高中数学常用公式及定理
-
高中数学常用公式及定理
< br>1
．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生
，对提升数
学成绩将会起到很大的作用。
2
．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟
记。
1.
元素与集合的关系：
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U
A
x
A
.
2.
德摩根公式：
C
< br>U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
< br>B
.
3.
包含关系
A
B
A
A
B
B
A
B
C
U
B
C
U
A
< br>
A
C
U
B
C
U
A
B
R
4.
容斥原理
card
(
A
B
)
cardA
cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
cardA<
/p>
cardB
cardC
card
(
A
B
)
< br>
card
(
A
B
)
card
(
B
C
)
< br>
card
(
C
A
)
card
(
A
B
C
< br>)
.
5
．集合
{
a
1
,
a
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
－
1
个；非空子集有
2
n
－
1
个；非
空的真子集有
2
n
－
2
个
.
6.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
<
/p>
c
(
a
0)
；
(2)
顶点式
f
(
x
)
a
(
x<
/p>
h
)
2
k
(
a
0)
；
(3)
两根式
f
(
x
)
a
(
x
x
< br>1
)(
x
x
2
)(
a
0)
.
7.
解连不等式
N
f
(
x
)
M
常有以下转化形式：
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
M
][
f
(
x
)
N
]
0
；
8.
方程
f
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
< br>)
上有且只有一个实根
,
与
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
< br>不等价
,
前者是后者的一个
必要
而不是充分条件
.
特别地
,
方程
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
有且只有一个实根在
(<
/p>
k
1
,
k
2
)
内
,
k
k
等价于
“
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
”
或
“
f<
/p>
(
k
1
)
0
且
k
1
b
k
1
k
2
”
或
“
f
(
k
2<
/p>
)
0
且
1
2
b
k
2
”
2
a
2
2
2
a
9.
闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f
(
x
)
ax
2
bx
c<
/p>
(
a
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只
能在
x
端
点处取得，具体如下：
1
b
处及区间的两
2
a
b
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
min
f
(
),
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
a
2
a
b
若
x
<
/p>
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
< br>
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
b
(2)
当
a<0
时，若
x
p
,
q
，则<
/p>
f
(
x
)
min
min
<
/p>
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
a
b
若
x
< br>
p
,
q
，
则
f
(
x
)<
/p>
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
(1)
当
a>0
时，若
x
10.
一元二次方程的实根分布
依据：若
f
(
m
)
f
(
n
)
0
，则方程
f
(
x
< br>)
0
在区间
< br>(
m
,
n
)
内至少有一个实根
.
设
f
(
x
)
x
2
px
q
，则
p
< br>2
4
q
0
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
<
/p>
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
m
.
2
<
/p>
f
(
m
)
0
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
2
p<
/p>
4
q
0
m
p
n
2
（
2
）
方
程
f
(
x
)<
/p>
0
在
区
间
(
m
,
n
)
内
有
根
的
充
要
条
件
为
f
(
m
)
f
(<
/p>
n
)
0
或
或
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
或
.
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
< br>
p
p
m
n
m
n
2
2
（
3
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
,
n
)
内有根的充要条件为
f
<
/p>
p
2
4
q
0
.
(
n
)
0
或
p
n
2
f
(
n
)<
/p>
0
11.
定区
间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：
(1)
在给定区间
(
,<
/p>
)
的子区间
L
（形如
,
，
<
/p>
,
，
,
不同）上含参数
的二次
不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参
数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
)
min
0(
x
L
)
< br>.
(2)
在给定区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
< br>为参数
)
恒成立的充要
条件是<
/p>
f
(
x
,
t
)
man
0(
x
L
)
.
b
b
0
0
(3)
f
(
x
)
ax
bx
c
0
(
a
<
/p>
0)
恒成立的充要条件是
2
a
或
< br>.
2
a
b
2
4
ac
0
c
0
4
2
12.
真值表
2
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
真
真
真
真
真
假
真
假
假
假
13.
