不定方程方程组(含答案)-
-
27.
不定方程、方程组
知识纵横
不定方程
(
组
)
是指未知数的个数多于方程的个数的方程
(
< br>组
),•
其特点是解往往有无
穷
多个
,
不能惟一确定
.
对于不定方程
(
组
),
我们往往限定只求整数解
,
甚至只求正整数解
,•
加上条件
限制后
,
解就可确定
.
二元一次不定方程是最简单的不定方程
,
一些复杂的不定方程
(
组<
/p>
)•
常常转化为二元
一次不定方程问题加
以解决
,
与之相关的性质有
:
设
a
、
b
、
c
、<
/p>
d
为整数
,
则不
定方程
ax+by=c
有如下两个重要命题
:
(1)
若
(a,b)
=d,
且
d c,
则不定方程
ax+by=c
没有整数解
;
(2)
若
x
< br>0
,y
0
是方程
ax+by=c
且
(a,b)=1
的一组整数解
(
称特解
),
则
x
x
0
bt
(t
为整数
)
y
y
at
0
是方程的全部整数解<
/p>
(
称通解
).
解不定方程
(
组
),
没有现成的模式、固定的方法可循，
•
< br>需要依据方程（组）的特点进
行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶
数、整数的整除性、分离整系数、因
数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不
等式分析等。
例题求解
< br>【
例１
】正整数
m
、
n
满足
8m+9n=mn
+6,
则
m
的最大值为
________.
(2000
年新加坡数学竞赛题
)
思路点拨
把
m
用含
n
的代数式表示
,
并分离其整数部分
(
简称
分离整系数法
),
再结合
整除知识
,
求出
m
的最大值
.
解
:75
提示
:m=
9
n
6
66
=9+
,n=9
时
,m
最大值为
75.
n
8
n
8
【
例
2
】如图
,
在高速公路
上从
3
千米处开始
,
< br>每隔
4
千米设一个速度限制标志
,
而且
从千米处开始
,
每隔
9
千米设一个测速照相机标志
,
则刚好在
19•
千米处同时设置
这两种标
志
.
问下一个同时设置这两种
标志的地点的千米数是
( ).
A.32
千米
B.37
千米
C.55
千米
D.90
千米
(2003
年河南省竞赛题
)
思路点拨
设置限速标志、
照相机标志千米数分别表示为
3+4x
、
10+9y(x,y•
为自然数
),
问题转化为求不定方程
3+4x=10+9y
的
正整数解
.
x
13
7
9
y
y
3
解
:
选
C
提示
:x=
=2y+1+
,4
│
y+3,
为所求的解
.
4
4
y
5
【
例
3
】
(1)
求方程
< br>15x+52y=6
的所有整数解
.
(2)
求方程
x+y=
x
2
-xy+
y
2
的整数解
.
(
莫斯科数学奥林匹克试题
)
(3)
求方程
1
1
1
5
正整数解
.
(
“希望杯”邀请赛试题
)
x
y
z
6
思路点拨
对于
(1)
通过观察或辗转相除法
,
先
求出特解
.
对于
(2)
易想到完全平方公
式
,
从配方
入手
;
对于
(2)
易知
x,y,z
都大于
1,
不妨设
<
br>t <
br>15 x
1
≤
y<
/p>
≤
z,
则
1
1
1
≥
≥
,•
将复杂
y
z
x
的三元不定方程转化为一元不等式
,
通过解不等式对某个未知数的取值作出估计
,
逐步缩
小其取值范围
,
求出其结果
.
x
42
52
t
解
:(1)
观察易得一个特解
x=42,y=-12,
原方程所有整数解为
(t
为整
y
12
15
t
数<
/p>
).
