高中数学常用公式及结论推导应用大全
-
高中数学常用公式及结论推导应用
1
元素与集合的关系
:
x
A
x
C
U
A
,
x
C<
/p>
U
A
x
A
.
Ø
A
A
2
< br>集合
{
a
1
,
a
2
,
n
,
a
n
}<
/p>
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
1
个；非空子集有
2
n
1
个；非空的
真子集
有
2
2
个
.
3
二次函数的解析式的三种形式：
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
c
(
a
<
/p>
0)
;
(2)
顶点式
f
(
x
)
a
(
x
h
)
2
k
(
a
0)
;
（当已知抛物
线的顶点坐标
(
h
,
< br>k
)
时，设为此式）
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x<
/p>
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
；
（当已知抛
物线与
x
轴的交点坐标为
(
x
1
,0),(
x
2
,0)
时，
设为此
式）
（
4
）
切线式：
f
(
x
)
a
(
x
x
0
)
2
(
kx
d
),
(
a
0
)
。
（当已知抛物线与直线
y
kx
d
相
切且切点的
横坐标为
x
0
时，设为此式）
4
真值表：
同真且真，同假或假
5
常见结论的否定形式
;
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，成立
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
存在某
x
，不成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n
1
）个
< br>
至少有（
n
1
）个
p
或
q
p
且
q
p
且
q
p
或
q
< br>对任何
x
，不成立
存在某
x
，成立
6
四种命题的相互关系
(
下图
):
（
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假
.
）
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
1
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
充要条件：
(1)
、
p
q
，则
P
是
q
的充分条件，反之，
q
是
p
的必要条件；
（
2
）
、
p
q
，且
q
≠
>
p
，则
P
是
q
的充分不必要条件；
(3)
、
p
≠
>
p
，
且
q
p
，则
P
是
q
的必要
不充分条件；
4
、
p
≠
>
p
，且
q
≠
>
p
，则
P
是<
/p>
q
的既不充分又不必要条件。
7
函数单调性
:
< br>增函数：
(1)
、文字描述是：
y
随
x
的增大而增大。
（
2
）
、数学符号表述是：设
f
（
x
）在
x
D
上有定义，若对任意的
x
1
< br>,
x
2
D
,
且
x
1
x
2
，都有
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
成立，则就叫
f
（
x
）在
x
D
上是增函数。
D
则就是
f
（
x
）的递增区间。
减函数：
(1)
、文字描述
是：
y
随
x
的
增大而减小。
（
2
< br>）
、数学符号表述是：设
f
（<
/p>
x
）在
x
D
上有定义，若对任意的
x
1
,
x
2
D
,
且
x
1
x
2<
/p>
，都有
f
(<
/p>
x
1
)
f
(
x
2
)
成立，则就叫
f
（
x
）在
x
D
上是减函数。
D
则
就是
f
（
x
）
的递减区间。
单调性性质：
(1)<
/p>
、增函数
+
增函数
=
增函数；
（
2
）
、减函数
+
减函数
=
减函数；
(3)
、增函数
-
减函数
=
增函数；
(4)
、减函数
-
增函数
=
减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一
般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数
单调
内层函数
外层函数
复合函数
等价关系：
(1)
< br>设
x
1
,
x
2
a
,
b
,
x
1
x
2
那么
单调性
↓
↓
↑
↑
↑
↑
↑
↓
↓
↓
↑
↓
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
< br>(
x
)
在
a
,
b
上是增函数；
x
1
x
2
2
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
< br>
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
< br>b
上是减函数
.
x
1
x
2
(2)
设函数
y
f
(
x
)
在某个区间内可导，
如果
f
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为增函数；
如果
f
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为减函数
.
8
< br>函数的奇偶性：
（注：
是奇偶函数的前提条件是：定义域
必须关于原点对称）
奇函数：
定义：
在前提条件下，若有
f
(
x
)
< br>
f
(
x
)
或
f
(
x
)
f
(
x
)
0
，
则
f
（
x
< br>）就是奇函数。
性质
：
（
1
）
、奇函数的图
象关于原点对称；
（
2
）
、奇函数在
x
>
0
和
x
<
0
上具有
相同
的单调区间；
（
3
）
、定义在
R
上的奇函数，有
f
（
0
）
=0
.
