高中数学最常用公式及结论(非常有用)
-
高中数学
常用公式及结论
王新敞
高中数学常用公式及结论
1.
元素与集合的关系
:
x
A
x
C
U
A
,<
/p>
x
C
U
A
x
A
.
Ø
A
A
2.
德摩根公式
:
< br>C
U
(
A
3.
包含关系：
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A<
/p>
B
)
C
U
A
C
U
B
.
A
B
A
B
< br>
A
A
B
B
C
U
B
C
U
A
A
C
U
B
C
U
< br>A
B
R
4.
元素个数关系：
card
(
A
B
)
cardA
cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
ca
rdA
cardB
cardC
card
(
A
B
)
card
(
B
C
)
card
(
C
A
)
card
(
A
B
C
)
.
5
．集合
{
a
1
,
a<
/p>
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
< br>2
n
1
个；非空子集有
2
n
1
个；
非空的真子集有
2<
/p>
n
2
个
.
6.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
bx
c<
/p>
(
a
0)
;
(2)
顶点式
f
(
x
)
<
/p>
a
(
x
h
)
k
(
a
0)
;
（当已知抛物线的顶点坐标
(
h
,
k
)
时，设为此式）
(3)
零
点
式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
<
/p>
0)
；
（
当
已
知
抛
物
线
与
x
轴
的
交
点
坐
< br>标
为
2
2
(
x
1
,0),(
< br>x
2
,0)
时，设为此式）
2
（
4
）切线式：
f
(
x
)
a
(
x
x
0
)
(
kx
d
),
(
< br>a
0
)
。
（当已知抛物线与直线
y
kx
d
相
切且切点的横坐标为
x
0
时，设为此式）
7.
解连不等式<
/p>
N
f
(
x
)
M
常有以下转化形式
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
M
][
f
(
x
)
N
]
0
2
f
(<
/p>
x
)
N
f
(
x
)
N
0
.
M
< br>
f
(
x
)
f
(
x
)
M
8.<
/p>
方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
在
(
k
1
,
k
2
< br>)
内有且只有一个实根
,
等价于
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
或
b
< br>k
2
k
1
。
2
a
2
b
4
ac
0
9.
闭区间上的二次
函数的最值
二次函数
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
0
)
在闭区间
p
,
q
< br>
上的最值只能在
x
2
b
处及区间的
2
a
两端点处取得，具体如下：
(1)
当
a>0
时，若
x
b
b
p
,
q
，则
f
(
x
< br>)
min
f
< br>(
),
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
a
2
a
b
p
,
q
，
f
(
x
< br>)
max
max
f
(
p
< br>),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
. <
/p>
2
a
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
，
(2)
当
a<0
时，若
x
2
a
x
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
1
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
< br>x
)
min
< br>min
f
(
< br>p
),
f
(
q
)
.
2
a
2
10.
一元二次方程
f
(
x
)
x
px
q
＝
0
的实根分布
若
< br>x
p
2
4
q
0
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p<
/p>
；
m
2
（
2
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内有根的充要条件为<
/p>
p
m
n
m
n
p
m
n
2
2
2
2<
/p>
f
(
m
)
f
(
n
)
0
或
p
2
4
q
0
或
p
2<
/p>
4
q
0
；
f
(
n
)
0
f
(
m
)
0
<
/p>
p
2
4
q
0
（
3
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
,
m
)
< br>内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
.
m
2
11.
定区间上含参数的不等式恒成立
(
或有解
)
的条件依据<
/p>
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形如
,
< br>
，
,
，
,
<
/p>
不同）上含参数的不
等式
f
(
x
)
< br>
t
(
t
为参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
)
min
t
,(
x
L
)
。
(2)
在给定区间
(<
/p>
,
)<
/p>
的子区间
L
上含参数的不等式
f
(
x
)
t
(
t
为参数
)
恒成立的充要
条件是
f
(
x
)
max
t
,(
x
L
)
。
(3)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
上含参数的不等式
f
(
x
)
t
(
< br>t
为参数
)
的有解充要条
件是
f
(
x
)
max
t
,(
x
L
)
。
(4)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
上含参数的不等式
f
(
x
)
t
(
t
为参数
)
有解的充要
条件是
f
(
x
)
min
t
,(
x
L
)
。
对于参数
a
及函数
y
f
(
x
),
x
A
.
若
a
< br>f
(
x
)
恒成立，则
a
f
< br>max
(
x
)
< br>；若
a
f
(
x
)
恒
成立，则
a
f
min
(
x
)
；若
a
f
(
x
)
有解，则
a
f
min
(
x
)
；若
a
f
(
x<
/p>
)
有解，则
a
f
max
(
x
)
；
若
a
f
(
x
)
有解，
则
f
min
(
x
)
a
f
max
(
x
)
.
（若函数
y
f
(
x
),
x
A
无最大值或最小值的
情况，
可以仿此推出相应结论）
.