常见结论的否定形式
原结论
是
都是
大于
反设词
不是
不都是
不大于
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n
1
）
个
至少有（
n
< br>
1
）
个
p
且
q
小于
不小于
存在某
x
，
不成
立
存在某
x
，
成
立
至多有
n
个
对所有
x
，成立
对任何
x
，不成
< br>立
14.
四种命题的相互关系
p
或
q
p
且
q
p
或
q
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
15.
充要条件
（
1
）
充分条件：若
p
q
< br>，则
p
是
q
充分条件
.
3
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（<
/p>
3
）充要条件：若
p
q
，且
q
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
16.
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,
x
1
<
/p>
x
2
那么
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
< br>)
f
(
x
2
)
0
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
< br>x
)
在
a
,
b
上
是增函数；
x
1
x
2
f
(
x
1
)
<
/p>
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
x
1
x
< br>2
(2)
设函数
y
f
(
x
< br>)
在某个区间内可导，如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为增函数；如果
f
(
x
)<
/p>
0
，
则
f
(
x
)
为减函数
.
17.
如果
函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是减函数
,
则
在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)
也是减函数；如
果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域上都
是减函数
,
则复合函数
y
f
[
g
< br>(
x
)]
是增
< br>函数
.
18
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称；反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一
个函数图象关于
y
轴对称，那么这个
函
数是偶函数．
19.
若函数
y
f
(
x
)
是偶函数，则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
；
若函数
y
f
(
x
a
)
是偶
函数，则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
，并且
y
f
(
x
)
关于
x
a
对称
.
20.
对
于
函数
y
f
(
x
)
(
x
< br>R
),
f
(
x
a
)
f
(
b
<
/p>
x
)
恒
成
立
,
则
函数
f
(
x
)
的
对
称
轴是
函
数
a
b
b
a
;
两个函数
y
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的图象关于直线
x
对称
.
2
2
a
21.
若
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
则函数
y
f
(
< br>x
)
的图象关于点
(
,
0
)
对称；若
f
(
x
)
f
(
< br>x
a
)
,
则函
2
x
数
y
f<
/p>
(
x
)
为周期为
2
a
的周期函数
.
22
．多项式函数
P
(
x
)
a
n
x
n
a
n
1
x
n
1<
/p>
a
0
的奇偶性
多项式函数
P
(
x
)
是
奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇数项
)
的系数全为零
.
4
多项式函数
P
(
x
)
是偶函数
< br>
P
(
x
)
的奇次项
(
即偶数项
)
的系数全为零
.
23.
函数
y
f<
/p>
(
x
)
的图象的
对称性
(1)
函数
< br>y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
对称
f
(
a
x
)
f
(
a
x
)<
/p>
f
(2
a
x
)
f
(
x
)
(2)
函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
b
对称
f
(
a
mx
)
f
(
b
mx
)
f
(
a
b
mx
)
f<
/p>
(
mx
)
2
m
24.
两个函
数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
< br>x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
< br>b
mx
)
的图象关于直线
x
a
b
对称
.
2
m
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
< br>
f
1
(
x
)
的图象关于直线
y=x
对称
.
25.
若将函数
y
f<
/p>
(
x
)
的图象右
移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
< br>)
b
的图象；
若将曲线
f
(
x
,
y
)
< br>
0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f
(
x
a<
/p>
,
y
b
)
0
的图象
.
26
．互为反函数的两个函数的关系：<
/p>
f
(
a
)
b
f
1
(
b
)
a
.
< br>27.
若函数
y
f
(
kx
b
)
存在反函数
,
则其反函数为
y
1
[
f
1
(
x
)
b
]
，
并不是
y
f
< br>1
(
kx
b
)
，
而
k
函数
y
f
1
(
kx<
/p>
b
)
是
y
[
f
(
x
)
b
]
的反函数
.