偶函数：
定义：
在前提条件下，若有
f
(
x
)
f
(
x
)
，则
f
（
x
）就是偶函数。
性质
：
（
1
）
、偶函数的图象关于
y
轴对称；
（
< br>2
）
、偶函数在
x
>
0
和
x
< br><
0
上具有
相反
的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)
、奇函数·偶函数
=
奇函数；
< br>
（
2
）
、奇函数·奇函数
=
偶函数；
(3)
、偶奇函数·偶函数
=
偶函数；
(4)
、奇函数±奇函数
=
奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)
、偶函数±偶函数
=
偶函数；
(6)
、奇函数±偶函数
=
非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
< br>y
轴对称
;
反过来，如果一个函
数的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
y
轴对称，那么这个函数是偶函数．
9
函数的周期性：
< br>定义：
对函数
f
（
x
）
，若存在
T
0
，使得
f
（
x+T
）
=f
（
x
）
，则就叫
f
（
x
）是周期函数
，其中，
T
是
f
（
x
）
的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)
、
f
（
x+T
）
=
- f
（
x
）
，此时周期为
2T
；
（
2
）
、
f
（
x+m
）
=f
（
x+n
）
，此时周
期为
2
m
n
；
(3)
、
f
(
x
m
)
1
，此时周期为
2m
。
f
(
x
)
3
10
常见函数的图像：
y
y
y
y
< br>k<0
o
k>0
x
o
a<0
x
y=a
x
<
br>b <
br>(
<
br>1 n
0
1
o
x
y=log
a
x
0
a>1
y=kx+b
a>0
2
y=ax
+bx+c
o
1
a>1
x
11
对于函
数
y
f
(<
/p>
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
)
f
(
x
)
恒成立
,
则函数
f
x
)
的对称轴是
x
函数
y
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b<
/p>
x
)
的图象关于直线
x
12
分数指数幂与根式的性质：
(
1)
a
m
n
a
b
;
两个<
/p>
2
b
a
对称
.
2
n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
）
.
m
（
2
）
a
1
a<
/p>
m
n
1
n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
< br>
，且
n
1
）
.
（
3
）
(
n
a
)
n
a
.
a
,
a
0
（
4
）当
n
为奇数时，
a
a
；当
n
为偶数时，
a
<
/p>
|
a
|
.
a
,
a
0
n
n
n
< br>n
13
指数式与对数式的互化式
:
log
a
N
b
a
b
N
(
a
< br>
0,
a
1,
N
0)
.
指数性质：
(1)
1
、
a
r
p
s
1
0
mn
m
n
；
（
2
）
、
a
1
（
a
0
）
；
(3)
、
a
(
a
)
p
a
r
s
(4)
、
a
a
a
指数函数：
(
a
0,
r
,
s
Q
)
；
(5)
、
a
n
a
m
；
m
n
(1)
、
y
a
x
(
a
1)
在定义域内是单调递增函数；
（
2
）
、
y
a
x
(0
a
1)
在定义域内是单调递减函数。
注：
指数
函数
图象都恒过点（
0
，
1
）
对数性质：
(1)
、
l
og
a
M
l
og
a
N
l
og
a
(
MN
)
；
（
2<
/p>
）
、
log<
/p>
a
M
log<
/p>
a
N
log<
/p>
a
(3)
、
<
/p>
log
a
b
m<
/p>
m
log<
/p>
a
b
；
(4)
、
log
a
m
b
(6)
、
log
a
a
1
；
(7)
、
a
对数函数：
l
o
a
g
b
n
M
；
N
n
log
a
b
；
(5)
、
l
og
a
1
0
m
b
4
(1)
、
y
log
a
x
(
a
1)<
/p>
在定义域内是单调递增函数；
（
2
）
、
y
log
a
x
(0
a
1)
在定义域内是单调递减函数；
注：
对数
函数图象都恒过点
（
1
，
0
）<
/p>
(3)
、
l
o
g
a
,
x
(
0
或
,
1)
a
x
,
a
x
0
(1,
(4)
、
log
a
x
0
a
(0,1)
则
x
(1
,
)
或
a
(1,
)
则
x
(0,1)
< br>
14
对数的换底公式
:<
/p>
log
a
N
<
/p>
log
a
N
lo
g
m
N
(
a
0
,
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
< br>,
N
0
).
log
m
a
对数恒等式：
a
n
N
(
a
0
,
且
a<
/p>
1
,
N
0
).