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
2
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
12.
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.
常见结论的否定形式
原结论
反设词
是
不是
都是
不都是
大于
不大于
小于
不小于
对所有
x
，成立
存在某
< br>x
，不成立
对任何
x
，不成立
存在某
x
，成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n
1
）个
< br>
至少有（
n
1
）个
< br>p
且
q
p
且
q
p
或
q
原
命
题
若
p
则
q
互
否
互
< br>逆
互
为
为
互
否
逆
命
题
若
q
则
p
互
否
逆
否
命
题
若
┐q
则
┐p
14.
四种命题的
相互关系
(
右图
):
15.
充要条件（记
p
表示条
件，
q
表示结论）
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q<
/p>
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条
件；反之亦然<
/p>
.
16.
函数的单调性的等价关系
(1)
设
x
1
,
x
2
a
,
b
,
x
1
< br>
x
2
那么
逆
逆
否
否
命
题
若
┐p
则
┐q
互
逆<
/p>
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是
增函数；
x
1
x
2
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
< br>在
a
,
b
上是减函数
.
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)<
/p>
f
(
x
2
)
0
x
1
x
2
(2)
设函数
y
f
(
x
)
在某个区间内可导，<
/p>
如果
f
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为增函数；
如果
f
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为减函数
.
17.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)<
/p>
也是减函数
;
如果函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是增函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)
也是增函数
;
如果
函数
y<
/p>
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域上都是减函数
,
则复合函数
y
f
[
g
(
x
)]
是增函数；
如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
< br>在其对应的定义域上都是增函数
,
则复合函数
y
f
[
g
(
x
)]
< br>是增
函数；如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域上一
个是减函数而另一个是增函数
,
则
(<
/p>
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
3
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
复合函数
y
f
[
g
(
x<
/p>
)]
是减函数
.
18
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，如果一个函数的图象关
于原点对称，
那么这个函数是奇函数；
如果一个函数的图象
关于
y
轴对称，
那么这个函数是偶函<
/p>
数．
19.
常见函数的图像：
y
y
y
y
y
k<0
o
k>0
x
o
a<0
x
2
-1
o
1
y=x+
-2
1
x
x
y=a
x
<
br>a
0
1
a>1
y=log
x
0
o
x
o
y=ax
2
+bx+c
20.
对于
函数
y
f
(
x
)
(
x
R
),
f
(
x
a
)
f
(
b
x
)
恒成立
,
则函数
f
(
x
)
的对称轴是
y=kx+b
a>0
1
a
>1
x
x
a
b
b
a
;
两个函数
y<
/p>
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
)
的图象关于直线
x
对称
.
2
2
a
21.
若
f
(
x
)
f
(
< br>x
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
的
图象关于点
(
,
0
)
对称
;
2
< br>若
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
为周期为
2
a
的周期函
数
.
n
n
1
22
．多项式函数
< br>P
(
x
)
a
n
x
a
n
1
x
a
0
的奇偶性
多项式函
数
P
(
x
)<
/p>
是奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇数项
)
的系数全为零
.
多项式函数
P
(
x
)
是偶函数
<
/p>
P
(
x
)
的奇次项
(
即偶数项
)
的系数全为零
.
23.
函数
y
f
(
x
)
的图象的对称性
(1)
函数
y<
/p>
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
对称
f
(
a
x
)
f
(
a
x
)
f
(2
a
x
)
f
(
x
)
.
a
b
(
2)
函数
y
f
(
x
)
的图
象关于直线
x
对称
< br>
f
(
a
mx
)
f
(
b
mx
)
2
f
(
a
b
mx
)
f
(
mx
)
.
24.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
的图象关于直线
x<
/p>
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
f
1
a
b
对称
.
2
m
(
x
< br>)
的图象关于直线
y=x
对称<
/p>
.
25.
若将函数
y
f
(
x
)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
b
的图象；
若将曲线
f
(
x
,
y
)
0
的图象右移
a
、上移
b
个单位
，得到曲线
f
(
x
a
,
y
b
)
0<
/p>
的图象
.
26
．互为反函数的两个函数的关系：
f
(
a
)
b
<
/p>
f
1
1
(
b
)
a
.
27.
函数
y
f
(
x
)
< br>与其反函数
y
f
(
x
)
的图像的交点不一定
全在直线
y
x
上。
28.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx<
/p>
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
< br>c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
f
< br>(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
<
/p>
a
0
.
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
4
页（共
30
页）
x
高中数学
常用公式及结论
王新敞
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(
a
)
1(
a
0,
a
1)
.
(4)
幂函数
f
(
x
)
x
f
(
xy
)
< br>
f
(
x
)
f
(
y
)
,
f
(1)
.
(5)
余弦函数
f
(
x
)
cos
x
,
正弦函数
g
(
< br>x
)
sin
< br>x
，
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
)
g
(
x
)
g
(
y
< br>)
，
f
(0)
1,lim
sin
x
1
.
x
0
x
29.
