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2021年2月13日发(作者：家庭小常识)

内蒙古财经大学本科毕业论文

正定矩阵的性质及应用

作

者

郝芸芸

系

别

统计与数学学院

专

业

信息与计算科学

年

级

10

级

学

号

102093113

指导教师

高菲菲

导师职称

讲师

答辩日期

成

绩

内

容

提

要

矩阵是 数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究

线性代数的一 个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一

种特殊的矩阵， 其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具

有的特殊性质，尤 其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵

的正定性的相关定义 以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要

介绍了正定矩阵的关联 矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本

文在第四部分介绍了矩阵 正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩

阵合同法．且简单地举了一 些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式

的证明和多元函数的极值两个 方面介绍了正定矩阵的实际应用．

关键词

：二次型

正定矩阵

判定方法

应用

Abstract

Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object,

at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the

same

time,

the

positive

definiteness

of matrix

is an

important

concept

in

the matrix

theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the

problem

solving

process

can

be

used

flexibly.

And

the

positive

definite

matrix

with

special properties of general matrix does not have these properties, especially widely

used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of

positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a

series

of

properties

of

positive

definite

matrix,

mainly

introduced

the

positive

definiteness

correlation

matrix

is

positive

definite

matrix.

This

paper

introduces

the

related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the

method

to

judge

the

positive

definiteness

matrix

in

fourth

parts:

the

definition,

the

master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of

examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper

from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of

positive definite matrices.

Key words:

Quadratic form

Positive definite matrix

Determination method

Application

目

录

引言

......................... .................................................. ...................

错误！未定义书签。

一、正定矩阵的定义

.................. .................................................. .

错误！未定义书签。

二、正定矩阵的性质

.................. .................................................. .

错误！未定义书签。

三、正定矩阵的有关定理

................ ..............................................

错误！未定义书签。

四、正定矩阵的判定方法

................ ..............................................

错误！未定义书签。

（一）定义法

..................... .................................................. .....

错误！未定义书签。

（二）主子式法

.

< br>............................................... .........................

错误！未定义书签。

（三）特征值法

.

< br>............................................... .........................

错误！未定义书签。

（四）与单位矩 阵

E

合同法

.................................................. .....

错误！未定义书签。

五、正定矩阵的应用

.................. .................................................. .

错误！未定义书签。

（一）正定矩阵在不等式中的应用

............................................

错误！未定义书签。

（二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用

..........................

错误！未定义书签。

总结

......................... .................................................. ...................

错误！未定义书签。

参考文献

....................... .................................................. ..............

错误！未定义书签。

后记

......................... .................................................. ...................

错误！未定义书签。

正定矩阵的性质及应用

引言

矩阵 理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，

应用很广泛 的数学理论．矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研

究对象，而正 定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、

数值分析等领域 中都具有广泛的应用．

二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次

< br>曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上

文字

X

1

,



,

X

n

的 正定二次型与

n

阶正定矩阵是一一对应的，

本文首先运用二次型的有定

性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义．其 次本文证明了正定矩阵的一些

实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法 ，最后运用正定矩阵解决了

数学中不等式的证明和多元函数极值的问题．

一、

正定矩阵的定义

[3]

定义

1

设

a

ij

< /p>

i

,

j



1,2,



,

n

;

i



j



均为实常数，

则关于

n

个实变量

x

1

,

x

2

,



,

x

n

的二< /p>

次齐次多项式函数

2

< br>2

f



x

1

,

x

2

,



,

x

n





a

11

x

1

2



< p>
a

22

x

2







a

< br>nn

x

n



2

a

12

x

1

x

2



2

a

13

x

1< /p>

x

3







2

a

n

< p>


1,

n

x

n



1

x

< br>n

，



1



称为

n

元实二次型．

定义

2

[3]

只含有平方项的二次型称为标准形，即

f



y



,

n

y





1

,

y

2

< br>,

2

d

y



1

1

2

2

d

y





n

．

d

y



2



2



2

n

定义

3

[3]