解法
2
:
x=-4y+
t
6
6
6
8
y
6
8
y
,
令
=t
1
,
得
y=2t
1
-
1
,
令
1
=t,
得
t=8t-6,
15
8
8
42
52
t
化简得
y
12
15
t
(
t
为整数)
(2)
原方程化为
(x-y)
2
+(x-1)
2
+(y-1)
2
=2,
由此得方程的解为
(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)
(3)
提示
:
1
1
1
1
3
1
5
3
<
+
+
≤
,
即
<
≤
,
x
x
y
z
x
x
6
x
1
1
2
1
1
1
5
1
1<
/p>
1
1
2
<
+
=
-
=
≤
+
=
，
即
<
≤
, <
/p>
y
3
y
x
y
z
6
2
3
y
y
y
由此得
x=2
或
3,
当
x=2
时
,
由此得
y=4
或
5<
/p>
或
6,
同理当
x
=3
时
,y=3
或
4,
由此可得当
1
≤
x
≤
y
≤
z
时
,
(x,y,z)
共有
(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,
6,6),(6,2,6),(6,6,2),
(3,3,6),(3,6,3),(
6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)
【
例
4
】一个盒子里装
有不多于
200
粒棋子
,
如果每次
2
粒
,3
粒
,4
粒或
6
粒地取出
,
最终盒内都剩一粒棋子
;
如果每次
11
粒地取出<
/p>
,
那么正好取完
,
求盒子里共有多少粒棋子
?
(2002
年重庆市竞赛题
)
思路点拨
无论怎样取
,
盒子里的棋子数不变
,
恰
当设未知数
,•
把问题转化为求不定
方
程的正整数解
.
解
:
提示
:
设盒子里共有
x
粒棋子
,
则
x
被
2
、
3
、
4
、
6
的最小公倍数
12
除时
,
余数为
1,
即
x=
12a+1(a
为自然数
),
12<
/p>
a
1
a
1
=a+
,11
│
a+1•
11
11
7
因
0
≤
200,
故
0<12a+1
≤
200,
得
. <
br>
0
,a=10,
12
又
x=11b(b
为自然数
),
得
12a+1=11b,b=
所以
x=12
×
10+
1=•121,•
即盒子里共有
121
粒棋子
.
【
例
5
】中国百鸡问题
:
鸡翁一
,
值钱五
,<
/p>
鸡母一
,
值钱三
,
鸡雏三
,
值钱一
百钱买百鸡
,
问鸡翁、鸡母、鸡
雏各几何
?
(
出自中国数学家张丘建的著作《算经》
)
x
y
z
100
思路点拨
设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为
x,y,z,
则有
z
5
x
3
y
100
3
通过消元
,
将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解
< br>.
解
:
消去方程组中的
z,
得
7x+4y=100,
显然
,(0,25)
是方程的一个特解
,•
所以方程的通解为
x
4
t
(t
为整数
),
y
25<
/p>
7
t
于是有<
/p>
t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,
由
x,y,z
≥
0
且
t•
为整数得
4
t
0
25
7
t
0
,t=0,-1,-2,-3,
将
t
的值代入通解
,
< br>得四组解
75
3
t
< br>0
(x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)
【
例
6
】甲组同学每人有
28
个核桃
,
乙组同学每人有
30
个核桃
,•
丙组同学每人有
31
个核桃
,
三组的核桃总数是
365
个
,
问三个小组共有多
少名同学
?
(2001
年海峡两岸友谊赛试题
)
思路点拨
设甲组同学
a
人
,
乙组学生
b
人
,
丙组学生
c
人
,
由题意得
28a+30b+31c=365,
怎样解三元一次不定方程
?
运用放缩法
,
从求出
a+b+c
的取值范围入手
.
解
:
设甲组、乙组、丙组分别有学生
a
人、
b
人、
c
人
,
则
28a+30b+31c=365
因
28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,<
/p>
得
a+b+c<
所以
a+b+c
≤
13
因
31(a+b+c)>28
a+30b+31c=365,
得
(a+b+c)>
365
<13.04
28
365
>11.7
31
所以
a+b+c
≥
12
因此
,a+b+c=12
或
13
当
a+b+c
=13
时
,
得
2b+3c=1,
此方程无正整数解
.
故
a+b+c
≠
13,a+b+c=12
学力训练
一、基础夯实
1.