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=a
；
1
1
(
f
(
x
)
0
)
，或
f
(
x
a
)
(
f
(
x
)
0)
,
则
f
(
x
)
的周期
T=2a
；
f
(
x
)
f<
/p>
(
x
)
1
(
f
(
x
)
0
)
，则
f
(
x
< br>)
的周期
T=3a
；
(3)
f
(
x
)
1
f
(
x
a
)
f
(
x
1
)
<
/p>
f
(
x
2
)
(4)
f
(
x
1
x
2
)
且
f
(
a
)
1(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
1,0
|
x
1
x
2
|
2
a
)
，
则
< br>f
(
x
)
的
1
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
（
2
）
f
(
x
a
< br>)
周期
T=4a
；
30.
分数指数幂
(1)
a
(2)
a
m
n
n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，
且
n
1
）<
/p>
.
m
n
1
a
m
n
1
n
a
m
（
a
< br>
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
31
．根式的性质
< br>
n
（
1
）
(
n
a
)
a
.
（<
/p>
2
）当
n
为奇数
时，
n
a
n
a
；
a
,
a
0
当
n
为偶数时，
a
|
a
|
.
a
,
a
0
n
n
32
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
a
a
r
s
r
rs
r
r<
/p>
r
s
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
)
a
(
a<
/p>
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
ab
)
a
b
(
a
0,
b
0,
r
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，
对于无理数指数幂都适用
.
33.
指数式与对数式的互化式
:
log
a
N
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
34.
对数的换底公式
:
log
a
N
对数恒等式：
a
推论<
/p>
log
a
m<
/p>
b
n
log<
/p>
a
N
log
m<
/p>
N
(
a
0
,
且
a
1
,
m
0
,
且
< br>m
1
,
N
0
).
log
m
a
N
(
a
0
,
且
a
1
,
N
0
).
n
log
a
b
(
a
0
,
且
a
1
,
N
0
).
m
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
5
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
35
．对数的四则运算法则
:
若
a
＞
0
，
a
≠
1
< br>，
M
＞
0
，
N
＞
0
，
则
M
lo
g
a
M
lo
g
a
N
;
N
n
n
n
(3)
log
a
M
n
log
a
M
(
n
R
)
; (4)
log
a
m
N
< br>log
a
N
(
< br>n
,
m
R
)
。
m
2
2
36.
设
函数
f
(
x
)
log
m
(
ax
bx
c
)(
a
<
/p>
0
)
,
记
b
4
ac
.
若
f
(
x
)
< br>的定义域为
R
,
则
a
0
且
< br>
0
;
若
f
(
x
)
的值域为
R
,
则
a
0
，且
0
。
37.
对数换
底不等式及其推广
：
设
n
m
1
< br>，
p
0
，
a
0
，
且
a
1
，则
2
m
n
（
1
）
log
m
p
(
n
p
)
log
m
n
.
（
2
）
log
a
m
log
a
n
log
a
.
2
38.
平
均增长率的问题（负增长时
p
0
）
(
p
)
x
.
如果原来产值的基础数为
N
，
平均增长率为
p
，
则对于时间
x
的总产值
y
，<
/p>
有
y
N
1
(1)
log
a<
/p>
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
(2)
log
a
39.
数列的通项公式与前
n
项的和的关系：
a
n
< br>n
1
s
1
,
(
数列
{
a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
s
n
1
,
n
2
s
n
a
1
a
2
< br>
a
n
).
< br>*
40.
等差数列的通项公式：
a
n
a
1<
/p>
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
)
；
n
(
a
1
a
n
)
n<
/p>
(
n
1)
d
1
na
1
d
n
2
(
a
1
d
)
n
.
2
2
2
2
a
n
n
1
*
41.
等比数列的通项公式：
a
n
a
1
q
1
q
(
n
N
)
；
q<
/p>
其前
n
项和公式为：
s
n
a
1
(1
q
n
)
a
1
a
n
q
,
q
1
,
q
< br>1
其前
n
项的和公式为
s
n
1
< br>q
或
s
n
1
q
.
na
,
q
1
na
,
q
1
1
1
42.
等比差数列<
/p>
a
n
:
a
n
1
qa
n
d
,
a
< br>1
b
(
q
0)
的通项公式为
b
< br>(
n
1)
d
,
q
1
a
n
<
/p>
bq
n
(
d
b
)
q
n
1
d
；
< br>
,
q
1
q
1
nb
<
/p>
n
(
n
1)
d
,(
q
1)
其前
n
项和公式为：
s
n
.
d<
/p>
1
q
n
d
(
b
)
n
,(
q
1)
1
q
q
1
1
q
ab
(1
b
)
n
43
.