推论
log
a
m
b
n<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
N
0
).
m
M
log
a
M
log
a
N
;
N<
/p>
n
N
n
log
a
N
(
n
,
m
R
)
。
m
15
对数的四则运算法则
:
若
a
＞
0
，
a
≠
1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
< br>，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
; (2)
log
a
(3)
log
a
M
< br>n
n
log
< br>a
M
(
n
R
)
; (4)
log
a
m
16
平均增长率的问题（负增长时
p
0
）
：
如果原来产值的基础数为
N
，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总
产值
y
，有
y
N
(1
p
)
x
.
17
等差数列：
通项公式：
（
1
）
a
n
a
1
(
n
1)
d
，其中
a
1
为首项，
d
为公差，
n
为项数，
a
n
为末项。
（
2
）推广：
a
n
a
k
(
n
k
)
d
（
3
）
< br>a
n
S
n
S
n
1
(
n
2)
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
前
n
项和：
（
1
）
S
n
n
(
a
1
a
n
)
；其中
a
1
为首项，
n
为项数，
a
n
为末项。<
/p>
2
n
(
n
1)
d
（
2
）
S
n
na
1
2
（
3
）
S
n
S
n
1<
/p>
a
n
(
n
2)
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
（
4
）
S
n
a
1
a
2
a
n
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
常用性质：
（
1
）
、若
m+n=p+q
，则有
a
m
a
n
a
p
a
q
；
注：
若
a
m
是
a
n
,
a
p
的等差中项，则有
2
a
m
a
n
a
p
< br>
n
、
m
、
p
成等差。
（
2
）
、若
a
n
、
b
n
为等差数列，则
a
n
b
n
为等差数列。
5
（
3
）<
/p>
、
a
n
为等差数列，
S
n
为其前
n
项和，则
S
m
,
S
2
m
S
m<
/p>
,
S
3
m
S
2
m
也成等差数列。
（
4<
/p>
）
、
a
p
qa
,
q
p
,
a
则
0
pq
（
5
）
1+2+3+
…
+n=
等比数列：
通项公
式：
（
1
）
a
n
a
1
q
n
1
；
n
(
n
1
)
2
a
1
n
q
< br>(
n
N
*
)
，其中
a
1
为首项，
n
为项数，
q
为公比。
q
（
2
）推广：
a
n
a
k
q
n
< br>
k
（
3
）
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2)
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
前
n
项和：
（
1
）
S
n
S
n
1
a
n
(
n
2)
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
（
2
）
S
n
a
1
a
2
a
n
（
注
：
该公式对任意数列都适用）
(
q
1)
(
q
1)
na
1
（
3
）
S
n
a
1
(1
q
n
)
1
q
常用性质：
（
1
）
、若
< br>m+n=p+q
，则有
a<
/p>
m
a
n
a
p
a
q
；
注：
若<
/p>
a
m
是
a
n
,
a
p
的等比中项，则有
a
m
2
a
n
a
p
n
、
m
、
p
成等比。
（
2
）
、若
a
n
、
< br>
b
n
为等比数列，则
a
n
b
n
< br>为等比数列。
ab
(1
b
)
n
18
分期付款
(
按揭贷款
)
：每次还款
x
元
(
贷款
a
元
,
n
次
还清
,
每期利率为
b
< br>).
n
(1
b
)
1
19
三角不等式：
（
1
）若
x
(0,
(2)
若
x
(0,
2
)
，则
sin
x
x
tan
x
.
2
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
20
同角三角函数的基本关系式
：
sin
cos<
/p>
1
，
tan
=
21
正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22
和角与差角公式
sin(
< br>
)
sin
cos
< br>
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
6
2
2
sin
，
cos
sin
sin
;
tan(
)
tan
tan
.
