《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
-
《利用函数性质判定方程解的
存在》教学设计
单元课题：函数与方程
一
、
课标要求与教材分析
这一节，是用函
数来研究方程，具体研究
的是方程的实数解，先是判断方程实数解的存
< br>在性，然后是求方程的近似解。方程
f(x)=0
的
实数解就是函数
f(x)
的零点，解方程的
过
程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间
的过程。
这样容易看出函数对方程的统领作用，
使学
生感受函数的核心地位。学生将通过本节
学习，结合实际问题，感受运用函数概念简历<
/p>
模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学
科中的重要性，初步
运用函数思想理解和处理
现实生活中的简单问题。学生还将学习利用函
< br>数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的
有机联系，并为今后进一步学习函数
与不等式
等知识奠定了坚实的基础．
二、
学情分析
高一学生在函数的学习中，
常表现出不适，
主要是数形结合与
抽象思维尚不能胜任．具体
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表现为
将函数孤立起来，认识不到函数在高中
数学中的核心地位．
<
/p>
例如一元二次方程根的分布问题，学生自
然会想到韦达定理，而不
是看二次函数的图
象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应
用的意识的初步树立，就成了本节内容必须承
载的任务．
通过本节学习要让学生意识到“数学可以
解决实际问题”并且也认识
到“自己的数学知
识还有待进一步提高”。
三、
教学目标
1
．
知识与技能目标：
（
1
）正确认识函数与方程的关系，求方程
f(x)=0
的实数解就是函数
f(x)
的零点，<
/p>
体会函数知识的核心作用。
（
2
）
能够利用函数的性质判定方程解得存
在性
（
3
）能够用二分法求方程的近似解，认识
求方程近似解方法的意义。
第
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2
．
过程与方法目标：
在近似计算的学习
中感受近似，逼近和算
法等数学思想的含义和作用。
3
．
情感、态度和价值观目标：
通过本节
的学习，
进一步拓展学生的视野，
使他们体会数学不同内容之间
是存在一定
联系的。
课时课题：利用函数性质判定方程解的存在
一、教学目标：
（
< br>1
）知识与技能目标
了解函数
零点的概念；
理解函数零点与
方程的根之间的关系；
掌握判断函数零点存
在的方法；
（
2
）过程与方法目标
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培养学生独立思考
,
自主观察和探究的
能力；树立数形结合，函数与方程相结合
的思想；
（
< br>3
）情感态度与价值观目标
培
养学生用联系的观点看待问题；
感悟由
具体到抽象、由特殊到一
般地研究方法，
形成严谨的科学态度。
二、教学重点
：函数零点与方程根之间的联系
及零点存在的判定定理
三、教学难点：探究发现零点存在条件，准确
理解零点存在性定理
四、教学方法与手段：实例引入、探究新知、
实践探索、总结提炼、总结、反思。
五、使用教材的构想
：倡导积极主动，勇于探
索的学习方式，运用数形结合、教师引导——
< br>学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、
感受来获取知识，培养学生观察、发
现、抽象
与概括、运算求解等思维过程。
六、教学流程
（一）设置情景，导入新课
1
、实例引入
解方程：
（
1
）
2
-
x
=4
；
（
2
）
2
-
x
=
x
．
设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解
决的方
程，引起学生认知冲突，激起探求知的热情．
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2
、
一元二
次方程的根与二次函数图象之间的关
系．
填空：
方程
x
2
-2
x<
/p>
-3=0
x
2
-2
x
+1=0
x
< br>2
-2
x
+3=0
x
1
=-1
，
根
x
1
=
x
2
=1
无实数根
x
2
=3
函数
y
=<
/p>
x
2
-2
x
-3
y
=
x
2
-2
x
+1 <
/p>
y
=
x
2
-2
x
+3
y
4
2
O
y
4
2
y
4
2
-
-
图象
-
-
-
1
2
3
x
O
-
1
2
3
x
-
-
O
1
2
3
x
图象
与<
/p>
x
轴的
交点
归纳：
两个交点：
(-1,0)
，
(3,0)
一个交点：
(1,0)
没有交点
问题
1
：从该表你可以得出什么结论？
判别式Δ
方程
Δ
＞
0
两个不
Δ
＝
0
有两个
相等的
Δ
＜
0
没有实
数根
ax
2
+
bx
+
c
=0
相等的
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(
a
>0)
的根
<
/p>
函数
y
=
ax<
/p>
2
+
bx
+
c
(
a
>0)
的图
象
函数的图
象与
x
轴的
交点
实数根
x
1
、
x
2<
/p>
实数根
x
1
=
x
2
y
y
y
x
O
x
x
x
1
x
2
O
O
x
两个交
点：
(
x
1
,0)
，
(
x
2
,0)
一个交
点：
(
x
1
,0)
无交点
问题
2
：
一元二次方程的根与相应的二次函数的
图象之间有怎样的关系？
学生讨论，得出结论：一元二次
方程的根
就是函数图象与
x
轴交点的横
坐标．
设计意图：通过回顾二次函数图象与
< br>x
轴的交
点和相应方程的根的关系，为一般
函数的图像及相应方程的根的关系
作准备．
3
、一般函数的图象与方程根的关系．
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问题
3
：<
/p>
其他的函数与方程之间也有类似的
关系吗？请举例！
师生互动，在学生提议的基础上，老师加
以改善，
现场在课件上展示类似如下函数的图
象：
y
＝
2
x
－
4
，
y
＝
2<
/p>
x
－
8
，
y
＝
ln(
x
－
2)
，
y
＝
(
x
－
1)(
x
＋
2)(
x
－
3)
．比较函数图
象与
x
轴的交点
和相应方程的根的关系
，
从而得出一般的结论：
方程
f
(
x
)
＝
0
有几个根，
y
＝
f
(
x
)
的图象与
x
轴就有几个
交点，且方程的根就是交点的横坐
标．
设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般
函数，为得到零点概念做好铺垫．
（二）引导探究，获得新知
1
、函数零点．
概念：
对于函数
y
＝
f
(
x
)
< br>，
把使
f
(
x
)
＝
0
的实
数
x
叫做函数
y
＝
f
(
x
)
的零点．
即兴练习：函数
f
(
x
)=
x
(
x
2
－
16)
的零点为
(0
，
0)
，
(4
，
0)
D
．
–
4
，
0
，
4
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（
）
A
．
(0
，
0)
，
(4
，
0)
B
．
0
，
4
C
．
(
–
4
，
0)
，
设计意图：及时
矫正
“
零点是交点
”
< br>这一误解．
说明：①函数零点不是一个点，而是具体<
/p>
的自变量的取值．
②求函数零点就是求
方程
f
(
x
)
＝
0
的
根．<
/p>
2
、归纳函数的零点与方程根的关系．
问题
4
：
函数
的零点与方程的根有什么共同点和
区别？
（
1
）联系：①数值上相等：求函数的零点
可以转化成求对应方程的根；
②存在性一致：方程<
/p>
f
(
x
)
＝
0
有实数根
⇔
函数
y
＝
f
(
x
)
的
图象与
x
轴有交点
⇔
函数
y
＝
f
(
x
)
有零点．
（
2
）区别：零
点是对于函数而言，根是对
于方程而言．
以上关系说明：
函数与方程有着密切的联系，
函数问题有时
可转化为方程问题，同样，有些
方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是
函数与方程思想的基础．
练习：求下列函数的零点：
(1)<
/p>
f
(
x
)
x
3
x
4
(2)
f
(
x
)
lg(
x
4
x
4)
2
2
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