分期付款
(
按揭贷款
)
：每次还款
x
元
(
贷款
a
元
,
n
次还清
,
每期利率为
b
). <
/p>
n
(1
b
)
1
44
．常见三角不等式
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
6
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
2
)
，则<
/p>
sin
x
x<
/p>
tan
x
.
（
1
）若
x<
/p>
(0,
(2)
若
x
(0,
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
2
(3)
|
sin
x
|
|
cos
x
|
1
.
45.
同角三角函数的基本关系式
<
/p>
：
sin
<
/p>
cos
1<
/p>
，
tan
=<
/p>
46.
正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
n
n
2
n
(
1)
2
< br>co
s
,(
< br>n
为偶数
)
< br>(
1)
sin
,(
n
为偶数
)
n
< br>sin(
)
，
co
< br>s(
)
n
1
n
1<
/p>
2
2
(
1)
2
co
s
,(
n
为奇数
)
(
1)
2
sin
,(
n
为奇数
)
2
2
sin
，
tan
cot
1
.
cos
47.<
/p>
和角与差角公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan
tan
.
1
tan
< br>
tan
sin(
)sin(
)
sin
2
sin
2
(
平方正弦公式
);
t
an(
)
cos(
)cos(
< br>
)
cos
2
sin
2
.
a
sin
b
cos
=
b
定
,
tan
).
a
a
2
b
2
sin(
)
(
辅
助
角
所
在
象
限
由
点
(
a
,
b
)
的
象
< br>限
决
48.
二倍角公式及降幂公
式
sin
2
sin
cos
2
2
tan
.
< br>1
tan
2
< br>
2
2
1
tan
2
cos
2
cos
sin
< br>
2cos
1
1
2sin
< br>.
2
1
tan
2
tan
.
tan
2
1
< br>tan
2
1
< br>
cos
2
< br>1
cos
2
< br>
sin
2
< br>
,cos
2
2
2
sin
2
1
cos
2
tan
< br>
1
cos
< br>2
sin
2
< br>
2
49.
三倍角公式
sin
3
3sin
4sin
3
4sin
sin(
)sin
(
)
.
3
3
cos3
4cos
3
3cos
4cos
cos(
)cos(
)
3
3
.
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
7
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
3tan
tan
3
tan
3
tan
tan(
)
tan(
)
.
2
1
3tan
3
3
50.
三角函数的周期公式
函
数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos
(
x
<
/p>
)
，
x
∈
R(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0
)
的周
期
T
2
；函数
y
tan(
x
)<
/p>
，
x
k
,
k
Z
(A,
ω
,
为常数，且
A
≠
0)
的周期
|
|
2
T
.
|
|
三角函数的图像：
y
y=sinx
-
π
1
y=cosx
π
3
π
/2
2
π
y
1
-
π
/2
-2
π
-3
π
/2
o
-1
π
/2
x
-2
π
-3
π
/2
-
π
-
π
/2
o
-1
π
/2
π
3
π
/2
2
π
x
2
π
五点法作图列表：
x
0
x
y
51.
正弦定理
：
π
/2
π
3
π
/2
a
b
c
2
R
（
R
为
ABC
外接圆的半径）
.
sin
A
sin
B
sin
C
a
2
R
sin
A
,
b
2
R
si
n
B
,
c
<
/p>
2
R
sin
C<
/p>
a
:
b
:
c
sin
A
:sin
B
:si
n
C
a
2<
/p>
b
2
c
2
2
bc
cos
A
;
b
2
c
2
a
2
< br>
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
.
52.
余弦定理
53.
面积定理
1
1
1
ah
a
bh
b
ch
c
（
h
a
、
h
b
、
h
c
分别表示<
/p>
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
1
1
1
（
2
）
S
ab
sin
C
bc
sin
A
ca
sin<
/p>
B
.
2
2
2
1
(3)
S
OAB
(|<
/p>
OA
|
|
OB
|)
2
(
OA
OB
)
2
.
2
a
b
－
c
斜边
2
S
r
内切圆
,
r
直角
内切圆
a
b
c
2
（
1
）
S
54.
三角形内角和定理
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
(
A
B
)
< br>
C
A
B
2
C
2
2(
A
B
)
.
2
2
2
55.
简单的三角方程的通解
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
8
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
k
sin
< br>x
a
x
k
(
1)
ar
csin
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
co
s
x
<
/p>
a
x
2
k
arccos
a
(
k
Z
,|
a
|
1)
.
tan
x
a
x
k
arctan
a
(
k
Z
,
a
R
)
.
特别地
,
有
sin
s
in
k
(
1)
k
(
k
Z
)
.
co
s
cos
2
k
(
k
< br>Z
)
.
tan
tan
k
(
k
Z
)
.
56.
最简单的三角不等式及其解集
sin
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
arcsin
a
),
k
Z
< br>.
sin
x
a
(|
a
|
< br>
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
< br>
arcsin
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
arccos
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
2
arccos
a
),<
/p>
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x<
/p>
(
k
arctan
a
,
k
2
),
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x
(
k
< br>
2
,
k
a
rctan
a
),
k
< br>
Z
.
