求不定方程整数解的常用方法
-
求不定方程整数解的常用方法
摘要
：
不定方程
,
是指未知数的个数多于方程的个数
,
且未知数
受到某些限制的方程
或方程组
.
因此，
要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或
不现实的
.
本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、
判
别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解
.
通过一些具体的例子，给
出了常用的不定方程的解法，分别为分
离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐
减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分
析法、换元法、构造法、配方法、韦达定
理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因
式分解法等等
.
关键字
：
不定方程
;
整数解
;
整除性
1
引言
不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与
其他数学领域有密
切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的
研究以延续了
数千年，
“百钱百鸡问题”等一直流传至今，
“物不知其数”的解法被称为中国剩余定
理，学习不定方程，不仅可
以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的
解题技能
.
中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段
.
在此阶段要注重培养学生的思
维能力，开发
学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可
少的
.
让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法
与技
巧的积累与总结
.
不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各
地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能
力、运算能力、解决问题能力的好材料
.
2
不定方程的定义
< br>所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是
有
理数，整数或正整数等等
)
限制的方程或方程组
.
不定方程也称丢番图方程，是数论
的重要分支学科，
也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与
代数数论、几何数论、
集合数论都有较为密切的联系
.
下面对中学阶段常用的求不定
方程整数解的方法做以总结
：
3
一般常用的求不定方程整数解的方法
(1)
分离整数法
< br>此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分
离
出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接
观察出
特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解
.
<
/p>
x
5
y
0
的整数解
例
1
求不定方
程
x
2
解<
/p>
已知方程可化为
x
5
x
2
3
x<
/p>
2
3
3
1
y
x
2
x
2
x
2
x
2
x
< br>
2
3
因为
y
是整数，所以
也是整数
.
x
2
由此
x
2
1
< br>,
1
,
3
,
3
,
即
x
1
,
3
,
1
,
5
相应的
y
4
,
0
< br>,
2
,
0
.
2
所以方程的整数解为
(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).
(2)
辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：
第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式
(
便
于利用同余、奇偶分析的形式
);
第二步，缩小未知数的范围
，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便
于下一步讨论
;
第三步，用辗转相除法解不定方程
.
例
2
求不定方程
37
x
107
< br>y
25
的整数解
.
解
因为
(
37
,
107
)
1
25
,
所以原方程有整数解
.
用辗转相除法求特解
:
107
37
2
33
,
37
33
1
4
,
33
4
8
1
从最后一个式子向上逆推得到
37
(
<
/p>
26
)
107
9
1
所以
37
(
<
/p>
26
25
)<
/p>
107
(<
/p>
9
25
)
25
则特解为
x
26
25
65
0
0
y
9
25
225
0
通解为
x
650
107
t
8
107
(
t
6
)
,<
/p>
t
Z
y
225
37
t
3
37
(
t
6
)
或改写为
x
8
< br>107
t
<
/p>
,
t
Z
.
y
3
37
t
(3)
不等式估值法<
/p>
先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解
这些不等式得到
未知数的取值范围
.
例
3
求方程
1
1
1
<
/p>
1
适合
x
y
z
的正整数解
.
x
y<
/p>
z
解
因为
x
y
z
所以
所以
1
1<
/p>
1
x
y
z
3
1
1
1<
/p>
1
1
1
1
z
x
y
z
z
z
z
即
1
3
1
z
z
所以
1
z
3
所以
z
2
或
z
3
.
当
z
2
时有
所以
所以
所以
2
y<
/p>
4
所以
y
3
或
y
4
,
相应地
x
6
或
4
;
< br>当
z
3
时有
所以
所以
1
2
2
y
3
y
1
1
1
x
< br>y
2
1
1
1
1
1
y
x
y
y
y
1
1
2
y
2
< br>y
1
1
2
x
y
3
1
1
1
1
1
y
x
y
y
y
< br>所以
y
3
,
y
3
;
相应地
x
3
.
所以
(
x
,
y
,
z
)
(
6
,
3
,
2
),
(
4
,
4
,
2
),
(
3
,
3
,
3
).
(4)
逐渐减小系数法
4
此法主要是利用变量替换，使不
定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未
知量的系数为
1
的不定方程为止，直接解出这样的不定方程
< br>(
或可以直接能用观察法
得到特解的不定方程为止，再依
次反推上去）得到原方程的通解
.