若二次型的标准形中的系数

d

i



i



1,2,

< p>


,

n



仅为

1,



1,0

< p>
，

则此标准形称为

二次型的规范形．

定义

4

[1]

实二次型

f



x

1

,

x

2

,



,

x

n



称为 正定的，如果对于任意一组不全为零的实数

c

1

,

c

2

,



,

c

n

，都有

f



c

1

,

c

2

,< /p>



,

c

n





0

；

< p>

如果都有

f



c

1

,

c

2

,



,

< br>c

n





0

，那么

f



x

1

,

x

2

,



,

x

n



称为负定的；

如果都有

f



c

1

,

c

2

,



,

c

n





0

，

那么

f



x

< p>
1

,

x

2

,



,

x

n



称为半正定的；

如果都有

f



c

1

,

c

2

,



,

c

n

< br>



0

，

那么

f



x

1

,

x

2

,< /p>



,

x

n



称为半负定的；

如果二次型既不是半正定又 不是

1

半负定，那么

f



x

1

< br>,

x

2

,



,

x

n



就称为不定的．

定义

5

[1]

若实数域上的

n

元二次型

f

(

x

1

,

x

< br>2

,



,

x

n

)



 

a

ij

Ｘ

i

X

j

(

a

ij



a

ji

)



X

T

AX

i



1

< p>
j



1

n

n

是正定二次型（负定二次型）

，则称

A

为正定矩阵（负定矩阵）

；若二次型是半正定二次< /p>

型（半负定二次型）

，则称

A

< p>
为半正定矩阵（半负定矩阵）

．其中



a

11< /p>

a

12



a

a

22

A





21











a

n

1

a

n

< br>2

定义

6

[1]

子式



< br>a

1

n





x

1





x





a

2

n





，

X





2



．





















a

nn





x

n



a

11

P

i





a

i

1

a

12



a

1< /p>

i





a

21

a

22



a

2

i

a

< p>
i

2



a

ii



i



< br>1,2,



,

n





3



称为矩阵

A



< /p>

a

ij



nn< /p>

的

i

阶顺序主子式．

下面是正定矩阵的一些等价条件．

定理

1

[8]

设

A

是

n

阶实对称矩阵，则下列命题等价：

(1)

A

是正定矩阵．

(2)

A

的正惯性指数等于

n

．

(3)

A

的特征值全大于零．

(4)

A

合同于

n

阶单位矩阵

E

n

．

(5)

A

合同于

主对角 元大于零的对角矩阵．

(6)

存在可 逆矩阵

P

，使得

A



P

T

P

，其中

P

T

表示

P

的转置．

注：

< br>二次型的正定

（负定）

，

半正定

（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性．

不

具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的．

二次型的有定性与其矩阵的有定性之 间具有

一一对应关系．因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定 性的

判定．

二、

正定矩阵的性质

性质

1

[1]

正定矩阵的行列式大于零．

证明

设

A< /p>

是正定矩阵．因为

A

与单位矩阵合同，所 以有可逆矩阵

C

使

< br>A



C



EC



C



C

．

两边取行列式，有

A



C



< br>C



C



0

．

2

2

推论

1

[1 ]

若

A

是正 定矩阵，则

A

的顺序主子式全大于零．

证明

设二次型

f



x

1

,

x

2

,



x

n







a

ij

x

i

x

j

是正定的．对于 每个

k

,1



k



n

，令

i



1

j



1

n

n

f

k



x

1

,

x

2

,

< br>

x

n







a

ij

x

i

x

j

．

下面证明

f

k

是一个

k

元的正定二次型．

对于任意一 组不全

i



1

j



1

k

k< /p>

为零的实数

c

1

,



,

c

k< /p>

，有

f

k



c

1

,



,

c

k







a

ij

c

i

c

< br>j



f



c

1

,



,

c

k

,0,



,0





0< /p>

．

i



1

j



1

< p>
k

k

因此

f

k



x

1

< br>,



,

x

k



是正定的．由性质１可知，

f< /p>

k

的矩阵的行列式

a

11



a

1

k







0,

k



1,



,

n

．

a

k

1



a

kk

这就证明了矩 阵

A

的顺序主子式全大于零．

性质

2

[6]