57.
实数与向量的积的运算律
:
设
λ
、
μ
为实数，那么
< br>
(1)
结合律：
λ
(
μ
a
)=(
λ
μ
)
a
;
(2)
第一分配律：
(
λ
+
< br>μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a
;
(3)
第二分配律：
λ
(
a
< br>+
b
)=
λ
a
+
λ
b
.
58.
向量的数量积的运算律：
(1)
a
·
b
=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b
=
（
a
·
b
）
=
a
·
b
=
a
·
（
b
）
;
(3)
（
a
+
b
）
·
c
=
a
·
c
+<
/p>
b
·
c
.
59.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同一
平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有
一对实数
λ
1
、
λ
2
，使得
a
=
λ
1
e
1
< br>+
λ
2
e
2
．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
．
三点
< br>A
、
B
、
C
共线的充要条件：
MC
MA
(1
)
MB
(M
为任意点
)
60
．向量平行的坐标表示
设
a
=
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且
< br>b
0
，则
a
61.
a
·
b
的几何意义：
数量积
a
·
b
等于
a
的长度
|
a
|
与
b
在
a
的方向上的投影
|
b
|
cos
的乘积．
向量
b<
/p>
在向量
a
上的投影：
|
b
|
cos
＝
b
(
b
0
)
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
53.
a
与
b
的数量积
(
或内积
)
：
a
·
b
=|
a
||
b
|
cos
。
a
b
．
|
< br>a
|
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
9
页（共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
62.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
< br>b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
+
b<
/p>
=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a
=
(
< br>x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
-
b
=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
< br>(3)
设
A
(
< br>x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(4)
设
a
=
(
x
,
y
)
,
R
，则
a
=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a
·
b
=
(
x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
63.
两向量的夹角
公式
<
/p>
cos
a<
/p>
b
|
a
|
|
b
|
x
1
x
2
y
1
y
2
x
y
x
<
/p>
y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2<
/p>
,
y
2
)
).
64.
平面两点间的距离公式
d
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
65.
向量的平行与垂直
：设
a
=
(
x
1
,
y
< br>1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且<
/p>
b
0
，则
a
||
b
b
=
λ
a
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
a
b
(<
/p>
a
0
)
a
·
b
=
0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.
66.
线段的定比分公式
：设
P
1
P
2
的分点
,
是实数，
1
(
x
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
2
,
y
2
)
，
P<
/p>
(
x
,
y
)
是线段
P
x
1
x
2
x
OP
1
< br>1
1
OP
2
OP
且
PP
，则
（
）
.
t
PP
OP
tOP
(1
t
)
OP
<
/p>
1
2
1
2
1
1
y
y
1
y
2
1
67
.
三角形的重心坐标公式
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则△
ABC
的重心的坐
标是
G
(
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
,
)
< br>.
3
3
68.
点的平移公式
'
'
x
x
h
x
x
h
'
'
OP
OP
PP
.
'
'
y
y
k
y
y
k
注
:
图形
F
上的任意一点
P(x
，
y)
在平移后图形
F
上的对应点为
P
(
x
,
y
)
，
且
PP
的坐标为
'
'
'
'
'
(
h
,
k
)
.
69.
“按向量平移”的几个结论
<
/p>
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到点
P
(
x
h
,
y
k
)
.
(2)
函数
y
f
(
x
)
的图象
C
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
则
C
的函数解析式为
'
'
'
y
f
(
x
h
)
k
.
(3)
图象
C
按向量
a<
/p>
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
若
C
的解
析式
y
f
(
x
)
,
则
C
的函数解析
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
10<
/p>
页（共
30
页）
'
'
高中数学
常用公式及结论
王新敞
'
'
式为
y<
/p>
f
(
x
h
)
k
.
(4)
曲
线
C
:
f
(
x
,
y
< br>)
0
按
向
量
a
=
(
h
,
k
)
平
移
后
得
到
图
象
C
,
则
C
的
< br>方
程
为
f
(
x
h
,
y
k
)
0
.
(5)
向量
m
=
(<
/p>
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到的向量仍然为
m
=
(
x
,
y
)
.
70.
三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
AB
C
所在平面上一点，角
A
,
B
,
C
所对边长分别为<
/p>
a
,
b
,
c
，则
（
1
）
O
为
ABC
的外心
OA
OB
OC
.
（
2
）
O
为
ABC
的重心
OA
OB
OC
0
.
（
3
）
O
为
ABC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）
O
为
ABC
的内心
aOA
bOB<
/p>
cOC
0<
/p>
.
（
5
）
O
为
ABC
的
A
的旁心
aOA
bOB
cOC
.
71.
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a
b
<
/p>
2
ab
(
当且仅
当
a
＝
b
时取
“=”号
)
．
2
2
2
2
2
a
b
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)
．
2
3
3
3
（
3<
/p>
）
a
b
c
3
abc
(
a
0,
b
0,
c
0).