1<
/p>
tan
tan
a
sin
b
cos
=
a
2
b<
/p>
2
sin(
)
(
辅助角
所在象限由点
(
a
,
b
)
的象限决定
,
tan
23
二倍角公式及降幂公式
b
).
a
sin
2
sin
cos
2
2
tan
.
1
tan
2
2
2
1
tan
2
cos2
cos
sin
2cos
1
< br>1
2sin
.
1
< br>tan
2
2
< br>2
tan
sin
2
1
< br>cos
2
tan
.
1
ta
n
2
1
<
/p>
cos
2
si
n
2
1
<
/p>
cos
2
1<
/p>
cos
2
<
/p>
sin
2
<
/p>
,cos
2
2
2
tan
2
24
三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
)
，
x
∈
< br>R(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0)
的周期
T
2
；函数
y
tan(
x
)
，
x
k
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0)
的周期
T
.
2
|
|
|
|
三角函数的图像：
y=sin
x
-
π
/2
-
2
π
-3
π
/
2
-
π
y
1<
/p>
y=cosx
π
/2
π
3
π
/2
2
π
y
1
o
-1
x
-2
π
-3
π
/2
-
π
-
π
/2<
/p>
o
-1
π
/2<
/p>
π
3
π
/2
2
π
x
25
正弦定理
：
a
b
c
2
R<
/p>
（
R
为
ABC
外接圆的半径）
.
< br>sin
A
sin
B
sin
C
a
2
R
sin
A
,
b
< br>2
R
sin
B
< br>,
c
2
R
sin
C
a
:
b
:
c
sin
A
:
sin
B
:
s
in
C
26
余弦定理：
a
2
b
2
c
2
<
/p>
2
bc
cos
A
;
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
< br>.
27
面积定理：
1
1
1
ah
a
bh
b
ch
c
（
h
a
、
h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
1
1
（
2
）
S
ab
s
in
C
bc
sin
A
ca
sin
B
.
2
2
2
1
(|
OA
|
|
OB
|)
2
(
OA
OB
)
2
.
(3)
S
OAB
2
（
1
）
S
7
r<
/p>
内切圆
a<
/p>
b
－
c
斜边
2
S
,
r
直角
内切圆
a
b
c
2
28
三角形内角和定理
：
在△
AB
C
中，有
A
B
C
<
/p>
C
(
A
B
)
C
A
B
2
C
2
<
/p>
2(
A
B
)
.
2
2
2
29
实数与向量
的积的运算律
:
设
λ
< br>、
μ
为实数，那么：
(1)
结合律：
λ
< br>(
μ
a
)=(
< br>λ
μ
)
a
;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
< br>μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a
;
(3)
第二分配律：
λ
(
a
+
b
)=
λ
a
< br>+
λ
b
.
30
a
与
b
的数量积
(
或内积
)
：
a
·
b
=|
a
||
b
|
cos
。
31
平面向量的坐标运算：
<
/p>
(1)
设
a
=<
/p>
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
+
b
=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
-
b
=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
< br>)
.
(3)
设<
/p>
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(4)
设
a
=
(
x
,
y
),
R
，则
a
=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
·
b
=
(
x
1
x
2
y
1
y
2<
/p>
)
.
32
两向量的夹角公式：
cos
a
b
|
a
< br>|
|
b
|
x
1
x
2
y
1
y
2
x
y
x
y
2
1
2
1
< br>2
2
2
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
).
33
平面两点间的距离公式：
d
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
34
向量的平行与垂直
：设
a
=
(
x
1
,
y
< br>1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且<
/p>
b
0
，则：<
/p>
a
||
b
b
=
λ
a
x
1
y
2
< br>x
2
y
1
0
.
（交叉相乘差为零）
a
b
(<
/p>
a
0
)
a
·
b
=0
x
1
x
2
< br>y
1
y
2
0
.