若

A

是正定矩阵，则

A

的主对角元全大于零．

证明

设

A



(

a

ij

)

，对于任意的

X



0

，恒有

X

AX





a

ij

x

i

x

j

，其中

a

ij



a

ji

，

T

i



1

j



1

n

n

i











n

n

T

T

i

,

< br>j



1,2,



n

．令

X



(0,



0,1,



0

0)

，将其代入

X< /p>

AX





a< /p>

ij

x

i

x

j

(

a

ij



a

ji

)

，得

i



1

< p>
j



1

X

T

AX



a

< br>ii

，所以

a

ii



0

，

i

< br>

1,2,



n

，从而结论得证．

性质

3

[6]

正定矩阵

A



(

a

ij

)

中 绝对值最大元素必可以在主对角线上取到．

证明

设

A< /p>



(

a

ij

)

是正定矩阵，

则它的一切主子式都大于零 ．

如果

a

ij

(

i



j

)< /p>

是

A

的

中绝对值 最大的一个元素，那么，取

A

的二阶主子式

a

ii

a

ji

a

ij

a

jj



a

ii

a

jj



a

ij

a

ji



0

，由此

可得

a

ii

a

jj



a

ij

a

ji



a

2

ij

，因此，

a

ii

,

a

jj

的绝对值不可能都小于

a< /p>

ij

，所以，

a

i

j



a

i< /p>

i

或

a

ij



a

jj

，故

A

中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到．

< br>

性质

4

[8]

若

A

是正定矩阵，则

< br>kA

，

A



kE

是正定矩阵，其中

k



0

．

证明

由

A< /p>

是正定矩阵，可知

A

的特征值

< p>


1



0,



2



0,





n



< br>0

，则

kA

的特征值

< p>
k



i



0(

i



1,2,

< p>


n

)

，因此

kA

是正定矩阵．

3

同理可得

A



kE

的特征值



< br>1



k



0,



2



k



0,





n



k

< /p>

0

，因此

A

< /p>

kE

也是正定

矩阵．

性质

5

[7]

若

A

是正定矩阵，则

< br>A



1

，

A

*

是正定矩阵，其中

A

< p>


1

表示

A

的逆矩阵，

A

*

表示

A

的伴随矩阵．

证明

首先 证

A



1

是正 定矩阵．

因为

A

是正定矩阵，所以

A

可逆且

A



A

T

，则有



A



1







A

T





< br>A



1

，

即

A



1

为实对称矩阵．

设

< br>A

的特征值为



1

,



2

,

< br>



n

，

因为

A

是正定矩阵正定，

所以



i



0(

i



1,2,

< /p>

n

)

．

故

T



1

A

< p>


1

的特征值



1



1



0,



2



1



0,





n



1



0

，因此

A



1

也是正定矩阵．

< p>
再证

A

*

是正定矩阵．< /p>

由

A



A

A

，



< p>
A

A

*



1



1

T





A



A



1

T

< /p>



A



A

T





1

< p>


A

A

可得



A



1

< br>*

T





A

*

，

即

A

*

是实对

称矩阵．因为

A

的特征值

*

A



1



0,

A



2



0,



A



n



0

，所以

A

*

是正定矩阵．

性质

6

[1 ]

若

A

是正定矩阵，则对于任意整数< /p>

k

，

A

k

都

是正定矩阵．

证明

当

k< /p>



0

时，

A

k



E

显然是正定 矩阵．

当

k



0

时，由于

k





k

，而

A

k





A< /p>



1



，有性质 ３可知，

A



1

也是正定矩阵，故

下面只需假定

k

为 正整数即可．

k



< br>k







k

T

Ⅰ

当

k

为偶数时，由于

A

< br>

A

，且

A





A

2





A

2

< /p>

，由正定矩阵的等价条件

(6)









T

< p>
k

可知

A

k

是正定矩阵．

Ⅱ

当

k

为奇数时，由于

A

是正定矩阵，故存在实可逆矩阵

C

， 使

A



C

T< /p>

C

．

由此可得 ：

A

k



A< /p>

k



1

2

AA

k



1

2



A

C

T

CA

k



1

2

k



1

2



1



1



k

2< /p>





k

2







CA





CA



< p>
，从而仍由正定矩阵的









T

等价条件

(6)

可知，

A

k

是正定矩阵．

4

性质

7

[4]

设

A

为

n

阶正定矩阵，则

A



a

11

a

22



a

nn

，其中

a

ii



i



1,

2,



,

n



为

A

的主

对角元素

.