（
2
）
a
,
b
R
（
4
）柯西不等式：
(
a
b
)(
c
< br>d
)
(
ac
bd
)
,
a
,
b
,
c
,
d
R
.
（
5
）
a
b
a
< br>b
a
b
.
2
2
2
2
2
2
ab
a
b
a
2
b
2
（
6
）
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)
。
ab
a
b
2
2
72.
极值定理
:
已知
x
,
y
都是正数，则有
（
1
）若积
xy
是定值
< br>p
，则当
x
< br>y
时和
x
y
有最小值
2
p
< br>；
（
2
）若和
x
y
是定值
s
，则当
x
< br>
y
时积
xy
< br>有最大值
（
3
）已知
a
,
b
,
x
,
y
R
，若
ax
by
1
则有
1
2
s
.
4
1
1
1
1
by
ax
(
ax<
/p>
by
)(
<
/p>
)
a
b
a
b
2
ab
(
< br>a
b
)
2
。
x
y
x
y
x
y
a
b
（
4
）已知
a
,
b
,
x
,
y
R
，若
1
则有
< br>
x
y
a
b
ay
bx
x
y
(
x
y
)(
<
/p>
)
a
b
a
b
2
ab
(
< br>a
b
)
2
x
y
x
y
2
2
73.
一
元
二
次
不
等
式
ax
bx
c
0(
或
0)
(
a
0,
b
4
ac
< br>0)
，
如
果
a
与
ax
2
bx
c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
bx
c
异号，则其解集在两根之间
.
简
言之：同号两根之外，异号两根之间
.
x
1
x
x
2
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
0(
x
1
x
2
)
；
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
11
页（
共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
x
x
1
,
或
x
x
2
(
x
x
1
< br>)(
x
x
2
)
0(
x
1
x
2
)
.
74.
含有绝对值的不等式
：当
a>
0
时，有
x
a
x
2<
/p>
a
2
a
x
a
.
x
a
x
< br>2
a
2
x
a
或
x
a
.
75.
无理不等式
< br>（
1
）
（
2
）
（
3
）
f
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
< br>g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
0
< br>f
(
x
)
0
g
(
x
)
0
f
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
<
/p>
0
或
或
2
g
(
x
)
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]
g
(
x
)
0
f
(
x
)
[
g
(
< br>x
)]
2
f
(
x
)
0
<
/p>
.
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
< br>
0
f
(
x
)
[
g
(
x
)]<
/p>
2
76.
指数
不等式与对数不等式
(1)
当
a
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
(
x
)
0
<
/p>
f
(
x
)
g
(
x
)
;
log
a
f
(
x
)
log
a
g
(
x
)
< br>
g
(
x
)
0
.
f
(
x
)
g
(
x
)
f
(
x
)
< br>
0
f
(
x
)
g
(
x
)
;
log
a
f<
/p>
(
x
)
log
a
g
(
x
)
g
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)<
/p>
(2)
当
0<
/p>
a
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
< br>)
77.
斜率公式
k
y
2
y
1
（
P
1
(
x
1
,
y
< br>1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
）
.
x
2
x
1
78.
直线的五
种方程
（
1
）点斜式
y
y
1
k
(
x
x
1
)
(
直线
l
过点
P
1
(
< br>x
1
,
y
1
)
，且斜率为
k
< br>)
．
（
2
）斜截式
y
kx
<
/p>
b
(b
为直线
l
在
y
轴上的截距
).
y
y
1
x
x
1
(
y
1
y
2
)(
P
1
(
x
1
,
y
1
)
、
P
2
(
x
2
,
y
2
)
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)).
y
2
y
1
x
2
x
1
两点式的推广：
(
x
2
x
1
)(
y
y
1
)
< br>(
y
2
y
1
)(
x
x
1
)
<
/p>
0
（无任何限制条件！
）
x
y
(4)
截距式
1
(
a
、
< br>b
分别为直线的横、纵截距，
a
0
、
b
<
/p>
0
)
a
b
（
5
）一般式
Ax
By
C
0
(
其中
A
、
B
不同时为
0).
（
3
）两点式
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
12
页（
共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
直线
Ax
B
y
C
0<
/p>
的法向量：
l
(
A
,
B<
/p>
)
，方向向量：
l
(
B
,
A
)
79.
两条直线的平行和垂直
(1)
若
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y
< br>k
2
x
b
2
①
l
1
||
l
2<
/p>
k
1
k
2
,
b
1
b
2
;
②
l
1
l
2
k
1
k<
/p>
2
1
.
(2)
若
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2<
/p>
x
B
2
y
C
2
0
,
且
A
1
、
A
2
、
B
1
、
B
2
都不为零
,
①
l
1
||
l
2
A
1
B
1
C
1
；②
l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
；
A
2
B
2
C
2
80.
