高等数学所有公式汇总
-
经济与管理学院第九届团支书联席会期末复习宝典
高等数学公式
导数公式：
(
tgx
)
sec
2
x
(
ctgx
)
csc
2
x
(sec
x
)
< br>
sec
x
< br>tgx
(csc
x
)
csc
x
ctgx
(
a
x
)
a
x
ln
a
1
(log
a
x
)
< br>x
ln
a
基本积分表：
(arcsin
x
)
1
1
x
2
1
(arccos
x
)
1
x
2
1
(
arctgx
)
<
/p>
1
x
2
1
(
arcctgx
)
1<
/p>
x
2
tgxdx
ln
cos
x
C
ctgxdx
ln
sin
x
< br>C
sec
xdx
ln
sec
x
tgx
C
csc
xdx
ln
csc
x
ctgx
C
dx
1
x
arc
tg
C
a
2
x
2
a
a
dx
1
x
a
ln
x
2
a
2
2
< br>a
x
a
C
dx
1
a
x
<
/p>
a
2
x
2
2
a
ln
a
x
C
dx
x
arcsin
C
a
2
x
2
a
2
< br>n
dx
2
cos
2
x
sec
xdx
tgx
C
dx
2
sin
2
x
csc
xdx
ctgx
C
sec
x
tgx
dx
sec
x
C
csc
x
ctgxdx
csc
x
C
a
x
a<
/p>
dx
ln
a<
/p>
C
x
shxdx
chx
C
chxdx
shx
C
dx
x
2
a
2
l
n(
x
x
2
a
2
)
C
2
I
n
sin
xdx
cos
n
xdx
0
0
n
1
I
n
2
n
< br>
x
2
a
2
2
x
a
dx
x
<
/p>
a
ln(
x<
/p>
x
2
a
2
)
C
2
2
x
2
a
2
2
2
2
x
a
dx
x
a
ln
x<
/p>
x
2
a
2
C
2
2
x
2
a
2
x
2
2
2
a
x
dx
a
x
arcsin
C
2
2
a
2
2
三角函数的有理式积分：
2
u
1
u
2
x
2
du
sin
x
，
cos
x
，
u
tg
，
dx
2
1
u
2
1
u
2
1
u
2
由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长罗嘉琪，副秘书长
唐云枫、覃舒婷、张寅浩、汤习文整理
经济与管理学院第九届团支书联席会期末复习宝典
一些初等函数：
两个重要极限：
e
< br>x
e
x
双曲正弦
:
shx
2
e
x
e
x
双曲余弦
:
chx
< br>2
shx
e
x
< br>
e
x
双曲正切
:
thx
chx
e
x
e
x
arshx
ln(
x
x
2
1
）
archx
ln(
x
x
2
1
)
1
1
x
arthx
ln
2
1
x
< br>
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角
A
-
α
90°
-
α
90°
+
α
180°
-
α
180°
+
α
270°
-
α
270°
+
α
360°
-
α
360°
+
α
sin
lim
sin
x
1
x
0
x
1
lim
(
1
)
x
e
<
/p>
2
.
7182818284
59045
...
x
x
cos
tg
-
tgα
ctgα
ctg
-
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
-
sinα
cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-
sinα
-
ctgα
-
tgα
-
cosα
-
tgα
-
sinα
-
cosα
tgα
-
cosα
-
sinα
ctgα
-
cosα
sinα
-
sinα
cosα
sinα
cosα
-
tgα
tgα
-
ctgα
-
tgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos(
<
/p>
)
cos
cos
<
/p>
sin
si
n
tg
(
)
tg
tg
1
tg
tg
ctg
ctg
1
ctg
(
)
ctg
ctg
sin
sin
2
sin
2
2
sin
sin
2
cos
sin
2
2
cos
cos
2
cos
cos
2
2
< br>cos
cos
2
sin
sin
2
2
cos
由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长罗嘉琪，副秘书长唐云枫、覃舒婷、张寅浩、汤习文整理
经济与管理学院第九届团支书联席会期末复习宝典
·倍角公式：
sin
2
2
sin
cos
cos
2
2
cos
2
1
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
ctg
2
1
ctg
2
2
ctg
2
tg
tg
2
1
tg
2
·半角公式：
sin
3
3
sin
4
sin
3
cos
3
4
cos
3
3
cos
3
tg
tg
3
tg
3
1
3
tg
2
si
n
tg
2
1
cos
1
cos
cos
2
2
2
1
< br>cos
1
< br>cos
sin
1
cos
1
cos
sin
ctg
1
cos
sin
1
cos
2
1
cos
sin
1
cos
a
b
c
2
R
·余弦定理：
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
sin
A
sin
B
sin
C
2
·正弦定理：
·反三角函数性质
：
arcsin
x
< br>
2
arccos
x
arctgx
2
arc
ctgx
高阶导数公式——莱布尼
兹（
Leibniz
）公式：
(
uv
)
(
n
)
k
(
n
k
)
< br>(
k
)
C
n
u
v
k
0
n
u
(
n
)
v
nu
(
n
1
)
v
n
(
n
1
)
(
n
<
/p>
2
)
n
(
n
1
)
(
n
k
1
)
(
n
k
)
(
k
)
u<
/p>
v
u
v
uv
(
n
)
2
< br>!