A

1

证明

设

A

=



T



< /p>

T







a

1

n

,

< p>
a

2

n

,



a

n



1,

n



．

，

其中

为

的

阶顺序主子式，

A

n



1

A

1



a

nn







那么

0





A

1< /p>



E

n



1







< p>
T

A



1

1







T

1







a

nn







0



< /p>



E

n



1



A

1

< p>


1





A

1



=



1





0



，

a< /p>

nn





T

A

1



1







0

两边取行列式得

：

A



A

1





a

nn

< p>




T

A

1



1





，

A



0

．由上式可知

< br>因为

A

是正定矩阵，所以

A

1

，

A

1



1

都是正定矩阵，那么



T

A

1



1





0

，

A



A

1



a

nn

．

< p>
同理

A

1



A

2



a

< br>n



1,

n



1

，其中

A

2

为

A

的

n



2

级顺序主子式阵，这样继续下去 可得

A



A

1



a

nn< /p>



A

2



a

n

-1,

n

-1

a

nn







a

11

a

22



a

< p>
nn

.

性质

8

[5]

任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正

< br>线性组合也是正定矩阵．

证

明

设

A

,

B

都

是

正

定

矩

阵

，

又

设

< br>a

,

b



0

．

由

A

,

B

是

正

定

矩

阵

，

可

得

A



A

T

,

B



< br>B

T

．则有

< br>

aA



bB

< br>

T



aA

T



bB

T



aA



bB

，

所以

aA



bB

是实对称矩阵．因为对任意

X



0(

X

< /p>

R

n

)

有

X

T

(

< p>
aA



bB

)

< p>
X



aX

T

AX



bX

T

BX

，

由

性

质

4

可

知

a

A

是

正

定

矩

阵

，< /p>

则

有

a

X

T

A

X



< p>
0

，

bX

T

BX



0

．

所

以

,

b

B

X

T

(

a

A



b

)< /p>

B



X

0

．因此

aA



bB< /p>

是正定矩阵．

多于两个矩阵的情形可按 同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：

（

1

）当

n



< p>
2

时已证明命题成立；

（

2

）假设

n



k



1

时命 题成立，现证明

n



k



1

时命题也成立．

设

A

1

,

< p>
A

2,





A

k

,

A

< br>k



1

是同阶正定矩阵，

a

1

,

a

< p>
2

,



,

a

k

,

a

k



1



0

．对任意

X



0(

X



R

n

)

有

5

X

T

(< /p>

a

1

A

1







a

< p>
k

A

k



a

k



1

A

k



1

)

X



a

1< /p>

X

T

A

1

X







< p>
a

k

X

T

A

k

X



a

k



1

X

T

A

k

< /p>

1

X



0

，

其中每一项均为正．所以当

n



k



< br>1

时，结论成立．

综合

（

1

）

（

< p>
2

）可知，对于一切的自然数

n

< br>，多个正定矩阵的正线性组合必为正定

矩阵．

性质

9

[8]

如果

A

是正定矩阵，

< br>m

是任意实数，则存在正定矩阵

B

，使得

A



B

m

．





1



0





，其中



证明< /p>

由于

A

是正定 矩阵，所以存在正交矩阵

Q

，使

Q

T

AQ











0

< p>






n







1

,



,



n



0

，所以





1



0



A



Q











Q

T

< br>．







0







n







m



1



令

B



Q









< br>0

0





T

m



Q

，则

A



B< /p>

，结论得证

．



m



n



三、

正定矩阵的有关定理



A

0



< br>定理

2

[5]