夹角公式
<
/p>
k
2
k
1
|
.
(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
，
l
2
:
y<
/p>
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
< br>1
k
2
k
1
A
B
A
2
B
1
|
.(
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
<
/p>
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
).
(2)
tan
|
1
2
A
1
A
2
B
1
B
2<
/p>
(1)
tan
|
直线
l
1
l
2
时，直
线
l
1
与
l<
/p>
2
的夹角是
81.
l
1
到
l
2
的角公式
.
2
k<
/p>
2
k
1
.(
l
1
:
y
k
1
x
b
1
< br>，
l
2
:
y
k
2
x
b
2
,
k
1
k
2
1
)
1
k
2
k
1
A
B
A
2
B
1
(2)
tan
1
2
.(
l
1
:
A
1
x
B
1
y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
< br>x
B
2
y
C
2
0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
).
A
1
A
2
B
< br>1
B
2
(1)
< br>tan
直线
l
1
l
2
时，直线
l
1
< br>到
l
2
的角是
< br>
.
2
82
< br>．四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：
(1)
定点直线系方程：经过定点
P<
/p>
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方程为
y
y<
/p>
0
k
(
x
x
0
)
(
除直线
x
x
0
),
其中
k
是待定的系数
; <
/p>
经过定点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的直线系方程为
A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
0
,
其中
A
,
B
是待定的系数．
(2)<
/p>
共点直线系方程：
经过两直线
l
1
:
A
1
x
B
1
< br>y
C
1
0
,
l
2
:
A
2
x
B
2
y
C
2
0
的交点的直
线系方程为
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)
(
A
2
< br>x
B
2
y
C
2
)
0
(
除
l
2
)
，其中
λ
是待定的系数．
(3)
平行直线系方程：直线
y
<
/p>
kx
b
中当斜
率
k
一定而
b
变动时，表示平行直线系方
程．与直线
Ax
By
C
0
平行的直线系方程是
Ax
By
0
(
0
)
，
< br>λ
是参变量．
(4)
垂直直线系方程：与直线
Ax
By
C
< br>0
(A
≠
0
< br>，
B
≠
0)
垂直的直线系方程是
Bx
Ay<
/p>
0
,
λ
是参变量．
<
/p>
(5)
直线系
F
(
x
,
y
,<
/p>
)
0
与线段
AB
,
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)
相交
< br>
F
(
x
1
,
y
1
,
)
F
(
x
2
,
y
2
,
)
0
。
< br>
⑹到
定点
P
< br>0
(
x
0
,
y
0
)
距
离为
r
的直线系方程：
x
cos
y
sin
r
x
0
cos
y
0
< br>sin
0
< br>（其中
是待定的系数）
．
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
13
页（
共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
|
Ax
0
<
/p>
By
0
C
|
A
B
2
2
83.
点到直线的
距离
：
d
(
点
P
(
x
0
,
y
0
)
,
直线
l
：
Ax
By
C
0
).
84.
Ax
By
C
0
或
0
所表示的平面区域
设直线
l
:
Ax<
/p>
By
C
0
，则
Ax
By
C
0
或
0
所表示的平面区域是：
若
B
0
，
当
B
与
Ax
By
C
同号
时，表示直线
l
的上方的区域；当
B<
/p>
与
Ax
By<
/p>
C
异
号时，表
示直线
l
的下方的区域
.
简言之
,
同号在上
,
异号在下
.
若
B
0
，当
A
与
Ax
By
C
同号时，表示
直线
l
的右方的区域；当
A
与
Ax
By
C
异
号时，表示直线<
/p>
l
的左方的区域
.
简言之
,
同号在右
,
异号在左。
85.
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0<
/p>
或
0
所表示的
平面区域
(
A
1
x
B
1
y
C
1
)(
A
2
x
B
2
y
C
2
)
0
或
0
所表示的平面区域是两直线
A
1
x
B
1
y
C
1
0
和
A
2
x
B
< br>2
y
C
2
0
所成的对顶角区域（上下或左
右两部分）
。
86.
圆的四种方程
（
1
）圆的标准方程
(
x
a
)
(
y
b
)
r
.
2
2
（
2
）圆的一般方程
x
< br>
y
Dx
Ey
F
0
(
D
E
4
F
＞
0).
2
2<
/p>
2
2
2
x
a
r
cos
.
y
b
r
sin
B
(
x
2
< br>,
y
2
)
).
（
4
）
圆的直径式方程
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
0
(
圆的直径的
端点是
A
(
x
1
,
y
1
)<
/p>
、
（
3
）圆的参
数方程
87.