（对应相乘和为零）
P
(
x
,
y
)
是线段
PP
35
线段的定比分公式
：
设
P
且
PP
< br>P
2
(
x
2
,
y
2
)
，
1
2
的分点
,
是实数，
1
(
x
1
,<
/p>
y
1
)
，
1
PP
2
，
8
x
1
x
2
x
OP
OP
2
1
则
<
/p>
OP
1
1
y
y
1
y
< br>2
1
t
OP
tOP
1
(1
t
)
OP
2
（<
/p>
1
）
.
1
36
三角形的
重心坐标公式：
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
< br>,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
< br>)
、
C(x
3
< br>,y
3
)
,
则△
ABC
的重心的坐标是
G
(
x
1
x
2
x
3
y
1
< br>y
2
y
3
,
)
.
3
3
37
三角形五“心”向量形式的充
要条件：
设
O
为
ABC
所在平面上一点，角
A
,
B
,
C
所对边长分别为
a
,
b
,
c
，则<
/p>
（
1
）
O
为
ABC
的外心
OA
OB
OC
. <
/p>
（
2
）
O
为
ABC
的重心<
/p>
OA
OB<
/p>
OC
0
.
（
3
）
O
为
ABC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）
O
为
ABC
的内心
aOA
bOB
c
OC
0
.
（
5
）
O
为
ABC
的
A
的旁心
aOA
bOB
cOC
.
38
常用不等式：
< br>（
1
）
a
,
b
R
a
b
2
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“
=”号
)
．
（
2
）
a
,<
/p>
b
R
2
2
2
2
2
a
b
ab
(
< br>当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)
．
2
（
3
）
a
3
b
< br>3
c
3
3
abc
(
a
0,
b
0,
c
0
).
（
4
）
a
b
a
b
a
b
.
2
ab
a
b
a
2
< br>b
2
（
5
）
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)
。
ab
a
b
2
2
39
极值定理
:
已知
x
< br>,
y
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
p
，则当
x<
/p>
y
时和
x
y
有最小值
2<
/p>
p
；
（
2
）若和
x
y
是定值
s
，则当<
/p>
x
y
时积
xy
有最大值
（
3
）已知
a
,
b
,
x
,
y
R
，若
ax
by
1
则有
1
2
s
.
4
9
1<
/p>
1
1
1
by
ax
(
ax
by
)(
)
a
b
a
b
< br>
2
ab
(
a
b
)
2
。
x<
/p>
y
x
y
x
y
（
4
）已知
a
,
b
,
x
,
y
R
，若
a
< br>b
1
则有
x
y
a
b
ay
bx
x
y
(<
/p>
x
y
)(
)
a
b
a
b
< br>
2
ab
(
a
b
)
2
x
y<
/p>
x
y
40
一元
二次不等式
ax
2
< br>bx
c
0(
或
0)
(
a
0,
b
2
4
ac
0)
，如果
a
与
a
x
bx
c
同号，则
其解集在两根之外；如果
a<
/p>
与
ax
bx<
/p>
c
异号，则其解集在两根之间
.
简言之：同号两根之外，异
号两根之间
.
即：
2
2
x
1
x
x
2
< br>
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
<
/p>
0(
x
1
x
2
)
；
x
x
1
,
或
x
< br>
x
2
(
x
x
1
)(
x
x<
/p>
2
)
0(
x
1
x
2
)
.
41
含有绝对值的不等式
：当
a>
0
时，有
x
a
x
2<
/p>
a
2
a
x
a
.
x
a
x
< br>2
a
2
x
a
或
x
a
.
42
斜率公式
：
k
y
2
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
1
< br>)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
）
. <
/p>
x
2
x
1
43
直线的五种方程：
k
（
1
）点斜式
y
y
1
< br>
k
(
x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
(
x
1
,
y
1
)
，且斜率为
)
．
（
2
）斜截式
y
kx
<
/p>
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
（
3
）两点式
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(<
/p>
x
2
,
y
2
)
(
x
1
x
2
,
y
1
< br>y
2
)).
y
2
y
1
x
2
x
1
两点式的推广：
(
x
2
x
1
)(
y
y
1
)
(
y
2
y
1
)(
x
x
1
)
0
（无任何限制条件！
）
(4)
截距式
x
y
1
(
a
、
b<
/p>
分别为直线的横、纵截距，
a
0
、
b
0
)
a
b
（
5
）一般式
Ax
By
C
0
(
< br>其中
A
、
B
不同时为
0).