28.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx
,
具有性质：
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
< br>x
,
具有性质：
f
(
x
y
< br>)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
具有性质：
f
(
xy
< br>)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(<
/p>
a
)
1(
a
0,
a
1)
.
(4)<
/p>
幂函数
f
(
x<
/p>
)
x
,
具有性质：
f
(<
/p>
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
'
(1)
.
(5)
余弦函数
f<
/p>
(
x
)
cos
x
,
正弦函数
g
(
x
)
sin
x
，
具有性质：
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
)
g
(
x
< br>)
g
(
y
)
，
f
(
0)
1,lim
x
< br>
0
1
k
g
(
x
)
1
.
x
2
9.
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）<
/p>
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
< br>的周期
T
a
< br>；
（
2
）
f
(
x
a
)
f
(
x
)
或
f
(
x
a
)
< br>期
T
2
a
；
5
1
1
(
f
(<
/p>
x
)
0)
,
则
f
(
x
)
的周
(
f
(
x
)
0
)
或
f
(
x
a
)
<
/p>
f
(
x
)
f
(
x
)
(3)
f
(
x
a
)
1
,(
f
(
< br>x
)
1)
，则
f
(
x
)
的周期
T
3
a
；
1
f
(
x
)
(4)
f
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
< br>
f
(
x
2
)
且
f
(
a
)
1(<
/p>
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
1,0
|
x
1
x
2
|
2
a
)
，
1
<
/p>
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
则
f
(
x
)
的周期
T
4
a
；
(5)
f
(
x
a
)
f
(
x<
/p>
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T
6
a
.
30.
分数指数幂
(1)
a
a
（
a
0,
< br>m
,
n
N
，且
n
1
）
；
(2)
a
31
．根式的性质
m
n
n
m
m
n
1
a
m
n<
/p>
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
a
,
a
< br>
0
（
1
）
(
n
a
)
n
a
.
（
2
）当
n
为奇数时，
n
a
n<
/p>
a
；
当
n
为偶数时，
n
a
n
|
a
|
.
a
,
a
0
32
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
；
(2)
(
a
r
)
s
a
rs
(
a
< br>
0,
r
,
s
Q
)
；
(3)
(
ab
)
r
a
r
b
r
(
a
0,
b
0,
r
Q
)
33.
指数式与对数式的互化式
log
a
N
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
34.
对数的换底公式
log
a
N
log
m
N
(
a
0
,
且
a
1
< br>,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
推
论
log
a
m
b
n
n<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
35
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
< br>1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;(2)
log
a
M
log
a
M
log
a
N
;(3)
log
a
M
n
n
log
a
M
(
n
R
)
.
N
36.
设函数
f
(
x
)
log
m
(
ax
2
bx
c
)(
a
0
)
，记
< br>
b
2
4
ac
.
若
f
(
x
)<
/p>
的定义域为
R
,
则
a
0
，<
/p>
且
0
；若
f
(
x
)
的值域为
R
,
则
a
0
，且
0
.
【对于
a
0
的情形，需要单独检验
.
】
37.
平均增长率的问题
(
p
)
如果原来产值的基础数为
N
，
平均增长率为
p
，
则对于时间
x
的总产值
y
，
有
y
N
1
x
.
n
1
S
< br>1
,
38.
数列的通项公式
a
n
与前
n
项的和
S
n
的关系<
/p>
a
n
.
S
S
,
n
2
n
1
n
6
39.
等差数列的通项
公式：
a
n
a
1
(
n<
/p>
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
*
)
；
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n<
/p>
1)
d
1
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n
.
2
2
2
2
其前
n
项和
S
n
公式为：
S
n
40.
等比数列的通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q
(
< br>n
N
*
)
；
q
a
1
(1
<
/p>
q
n
)
a
1
a
n
q
,
q
1
,
q
1
其前
n
项的和公式为：
S
n
1
< br>
q
或
S
n
1
q
.
na
,
q
1
na
,
q
1
1
1
41.