k
!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值
定理：
f
(
b
)
f
(
a<
/p>
)
f
(
)(
b
a
)
f
(
b
)
< br>f
(
a
)
f
(
)
柯西中值定理：
F
< br>(
b
)
F
(
a
)
F
(
)
曲率：
当
F
(
x
)
x
时，柯西中值定理就是
拉格朗日中值定理。
由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长罗嘉琪，副秘书长唐云
枫、覃舒婷、张寅浩、汤习文整理
经济与管理学院第九届团支书联席会期末复习宝典
弧微分公式：
ds
< br>
1
y
2
dx
,
其中
y
t
g
平均曲率：
K
.
:
从
M<
/p>
点到
M
点，切
线斜率的倾角变
化量；
s
：
M
M
弧长。
s
y
d
M
点的曲率：
K
lim
.
2
3
s
0
s
ds
(
1
y
)
直线：
K
0
;
1
半径为
a
的圆：
K
.
a
定积分的近似计算：
< br>
b
矩形法：
f
(
x
)
a
b
b
a
(
y
0<
/p>
y
1
y
n
1
)
n
b
a
1
[
(
y
0
y
n
)
<
/p>
y
1
y
n
1
]
n
2
b
a
[(
< br>y
0
y
n
)
2
(
y
2
y
4
y
n
2
)
4
(
< br>y
1
y
3
y
n
1
)]<
/p>
3
n
梯形法：
f
(
x
)
a
b
抛物线法：
f
(
x
)
a
定积分应用相关公式：
功：
< br>W
F
s
水压力：
F
p
A
m
m
引力：
F
k
1
2
2
,<
/p>
k
为引力系数
r
b
1
函数的平均值：
y
f
(
x
)
dx
b
a
a
1
2
均方根：
f
(
t
)
dt
b
a
a
空间解析几何和向量代数：
b
由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长罗嘉琪，副秘书长唐云枫、覃舒婷、张寅浩、汤习文整理< /p>
经济与管理学院第九届团支书联席会期末复习宝典
空间
2
点的
距离：
d
M
1
M
2
(<
/p>
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(
z
2
z
1
)
2<
/p>
向量在轴上的投影：
Pr
j
u
AB
AB
cos
,
是
AB
与
u
轴的夹角。
Pr
j
u
(
a
1
< br>
a
2
)
Pr
j
a
1
Pr
j
a
2
a
b
a
b
cos
a
x
b
x
< br>a
y
b
y
a
z
b
z
,
是一个数量
,
两向量之间的夹角：
cos
i
c
a
b
a
x
< br>b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
a
y
b
y
a
z
b
z
a
x
a
< br>y
a
z
b
x
b
y
b
z
2
2
2
2
2
2
k
< br>
a
z
,
c
a
b
sin
.
例
：线速度：
v
w
r
.
b
z
a
y
b
y<
/p>
c
y
a
z
b
z
a
b
c
cos
,
为锐角时，
c
z
a
x
向量的混合积：
[
a
b
c
]
(
a
b
)
c
b
x
c<
/p>
x
代表平行六面体的体积
。
平面的方程：
1
、点法式
：
A
(
x
<
/p>
x
0
)
B
(
y
y
0
)
C
(
z
z
0
)
0
，其中
n
{
A
,
B
,<
/p>
C
},
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
2
、一般方程：
Ax
By
Cz
D
0
x
y
z
3
、截距世方程：
1
a
b
c
平面外任意一点到该平
面的距离：
d
Ax
0
By
0
Cz
0
D
< br>A
2
B
2
C
2
x
x
0
m
t
x
x
0
y
y
0
z
< br>
z
0
空间直线的方程：
t
,
其中
s
{
m
< br>,
n
,
p
};
参数方程：
y
y
0
nt
m
n
p
z
z
pt
0
二次
曲面：
x
2
y
2
z
2
1
、椭
球面：
2
2
2
1
a<
/p>
b
c
x
2
y
2
2
、抛物面：<
/p>
z
（
,
p
,
q
同号）
2
p
2
q
3
、双曲面：
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面：
2
2
2
1
a
b
c
x
2
y
2
< br>z
2
双叶双曲面：
2
2
2
（马鞍面）
1
a
b
c
多元函数微分法及应用
由各班团支书
搜集，团支书联席会秘书长罗嘉琪，副秘书长唐云枫、覃舒婷、张寅浩、汤习文整理
经济与管理学院第九届团支书联席会期末复习宝典
全微分：
dz
z
z
u
u
u
dx
dy
du
<
/p>
dx
dy
<
/p>
dz
x
y
x
y
z
全微分的近似计
算：
z
d
z
f
x
(<
/p>
x
,
y
)
x
f
y
(
x
,
y
)
y
多元复合函数的求导法
：
dz
<
/p>
z
u
z
v
z
f
[
u
(
t
),
v
< br>(
t
)]
dt
u
t
v
t
z
z
u
z
v
z
f
[
u
< br>(
x
,
y
),
v
(
x
,
y
)]
x
u
x
v
x
当
u
u
(
x
< br>,
y
)
，
v
v
(
x
,
y
)
时，<
/p>
du
u
u
v
v
dx
dy
dv
dx
dy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：
F
x
F<
/p>
F
dy
dy
d<
/p>
2
y
隐函数
F
(
x
,
y
)
0
，
，
2
(
x
)
＋
(
x
)
dx
F
y
x
F
y
y
F
y
dx<
/p>
dx
F
y
F
z
z
隐函数
F
(
x
,
y
,
z
)
0
，
x
，
x
F
z
y
F
z
F<
/p>