若

A

，

B

都是正定矩阵，则





是正定矩阵 ．

0

B

< /p>



由定理

2

的推 广，可以得到如下推论：

0



l

1

A



< p>
l

2

B



(

l

i



0,

i



1,2,3,4)

推论

2

若

A

，

B

，

C

，

D

都是正定矩阵，

则





0

l

3

C



l

4

D



< br>

是正定矩阵．



< p>
A

1



推论

3

若

A

< br>1

,

A

2

,



,

A

s

都是正定矩阵，则









A

2







是正定矩阵．







< br>A

s



定理

3

[5]

正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵．

证明

设

B< /p>

为

n

阶正定矩阵，

A

为

n

阶实对称矩阵且与

< p>
B

合同．

由正定矩阵的 等价条件可知，

B

与单位矩阵

E

n

合同．

又因为

A< /p>

与

B

合同，

那么

A

也

与单位矩阵

E

n

合同，即

A

为正定矩阵．

6

定理

4

[5]

若

A

,

B

是实对称矩阵，

A

的特征值全大于

a

，

B

的特征值全大于

b

．若

a

< /p>

b



0

，则

A



B

是正定矩阵 ．

证明

性 质

5

已证得

A



B

是实对称矩阵，且由已知条件可知

A



aE

，

B



bE

都是

正 定矩阵，由性质

5

可得

(

A



aE

)



(

B



bE

)

是正定矩阵．

< p>
设



是

A



B

的任一特征值，则



E



(

A



B

)









< br>(

a



b

)



E





(

A



aE< /p>

)



(

B



bE

)



，

这表明





(

a



b

)

是

(

< br>A



aE

)



(

B



bE

)

的特征值．由于

(

A



aE

)



(

B



bE

)

是正定矩阵，

故

< p>




(

a



b

)



0

，所以





(

a



b

)



0

，即

A



B

的特征值全大于

< br>0

，从而

A



< br>B

为正定矩

阵．

推论

4

设< /p>

A

1

,

A

2

,



,

< p>
A

s

都是实对称矩阵，

A

i

的特征值均大于

a

< br>i

(

i



1,

2,



,

s

)

．若



a

i



1

s< /p>

i



0

，则

A

1



A

2







A

s

是正定矩阵．

定理

5

[9]

若

A

,

B

是正定矩阵，则

AB

是正定矩阵的充要条件是

AB



B A

．

证明

必要性：设

AB

是正定矩阵，则

AB

是实对称矩阵，从而

< br>AB





AB

< br>



B

T

A

T



BA

．

T

充分性：由

AB



BA

知，

< br>

AB





B

T

A

T



BA



AB

，故

AB

是实对称矩阵．

< p>
由于

B

正定，存在可逆矩阵

P

使得

B



P

T

P

，从而

AB



AP

T

P



P



1

PAP

T

P



P



1

(

PAP

T

)

P

，

T

即

AB

与

PAP

< p>
T

相似，因而

AB

与

PAP

T

有相同的特征值．因为

< p>
A

正定，故

PAP

T

也正定，

PAP

T

的特征值全大于零，故

AB

的特征值全大于零，所以

< p>
AB

是正定矩阵．

定理

6

[7]

若

A

是实对称矩阵，且

A

可逆，则

A

2

是正定矩阵．

证明

由已知可知，

A

T



A

，



A

2



< /p>



A

T





A

2

，则

A

2

是实对称矩阵

.< /p>

又因为

T

2

< /p>

A



1



A

2

A



< p>
1



E

，故

A

2

与

E

< br>合同，从而

A

2

是正定矩阵正定

.

对定理

6

推广，可以得到如下推论：

推论

5

< /p>

若

A

是实对称矩阵，且

< br>A

可逆，则

A

2

k

(

k



Z



)

是正定矩阵

.

注

：

当

< br>A

满

足

推

论

４

的

条

件

时

，

A

2

k



1

(

k



Z



)

不

一

定

< br>是

正

定

矩

阵

．

例

如

7

T

-

-

-

-

-

-

-

-