等比差数列<
/p>
a
n
:
a
n
1
qa
n
d
,
a
< br>1
b
(
q
0)
的通项公式为
b
< br>(
n
1)
d
,
q
1
【用待定系数法来求】
；
a
n
bq
n
(
d
b
)
q
n
1
d
,
q
1
q
1
<
/p>
42
．常见三角不等式
（
1
）若
x
(0,
< br>)
，则
sin
x
x
tan
x
；
(2)
若
x
(0,
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
2
2
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
4
3.
同角三角函数的基本关系式：
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
s
in
，
tan
cot
1
.
cos
44.
正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
。
n
n
<
/p>
2
n
(
1)
sin
,
n
为偶数
，
(
1)
2
co
s
,
n
为偶数
n
sin(
)
co
s(
)
n
1
n
1
2
2
(
<
/p>
1)
2
co
s<
/p>
,
n
为奇数<
/p>
(
1)
2
sin
,
n
为奇数
45.
和角与差角公式
sin(
< br>
)
sin
cos
< br>
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan(
<
/p>
)
tan<
/p>
tan
<
/p>
.
1
tan
tan
a
s
in
b
c
os
=
定
,
tan
b
).
a
a
2
b
2
sin(
<
/p>
)
(
辅
助
角
所
在
象
限
由
点
(
a
,
b
)
的
象
限
决
46.
二倍角公式
sin
2
2sin
cos
；
cos
2
cos
2
sin
2
2cos
2
<
/p>
1
1
2sin
2
；
tan
2
2
tan
.
1
tan
2
7
47.
三倍角公式
sin
3
3sin
4sin
3
4sin<
/p>
sin(
)sin(
)
；
3
3
cos3
4cos
3
3cos
4cos
cos(
)cos(
)
；
3
3
3tan
tan
3
tan
3
tan
tan(
)
tan(
)
.
2
1
3tan
3
3
48.
三角函
数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
及函数
y
cos(
x
)
的周期
T
2
；
< br>函数
y
tan(
x
< br>)
的周期
T
< br>
.
49.
正弦定理：
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
2
R
（
R
为
ABC
的外接圆半径）
.
50.
余弦定理
a
2
b
2
c
2
<
/p>
2
bc
cos
A
；
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
；
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
< br>.
51.
面积定理
1
1
1
2
2
2
1
1
< br>1
1
（
2
）
S
ab
sin
C
bc
sin
A
ca
sin
B
；
(3)
S
OAB
(|
OA
|
|
OB
|)
2
(
OA
< br>OB
)
2
.
< br>2
2
2
2
（
1
）
S
ah
a
bh
b
ch
c<
/p>
（
h
a
、
h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
52.
三角形内角和定理
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
(
A
B
)
< br>
C
A
B
2
C
2
2(
A
B
)
.
2
2
2
53.
简单的三角方程的通解
sin
x
< br>
a
x
k
(
1)
k
ar
csin
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
co
s
x
<
/p>
a
x
2
k
arccos
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
tan
x
a
x
k
arctan
a
(
k
Z
,
a
R
)
.
特别地
,
有
sin
s
in
k
(
1)
k
(
k
Z
)
.
co
s
cos
2
k
(
k
< br>Z
)
.
tan
tan
k
(
k
Z
)
.
54.
实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1)
结合律：λ
(
μ
a
)=(
λμ
)
a
;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a
；
(3)
第二分配律：λ
(
a
+
b
)=
λ
a
+
λ
b
.
8
55.
向量的数量积的运算律：<
/p>
（三个向量的数量积不满足结合律）
(1)
a
·
b=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b=
（
a
·
b
）
=
a
·
b<
/p>
=
a
·
（
b
）
；
(3)
（
a
+b
）
·
c=
a
·
c
+b
·
c.