直线
Ax
By
C
0
的法向量：
l
(
A
,
B
)
，方向向量：<
/p>
l
(
B
,
A
)
44
夹角公式：
10
(1)
tan
|
k
2
k
1
|
.
(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
< br>l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
1
k
2
k
1
A
1
B
2
A
2
B
1
|
.(
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
< br>2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
< br>0
).
A
1
< br>A
2
B
1
B
2
(2)
tan
|
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
与
l
2
的
夹角是
45
l
1
到
l
2
的角公式：
(1)
tan
.
2
k
2
k
< br>1
.(
l
1
:
y
k
1
x
b
1<
/p>
，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
1
k
2
k
1
A
1
B
2
A
2
B
1
.(
l
1
:
A
).
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A<
/p>
2
x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
A
1<
/p>
A
2
B
1
B
2
(2)
tan
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
到
l
2
的角是
46
点到直线的距离
：
d
47
圆的四种方程：
.
2
|<
/p>
Ax
0
By<
/p>
0
C
|
A
B
2
2
(
点
P
(
x
0
,
y
0
)
,
直线
l
：
Ax
By
C
0
).
（
1
）圆的标准方程
(
< br>x
a
)
2
(
y
b
)
2
r
2
.
（
2
）圆的一般方程
x
2
y
2<
/p>
Dx
Ey<
/p>
F
0
(
D
E
4
F
＞
0).
2
2
x
a
< br>r
cos
（
< br>3
）圆的参数方程
.
y
<
/p>
b
r
sin<
/p>
（
4
）圆的直径式方程
(
x
x
1
)
(
x
x
2<
/p>
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
0
(
< br>圆的直径的端点是
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
).
48
< br>点与圆的位置关系：点
P
(
x<
/p>
0
,
y
0
)
与圆
(
x
a
)
(
y
b
< br>)
r
的位置关系有三种：
若
d
2
2
2
(
a
x
0
< br>)
2
(
b
y
0
)
2
，则
d
<
/p>
r
点
P
在圆外
;
d
r
点
P
在圆上
;
d
r
点
P
在圆内
.
2
< br>2
2
49
直
线
与
圆
的
位
置
关
系
：<
/p>
直
线
Ax
By
C
0
与
圆
(
x
a
)
(
y
b
)
r
的
位
置
关
系<
/p>
有
三
种
(
d
Aa
Bb
C
A
B
2
2
):
d
r
相离
< br>
0
;
d
r
相切
0
;<
/p>
d
r
相交
0
.
50
两圆位置
关系的判定方法
:
设两圆圆心分别为
O
1
，
O
2
，半径分别为
r
1
，
r
2
，
O<
/p>
1
O
2
d
，则：
11
d
r
1
r
2
外离
4
条公切线
;
d
<
/p>
r
1
r
2
外切
3
条公切线
;
r
1
r
2
d
r
1
r
2
< br>
相交
2
条公切线
;
d
r
1
r
2
内切
1
条公切线
;
0
< br>
d
r
1
r
2
内含
无公切线
.
内含
内切
r
2
-r
1
相交
外切
相离
r
1
+r
2
o
d
d
d
d
x
a
cos
x
2
y
2
c
b
2
51
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的参数方程是
.
离心率
e
1
<
/p>
2
，
a
b
y
b
sin
a
a
b
2
a
2
准线到中心的距离为
，焦点到对应准线的距离
(
焦准距
)
p
。
c
c
b
2
过焦点且垂直于长
轴的弦叫通经，其长度为：
2
.
a<
/p>
x
2
y
2
52
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积
:
a
b
F
PF
a
2
a
2
PF
1
e<
/p>
(
x
)
a
ex
，
PF
2
e
(
x
)
a
ex
；
S
F
1
PF
2
c
|
y
P<
/p>
|
b
2
tan
1
。
2
c
c
53
椭圆的的内外部
:
2
2
x
0
y
0<
/p>
x
2
y
2
（
1
）点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2
2
< br>1(
a
b
0)
的内部
< br>2
2
1
.