圆系方程
(1)
过点
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B
(
x
2
,
y
2
)
的圆系方程是
(<
/p>
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
< br>)(
y
y
2
)
[(
x
x
1
)(
y
1
<
/p>
y
2
)
(
y
y
1
)(
x
1
x
2
)]
0
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
(
y
y
1
)(
y
y
2
)
(
ax
by
c
)
0
,
其中
ax
by
c
0
是直线
AB
的
方程
,
λ
是待定的系数．
(2)
过直线
l
:
Ax
By
C
0
与圆
C
:
x
y
Dx
Ey
F
0
的交点的圆系方程是<
/p>
2
2
x
2
y
2
Dx
Ey
F
(
Ax
By
C
)
0
,
λ
是待定的系数．
2
2
2
2
(3)
过圆
C
1
:
x
y
D
1
x
E
1
y
F
1
0<
/p>
与圆
C
2
:
x
y
D
2
x
E
2
y
< br>F
2
0
的交点的
2
2
2
2
圆系方程是
x
y
D
1
x
E
1
y
F
1
<
/p>
(
x
y
D
2
x
E
2
y
F
2
)
0
,
λ
是待定的系数．
2
2
2
2
特别地，当
1
时，
x
y
< br>
D
1
x
E
1
y
F
1
(
x
y
D
2
x
E
2
y
< br>
F
2
)
0
就是
(
D
1
D<
/p>
2
)
x
(
E
1
E
2
)
y
(
F
1
F
2
)
0
表示：
①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为
根轴
；
88.
点与圆
的位置关系：点
P
(
x
0
,
y
0
)
与圆
(
x
a
)
(
y
b
)
r
的位置关系有三种
若
d
(
a
x
0<
/p>
)
(
b
y
0
)
，则
d
r
点
P
在圆外
;
d
r
< br>
点
P
在圆上
< br>;
d
r
点
2
2
2
2
2
P
在圆内
.
89.
直线与圆的位置关系
新疆奎屯市第一高级中学
wxckt@
第
14
页（
共
30
页）
高中数学
常用公式及结论
王新敞
2
2
2
直线<
/p>
Ax
By
<
/p>
C
0
与圆
(
x
a
)
(
y
b
)
< br>r
的位置关系有三种
(
d
Aa
Bb
C
A
B
2
2
):
d
r
相离
< br>0
;
d
r
相切
0
;
d<
/p>
r
相交
0
.
90.
两圆位置关系的判定方法
:
设两圆圆心分别为
O
1
，
O
2
，半径
分别为
r
1
，
r
2
，
O
1<
/p>
O
2
d
d
r
1
r
2
外离
4
< br>条公切线
;
d
r
1
r
< br>2
外切
3
条公切线
;
r
1
r
2
d
r
1
r
2
<
/p>
相交
2
条公切
线
;
d
r
1
r
2
内切
1
条公切线
;
0
<
/p>
d
r
1
r
2
内含
无公切线
.
91.
圆的切线方程及切线长公式
<
/p>
(1)
已知圆
x
y
Dx
Ey
F
<
/p>
0
．
2
2
内含
内切
r
2
-r
1
相交
外切
相离
r
1
+r
2
o
d
d
d
d
①若已知切点<
/p>
(
x
0
,
y
0
)
在圆上，则切
线只有一条，其方程是
D
(
x
0
x
)
E
(
y
< br>0
y
)
F
0
.
2
2
D<
/p>
(
x
0
x
)
E
(
y
0
y
)
当
(
x
0
,
y
0
)
圆外时
,
x
0
x
y
0
y
F
0
表示过两个
切点的切
2
2
x
0
x
y
0
y
点弦方
程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。
②过圆外一点的切线方程可设为
y
y
0
k
(
x
x
0
)
，再利用相切条件求
k
，这时必有两
条切线，注意不要漏掉平行于
y
轴的切线．
③斜率为
k
的切线方程可设为
y
kx
b
，再利用相切
条件求
b
，必有两条切线．
(2)
已知圆
x
y
r
．
2
①过圆上的
P
0
(
x
0
,
y
0
)
点的切线方程为
x
0
x
y
0
y
r
;
2
2
2
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y
kx
r
1
k
2
.
(3)
过圆
x
y
Dx
Ey
F
0
外一点
(
x
0
,
y
0
)
的切线长为
l
x
0
y
0
Dx
0
Ey
0
F
2
2
2
2
x
< br>
a
cos
< br>x
2
y
2
c
b
2
92.
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的参数方程是
< br>
.
离心率
e
1
2
，
a
b
a
a
y<
/p>
b
sin
<
/p>
b
2
a
2
准线到中心的距离为
，焦点到对应准线的距离
(
焦准距
)
p
。
c
c<
/p>
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其
长度为：
2
.
a
x
2
y
2
93.
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
焦
半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积
a
b
a
2
a
2
F
PF
PF
1
e
(
x
)
a
ex
，
PF
2
<
/p>
e
(
x
)
a
ex
；
S
F
1
PF
2
c
|
y
P
|
b
2
tan
1
。
c
c
2
新疆奎
屯市第一高级中学
wxckt@
第
15
页（共
30
页
）