56.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只
有一对实数λ
1
、λ
2
，使得<
/p>
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
．
57
．向量平行的坐标表示
设
a
=
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
< br>a
∥
b
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
53.
a
与
b
的数量积
(
或内积
< br>)
a
·
b
=|
a
||
b
|cos
θ．
58.
a
·
b
的几何意义：数量积
a
·
b
等于
a
的长度
|
a
|
与
b
在
a
的方向上的投影
|
b
|cos
θ的乘
积．
59.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
< br>b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a-b=
(
x
1
x
2
,
y
1
<
/p>
y
2
)
.
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
)<
/p>
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
< br>
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(4)
设
a
=
(
x<
/p>
,
y
),
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2<
/p>
)
，则
a
·
b=
(
x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
60.
两向量的夹角
公式
cos
x
1
x
2
y
1
y
2
x
y
x
y
< br>2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
< br>y
2
)
).
61.
平面两点间的距离公式
d
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
< br>(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
62.
向量的平行与垂直
设
a
=
(
x
1
,
y
< br>1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则<
/p>
a
∥
b
b
=
λ
a
x
1
y
2
x
< br>2
y
1
0
；
a
b
a
·
b=<
/p>
0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
63.
线段的定比分公式
9
设
P<
/p>
1
P
2
的分点<
/p>
,
是实数，且
PP
1
(
x
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，
P
< br>(
x
,
y
)
是线段
P
1
PP
2
，则
x
y
x
1
x
2
1
< br>
y
1
y
2
1
OP
<
/p>
1
OP
1
OP
2
（
）
.
t<
/p>
(1
t
)
OP
OP
tOP
1
2
1
1
64.
三角形的重心坐标公式
△
< br>ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则△
ABC
的重心的坐标是
G
(
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
,
)
.
3
3
65.
点
的平移公式
'
'
< br>
x
x
h
x
x
h
'
'
OP
OP
PP
.
'
'
y
y
k
y
y
k
注
:
图形
F
上的任意一点
P(x
，
y)
在平移后图形
F
'
上的对应点为
P
'
(
x
'
,
y
'
)
，且
PP
'
的坐标
为
(
h
,
k
)
.
66.
“按向量平移”的几个结论
<
/p>
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到点
P
'
(
x
h
,
y
k
)
.
(2)
函数
y
f
(
x
)
的图象
C
按向量
a
=
(
h
,
k
)
< br>平移后得到图象
C
'
,
则
C
'
的函数解析式为
y
f
(
x
h
)
k
.
(3)
图象
C
'
按向量<
/p>
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图
象
C
,
若
C<
/p>
的解析式
y
f
(
x
)
,
则
C
'
的函数解析
式为
y
f<
/p>
(
x
h
)
k
.
(4)
曲
线
C
:
f
(
x
,
y
)
< br>0
按
向
量
a
=
(
h
,
k
)
平
移
后
得
到
图
象
C
'
,
则
C
'
的
< br>方
程
为
f
(
x
h
,
y
)
k
.
0
(5)
向量
m
=
(<
/p>
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到的向量仍然为
m
=
(
x
,
y
)
.
67.
三角形四“心”向量形式的充要条件，设
O
为
ABC
所在平面上一点，则
（
1
）
O
为
ABC
的外心
OA
OB
OC
.
（
2
）
O
为
ABC
的重心
OA
OB
OC
0
.
（
3
）
O
为
ABC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）<
/p>
O
为
ABC<
/p>
的内心
aOA
bOB
cOC
0
.(
a
,
b
,
c
为
角
A
,
B
,<
/p>
C
所对边长
)
10
2
2
2
68.
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a
2
b<
/p>
2
2
ab
(
当且仅当
a
＝<
/p>
b
时取“
=
”号
)
．
（
2
）
a
,
b
R
a
b
< br>
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“
=
”号
)
．
2
（
3
）
a
3
b
3
c
3<
/p>
3
abc
(<
/p>
a
0,
b
0,
c
0).
（
4
）柯西不等式
(
a
2
b
2
)(<
/p>
c
2
d
2
)
(
ac
bd
)
2
,
a
,
b
,
c
,
d
R
.
