=7
时，
y=3
，但<
/p>
7+3=10
，不符合题意。
大盒子有
2
< br>个、小盒子有
15
个。
本题关键是先列出相应的不定方程，再判断<
/p>
x
的范围。
练一练
2
装水瓶的盒子有大小两种，打得能装
7
个，小的能装
4
个，要把
41
个水瓶
装入盒内。问需大，
小盒子各多少个？
答案：大盒子
3
个，小盒子
5
个。
例
3
甲种商品
7
元一份，乙种商品
3
元一份，小明用
60
元恰好买两种商品共多少
份
?
解析
设小明买甲种商品
x
份，乙种商品
y
份，可以列不定方程如下：
7
x+3y=60
，由于
3
、
60
均为
3
的倍数，且<
/p>
60-
7x≥0，x≤8，又因为
7x<
/p>
一定能被
3
整除，
所以：
当
x=3
时，
y=13
，此时
3+13=16
；
当
x=6
时，
y=6
，此时
6+6=12
。
所以小明用
60
元买两种商品
16
份或
12
份。
本题关键是确定
7x
的取值范围。
练一练
3
用
5
米和
3<
/p>
米的管道铺设一段
42
米长的下水道，最
少需要管道多少根？
答案：
5x+3y=42
解得
x=6,y=4
例
4
某种考试已举行
24
次，共出了
426
道
题，每次出的题目有
25
题、或者
16
题、或者
20
题，
那么其中考
25
题的有多少次。
解析
设考
25
题、
20
题依次为
x
次和
y
次，可列不定方程如
下：
(25-16)x+(20-16)y=426-
16×24
9x+4y=42
42-
9x≥0，所以
x≤4，且
4
和
42
均能被
2
整除，因此只能取
0
、
2
、
4
。
当
x=0
时，
y=10
当
x=2
时，
y=6
当
x=4
时
,
y=
3
2
1
2
可以考
2
5
题的共有
2
次。
判断出
x
的范围小于或等于
4
，再确定不能取偶数是求解的关键。
例
5
甲一分钟能洗
3
个盘子或
9
个碗，乙一分钟能洗
2
个
盘子或
7
个碗，甲、乙合做，
20
分钟
洗了
134
个
盘子和碗。有几个盘子几个碗
?
解析
设甲
用
a
分钟洗盘子，
(20-a)
分钟洗碗，乙用
b
分钟洗盘子，
(20-b)
分钟洗碗。
3a+9(20-a)+2b+7(20-b)=134
6a+5b=186
。