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
0
(
F
,
G
)
u
隐函数方程组：
J
G
(
u
,
v
)
G
(
x
,
y<
/p>
,
u
,
v
)
0
u
u
1
(
F
,
G
)
v
1
(
F
,<
/p>
G
)
x
J
(
x
,
v
)
x
< br>J
(
u
,
x
)
u
1
(
F
,
G
)
v
1
(
F
,
G
)
< br>
y
J
(
y
,
v
)
<
/p>
y
J
(
u
,
y
)
微分法在几何上的应用：
F
v
F
u
G
G<
/p>
u
v
F
v
G
v
x
(
t
)
x
x
y
y
0
z
z<
/p>
0
空间曲线
y
(
t
)
在点
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
处的切线方程：
0
(
t
)
(
t
)
(
t
0
)
0
0
<
/p>
z
(
t
)
在点
M
处的法平面方程：
(
t
0
)(
x
x
0
)
(
t
0
)(
y
y
0
)
(
t
0
)(
z
z
0
)
0
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
F
< br>(
x
,
y
,
z
)
0
若空间曲线方程为：
,
则切向量
T
{
,
,
G
G
G
x
G
x
y
z
G
z
G
(
x<
/p>
,
y
,
z
)
0
曲面
F
(
x
,
y
,
z
)
< br>
0
上一点
M
< br>(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
，则：
1
、过此点的法向量：
n
{
F
x
(
< br>x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
F
y
(
x<
/p>
0
,
y
0
,
z
0
),
F
z
(
x
0
,
y
0
< br>,
z
0
)}
x
x
0
y
y
0
z<
/p>
z
0
3
、过此点的法线方程：
< br>F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
< br>z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
方向导数与梯度：
由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长罗嘉琪，副秘书长唐云枫、覃舒婷、
张寅浩、汤习文整理
F
y
}
G
y
2
、过此点的切平面方程
：
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
x
x
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
y
y
0
)
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
< br>)(
z
z
0
)
0
经济与管理学院第九届团支书联席会期末复习宝典
f
f
f
函数
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
沿任一方向
l
的方向导数为：
cos
sin
l
x
y
其中
为
x
轴到方向
l
的转角。
f
f
i
j
x
< br>y
f
它与方向导数的关系是
：
grad
f
(
x
,
y
)
e
，其中
e
cos
i
sin
j
，为
l
方向上的
l
单位向量。
f
是
grad
f
(<
/p>
x
,
y
)
在
l
上的投影。
<
/p>
l
函数
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
的梯度：
grad
f
(
x
,
y
)
多元函数的极值及其求法：
设
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f<
/p>
y
(
x
0
,
y
0
)
0
，令：
f
xx
(
x
0
,
y
0
)
< br>
A
,
f
xy
(
x
0
,
y
0
)<
/p>
B
,
f
yy
(
x
0
,
y
0
)
C
< br>
A
0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极大
值
2
AC
B
0
时，
<
/p>
A
0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极小值
2
则：
值
AC
B
< br>0
时， 无极
AC
B
2
0
时
,
不确定
重积分及其应用：
f
(
x
,
y
)
dxdy
f
(
r
cos
,
r
sin
)
rdrd
D
D
曲面
z
f
(
x
,
y
)
的面积
A
D
< br>z
z
1
dxdy
<
/p>
x
y
2
2
平面薄片的重心：
x
M
x
M
x
(
x
,
y
)
d
D
(
x
,
< br>y
)
d
D
D
,
y
M
y
M<
/p>
y
(
x
,
y
)
d
D
(
x
,
y
)
d
D
D
平面薄片的转动惯量：
对于
x
轴
I
x
y
2
(
x
,
y
)
d
< br>
,
对于
y
轴
I
y
x
2
(
x
,
y
)
d
平面薄片（位于
< br>xoy
平面）对
z
轴上质点
M
(
0
,
0
,
a
),
(
a
0
)
的引力：
F
{
F
x
,
< br>F
y
,
F
z
}
，其中：
F
x
f
D
(
x
,
y
)
xd
<
/p>
(
x
y
a
)
2
2
2
2
，
F
y
f
3
D
< br>(
x
,
y
)
yd
(
x
y
a<
/p>
)
2
2
2
2
，
F
z
fa
3
D
(
x
,
y
)
xd
(
x
< br>
y
a
)
2
2
3
2
2
柱面坐标和球面坐标：
由各班团支书搜集，团支书联席会秘书长罗嘉琪，副秘书长唐云枫、覃舒婷、张寅浩、汤习文整理< /p>