（
5
）
a
b
a
b
a
b
.
69.
已知
x
,
y
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
p
，则当
x
y
时和
x
y
有最小值
2
p
；
1
（
2<
/p>
）若和
x
y<
/p>
是定值
s
，则当
x
y
时积
x
y
有最大值
s
2
.
4
70.
一元二次不等式
ax
2
bx
c
0(
或
0)
(
a
0,
b
2
< br>4
ac
0)
< br>，如果
a
与
ax
2
bx
< br>c
同号，
则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
bx
c
异号，则其解集在两根之间
.
简言之：同号两
< br>根之外，异号两根之间
.
x
1
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0(
x
< br>1
x
2
)
；
x
x
1
,
或
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0(
x
1
x
2
)
.
71.
含有绝对值的不等式
当
a>0
时，有
x<
/p>
a
x
2
a
a
x
a
；
x
a
x
2
a
2
<
/p>
x
a
或
x
a
.
2
72.
无理不等式
（
1
）
f
(
x
)
0
f
(
x
)
< br>
0
f
(
x
)
0
；
；
（
2
）
f
(
x
)
g
(
x
< br>)
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
0
或
g
(
x
)
< br>
0
g
(
x
)
0
2
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
< br>x
)
[
g
(
x
)]
f
(<
/p>
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
< br>
g
(
x
)
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
2
（
3
）
73.
指数不等式与
对数不等式
(1)
当
a
1
时
< br>,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
0
f
(
x
)
< br>
g
(
x
)
；
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
；
f
(
x
< br>)
g
(
x
)
f
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
；
< br>log
a
f
(
< br>x
)
log
< br>a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
< br>
11
(2)
当
0
a
< br>1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
74.
斜率公式：
k
y
2
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(
< br>x
2
,
y
2
)
）
.
x
2
x
1<
/p>
75.
直线的五种方程
（
1
）点斜式
y
y
1
k
(
x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
(
x
1
,
y
1
)
，且斜率为
k
)
．
（
2
）斜截式
y
kx
<
/p>
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
（
3
）两点式
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(<
/p>
x
2
,
y
2
)
(
x
1
x
2
)).
y
2
y
1
x
2
x
1
x
y
(4)
截距式
1
(
a
、
b
分别为直线的横、纵截
距，
a
、
b
0
)
a
b
（
5
）一般式<
/p>
Ax
By<
/p>
C
0
(
其中
A
、
B
不同时为
0).
76.
两条直线的平行和垂直
(1)
若
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
< br>:
y
k
2
x
b
2
①
l
1
||
l
2
k
1
k
2
,
b
1
b
2
；②
< br>l
1
l
2
k
1
k
2
1
.
(2)
若
l<
/p>
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y<
/p>
C
2
0
,
且
A
2
、
B
2
、
C
2
都不为零
,
①
l
1
||
l
2
< br>
A
1
B
1
C
1
；②
l
1
<
/p>
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
；
A
2
B
2
C
2
77.
夹角公式：
tan
|
k
2
k
1
|
.(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
b
< br>2
,
k
1
k
2
1
)
1
k<
/p>
2
k
1
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的夹角是
78.
l
1
到<
/p>
l
2
的角公式：
tan
.
2
k
2
k
1
.(
l<
/p>
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1<
/p>
k
2
1
)
1
k
2
k
1
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
到
l
2
< br>的角是
79
．四种常用直线系方程
.
2
(1)
定点直线系方程：经过定点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方
程为
y
y
0
k
(
x
x
0
)
(
除直线
x
x
0
),
其
中
k
是待定的系数；
经过
定点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方程为
A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
0
,
其中
A
,
B
是待定的系数．
(2)
共点
直线系方程：经过两直线
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B<
/p>
2
y
C
2
0
的交点的直线
系
方程为
(
A
1
x
B
1<
/p>
y
C
1
)
(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
(
除
l
2<
/p>
)
，其中λ是待定的系数．
12