a
b
a
b
2
2
x<
/p>
0
y
0
x
2
y
2
（
2
）点
P
(
x
0
,
y
< br>0
)
在椭圆
2
< br>
2
1(
a
b
0)
的外部
2
2
1
.
a
b
a
b
54
椭圆的切线方程
:
x
x
y
y
x
2
y
2
(1)
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
上一点
P
(
x
0
,
y
0
)<
/p>
处的切线方程是
0
2
0
2
1
.
a
b
a
b
x
x
y
y
x
2
y
2
（
2
）过椭圆
2
2
1
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
所引两条切线的切
点弦方程是
0
2
0
2
1
.
a
b
a
b
x
2
y
2
2
2
2
2
2
（
3
）椭圆
2
2
1(
a
b
0)
与直线
Ax
By
C
0
相切的条件是<
/p>
A
a
B
b
c
.
a
b
x
2
y
2
a
2
< br>c
b
2
55
< br>双曲线
2
2
< br>
1(
a
0,
b
0)
的离心率
e
< br>1
2
，准线到中心的距离为<
/p>
，焦点到对应
a
b
c
a
a
12
b
2
b
2
准线的距离
(
焦准距
)
p
。
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：
2
.
c
a
a
2
a
2
焦半径公式
PF
1
|
e
(
x
< br>
)
|
|
a
ex
|
，
PF
2
|
e
(
x
)
|
|
a
ex
|
，
c
c
两焦半径与焦距构成三角形的面积
S
F
1
PF
< br>2
b
cot
< br>
56
双曲线的方程与渐近线方程的关系
:
2
F
1
PF
。
2
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1
）若双曲线方程为
2
2
1
渐近线方程：
2
2
0
y<
/p>
x
.
a
a
b
a
b
x
y
x
y
b
(2)
若渐近
线方程为
y
x
0
双曲线可设为
2
2
.
a
b
a
a
b
2
2
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)
若双曲线与
2
2
1
有公共渐近线，可设为
2
2
a
b
a
b
（
<
/p>
0
，焦点在
x
轴
上，
0
，
焦点在
y
轴上）
.
(4)
焦点到渐近线的距离总是
b<
/p>
。
57
双曲线的切线方程
:
x
x
y
y
x
2
y
2
(1)
双曲线
2
2
1(
a
0,
b
< br>0)
上一点
P
(
x
0
,
y
0
)
处的切线方程是
0
2
0
2
1
.
a
< br>b
a
b
x
x
y
y
x
2
y
2
(2)
过双曲线
2
2
1
外一点
P
(
x
0
,
< br>y
0
)
所引两条切线的切点弦方
程是
0
2
0
2
1
. <
/p>
a
b
a
b
x
2
y
2
2
2
2
2
2
（
3
）双曲线
2
2
1
与直线
Ax
By
C
0
相切的条件是
A
a
B
b
c
.
a
b
58
抛物线
y
2
2
px
的焦半径公式
:
2
抛物
线
y
2
px
(
p
0)<
/p>
焦半径
CF
x
0
p
. <
/p>
2
过焦点弦长
CD
x
1
2
p
p
x
2
x
1
x
2
p
.
2
2
b
2
4
ac
b
2
(
a
0)
的图象是抛物线：
59
二次函数
y
ax
bx
c
a
(
x
)
2
a
< br>4
a
13
< br>b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
1
（
1
）顶点
坐标为
(
（
2
）焦点的坐标为
(
,
)
；
,
)
；
2
a
4
a
2
a<
/p>
4
a
4
ac
b
2
1
（
3
）准线方程是<
/p>
y
.
4
a
60
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB
或
AB
<
/p>
(
x
1
x
2
)
2
(
y
1
y
2
)
2
(1
k
2
)[(
x
2
x
1
)
2
4
x
2
x
1
]
|
x
1
x
2
< br>|
1
tan
< br>2
|
y
1
y
2
|
1
co<
/p>
t
2
（弦端点
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)
，由方程
y
kx
b
2
消去
< br>y
得到
ax
< br>bx
c
0
F
(
x
,
y
)<
/p>
0
0
,
为直线
AB
的倾斜角，
k
为
直线的斜率，
|
x
1
< br>
x
2
|
(
x
1
x
2
)
2
4
x
1
x
2
.