< br>已知
x,y,z
满足
x+y=5
及
z
2
=
xy+y-9,
则
x+2y+3z=___
____.
(2002
年山东省竞赛题
)
2
x
2
3
y
2
6
z
2
2.
已知
4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz
≠
0),
那么
2
的值为
________.
x
5
y
2
7<
/p>
z
2
3.
用一元
钱买面值
4
分、
8
分、
1
角的
3
种邮票共
18
张
,
每种邮票至少买一张
,
共有
_
_____
种不同的买法
.
4.
购买
5
种数学用品
A
1
、
A
2<
/p>
、
A
3
、
A
4
、
A
5
的件数和用钱总数列成下列
:
品名
件数
第一次购件数
第二次购件数
1
1
3
5
4
7
5
9
6
11
1992(
元
)
2984(
元
)
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
总钱数
则
5
种数学用品各买一件共需
__
_____
元
.
(
北京市竞赛题
)
5.
希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共
20
个
,
其总价值为
330
元
,•
这三种球的
价格分别是
足球每个
60
元
,
篮球每个
30
元
,
排球每个
10
个
,•
那么其中排球有
________
个
. (2003
年温州市中考题
)
6.<
/p>
方程
(x+1
)
2
+(y-2
)
2
=1
的整数解有
( ).
A.1
组
B.2
组
C.4
组
D.
无数组
7.
三元方程
x+y+z=1999
的非负整数解的个数有
( ).
A.20001999
个
B.19992000
个
C.2001000
个
D.2001999
个
(
第<
/p>
11
届“希望杯”邀请赛试题
)
8.
以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式
,a
、
b
、
c
、
d
、
e
、
f
各代表一个数
(
不一定相同
),
则
< br>a+b+c+d+e+f=( ).
abcdef
×
4
efabcd
A.27 B.24 C.30
D.
无法确定
(
“五羊杯”邀请赛试题
)
9.
求下列方程的整数解
:
(1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.
10.
在车站开始检票时
,
有
a(a>0)
名旅客
在候车室排队等候检票进站
.•
检票开始后
,
仍有旅
客继续前来排队检票进站
,
设旅客按固定的速度增加
,•
检票口
检票的速度也是固定的
,
若开放一个检票口
,
则需
30
分钟才可将排队等候检
票的旅客全部检票完毕
;
若开放两个
检
票口
,
则只需
10
分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕
;•
如果要在
5
分钟内将
排队等候检票的旅客全部检
票完毕
,
以便后来到站的旅客能随到随检
,
至少要同时开放
几个检票口
?
(2001
年广州市中考题
)
11.
下面是同学们玩过的“锤子、剪子、
•
布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用
伸出手掌表示“布”
，两人同时口念“锤子、剪子、布”
，一念到“布”时，同时出手，
“布”赢“锤子”
，
“锤子”赢“剪子”
，
“剪子”赢“布”
。
现在我们约定：
“布”赢
“锤子”得９分，
“锤子”赢“剪子”得５分，
“剪子”赢
“布”得２分。
(1)
小明和某同学玩此游戏过程中，
小明赢了
2
1
次，
得
108
分，
其中
“剪子”
赢
“布”
７次，聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”<
/p>
、
“锤子”赢“剪
子”各多少次？
(2)
如果小明与某同学玩了
若干次，得了
30
分，
•
请你探究一下小明各种可能的赢
法，并选择其中的三种赢法填入下表。
赢法一：
赢的次数
赢的次数
赢的次数
“布”赢“锤子”
“锤子”赢“剪子”
“剪子”赢“布”
赢法二：
“布”赢“锤子”
“锤子”赢“剪子”
“剪子”赢“布”
赢法三：
“布”赢“锤子”
“锤子”赢“剪子”
“剪子”赢“布”
(2003
年淮安市中考题
)
三、能力拓展
12.
满足
199
8
2
+m
2
=1997
2
+n
2
(
0
的整数对
(m,n)
共有
_______
对
. -