例
4
求不定方程
37
x
107
< br>y
25
的整数解
.
解
因为
(
37
,
107
)
1
25
，所以原方程有整数解
.
有
37
107
，用
< br>y
来表示
x
，得
x
25
107
y
1
3
y
12
4
y<
/p>
37
37
则令
12
4<
/p>
y
m
Z
,
即
4
y
37
m
12
37
由
4<37,
用
m
来表示
y
,
得
y
令
12<
/p>
37
m
m
3
9
m
4
4
m
t
< br>
Z
,
得
m
4
t
.
将上述结果一一带回，得原方程的通解为
4
x
8
107
t
<
/p>
,
t
Z
y
3
37
t
注
解一元二次不定方程通常先判定方程有无解
.
若有解
,
可先求
ax
by
c
的一个特
解，从而写出通解
.
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变
量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止
.
< br>
对于二元一次不定方程
ax
by
c
来说
有整数解的充要条件是
(
a
,
b
)
c
.
x
x
0
bt
< br>x
x
0
bt
,
(
t
Z
)
或<
/p>
,
(
t
Z
)
y
y
a
t
y
y
<
/p>
at
0
0
(5)
分离常数项的方法
对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆
成
两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程
.
例
5
求不定
方程
3
x
5
y
143
的
整数解
.
解
原方程等价于
<
/p>
3
x
5
y
143
3
x
5
y
140
3
3
(
x
1
)
5
(
y
28
)
0
因为
3
,
5
1
所以
5
x
1
5
t
,
t
Z
y
28
3
t
x
1
5
t
所以原方程的通解为
,
t
Z
.
y
28
3
t
(6)
奇偶性分析法
从讨论未知数的奇偶性入手，一方面
可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用
2
n
或
2
n
1
(
n
Z
)
代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式
.
例
6
求方程
x
2
y
2
328
的正整数解
.
解
显然
x
y
,
不妨设
x
y
0
因为
328<
/p>
是偶数，所以
x
、
y
的奇偶性相同，从而
x
y
是偶数
.
令
x
y
2
u
1
,
x
y
2
v
1
< br>则
u
1
、
v
1
Z
,
且
u
1
v
1
0
.
所以
x
u
1
v
1
,
y
u
1
v
1
代入原方程得
2
2
u
1
v
1
164
同理，令
u
1
v
1
2
u
2
,
u
1
v
1
< br>2
v
2
(
u
2
、
v
2
Z
,
且
u
2
v
2
0
)
于是，有
2
2
u
2
v
2
82
再令
u
2
v
2
2
u
3
,
u
2
v
2
< br>2
v
3
得
2
2
u
3
v
3
41
此时，
u
3
、
v
3
必有一奇一偶，且
0
v
3
<
/p>
u
3
41
6
6
取<
/p>
v
3
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
得相应的
2
u
3
40
,
37
,
32
,
25
,
16
所以，只能是
u
3
5
,
v
3
4
.
从而
x
18
,<
/p>
y
2
结合方程的对称性知方程有两组解
18
,
2
,
2
,
18
.
(7)
换元法
利用不定方程未知数之间的关系
（如常见的倍数关系）
，
通过代换消去未知数或倍
数，使方程简化，从而达到求解的目的
.
例
7
求方程
1
1
1
的正整数解
.
x
y
7
解
<
/p>
显见，
x
7<
/p>
,
y
7
.
为此，可设
x
<
/p>
7
m
,
y
7
n
,
其中
m
、
n
为正整数
.
所以原方程
1
1
1
可化为
x
y
7
1
1
1
7
m
< br>7
n
7
整理得
7
7
m
7
7
n
7
m
< br>
7
n
,
即
mn
49
.
所以
m
1
49<
/p>
,
n
1
1
;
m
2
7
,
n
2
7
;
m
3
1
,
n
3
49
相应地
x
1
56<
/p>
,
y
1
8
;
x
2
14
,
y
2
14
;
x
3
8
,
y
3
56
所以方程正整数解为
56
,
8
,
14
,
14
,
8
,
56
< br>.
(8)
构造法
构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要
的意义
，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，
也是对整个
解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映
.
构造体现的是一种
转化策略，
在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一
个求解
的递推式等
.
例
8
已知三整数
a
、
b
、
c
之和为
13
且
b
c
，求
a
的最大值和最小值，并求出此
a
b<
/p>
时相应的
b
与
c
的值
.
7