61
证明直线与平面的平行的思考途径
:
（
1
）转化为直线与平面无公共点；
（
2
）转化为线线平行；
（
3
）转化为面面平行
.
62
证明直线与平面垂直的思考途径
:
（
1
）转化为该直线与平面内任一直线
垂直；
（
2
）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（
3
）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（
4
）转化为该直线垂直于另一个平行平面。<
/p>
63
证明平面与平面的垂直的思考途径
：
（
1
）转
化为判断二面角是直二面角；
（
2<
/p>
）转化为线面垂直；
(3)
转化为两平面的法向量平行。
64
向量的直角坐标运算：
设
a
＝
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
，
b
＝
(
b<
/p>
1
,
b
2
,
b
3
)
则：
(1)
a
＋
b
＝
(
a
1
b
1
,
a
2
b
2
,
a
3
b
3<
/p>
)
；
(2)
a
－
b
＝
(
a
1
b
1
,
a
2
b
2
< br>,
a
3
b
3
)
；
(3)
λ
a
＝
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
(
λ
∈
R)
；
(4)
a
·
b
＝
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b<
/p>
3
；
14
65
夹角公式：
设
a
＝
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
，
b
＝
(
b
1
,
b
2
< br>,
b
3
)
，则
cos
a
,
b
66
异面直线间的距离
：
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
< br>a
a
a
2
1
2
2
2
3
b
b
b
2
1
2
2
2
3
.
d
|
CD
n
< br>|
(
l
1
,
l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
，
C
、
D
是
l
1
,
l
2
上任一点，
d
为
l
1
,
l
2
间的距离
).
|
n
|
67
点
B
到平面
的距离：
d<
/p>
|
AB
n
|
（
n
为平面
的法向量，
A
，
AB<
/p>
是
的一条斜线段）
.
|
n
|
4
R
3
,
其表面积
S
4
R
2
．<
/p>
3
68
球的半
径是
R
，则其体积
V
< br>
69
球的组合体：
(1)
球与长方体的组合体
:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长
.
(2)
球与正方体的组合体
:<
/p>
正方体的内切球的直径是正方体的棱长
,
正方体的棱切球的直径是正方体
的面对角线长
,
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
.
(3)
球与正四面体的组合体
:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
6
a
12<
/p>
(
正四面体高
1
3
6
6
6
a<
/p>
的
),
外接球的半径为
< br>a
(
正四面体高
a
的
).
4
4
3
4
3
70
分类计数原理（
加法原理）
：
N
m
1
m
2
分步计
数原理（
乘法原理
）
：
N
m
1
m
2
m
71
排列数公式
< br>：
A
n
=
n
(
n
1
)
(
n
m
1
)
=
m
n
.
m
n
. <
/p>
n
！
*
.(
n
，
m
∈
N
，且
m
n
)
．
规定
0
!
1
< br>.
(
n
m
)
！
7
2
组合数公式：
C
m
n
=
A
n
m
n
(
n
1
)
(<
/p>
n
m
1
)
n
！
*
=
=
(
∈
N
，
m
N
，且
m
n
).
n
m
1
2
m
m
！
(
n
m
)
！
A
m
m
n
< br>
m
m
m
1
m
0
组
合数的两个性质
:(1)
C
n
=
C
n
(2) <
/p>
C
n
+
C
n
=
C
n
.
规定
C
1
n
1
< br>.
0
n
1
n
1
2
n
2
2
r
n
r
r
n
n
73
二项式定理
(
a
b
)
n
C
n
a
C
n
a
b
C
n
a
b
< br>
C
n
a
b
C
n
b
r
n
r
r
1
，
2
，
n
)
.
二项展开式的通项公式
T
r
1
C
n
a
b
(
r
0
，
f
(
x
)
(
ax
b
)
n
a
0
a
1
x
a
2
x<
/p>
2
a
n
x
n
的展开式的系数关系：
15