如何推导椭圆周长初等公式
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如何推导椭圆周长初等公式
四川省美姑县中学
周钰承
★
关键词：函数模型，椭圆周长。
★
内容提要：如何推导出一个简单而
又精确椭圆周长公式？
利用信息技
术，搜集准确的数据；建立恰
当的函数模型并求解；对函数模型
进行检验、评价和应用。
<
/p>
有一个困惑笔者多年的现象：一些小学生常常追问老师，椭圆周长是怎样计
算的？而到了高中，
他们已经学习了椭圆的方程式，
却
再也没有一个学生问到这
个问题。
是多年的应试教育，
吞噬了他们的求知欲吗？兴趣是最好的老师，
当前
的信息技术足以让高中学生重回小学时代。利用信息技术构建函数解决实际问
题，通常
需要三个步骤：搜集数据代表；构建函数模型并求解；检验、评价与应
用。
第一步，搜集数据代表。
x
2
y
2
椭
圆的标准方程是
2
2
1
(
a
b
)
。
其中
a
,
b
表
示椭圆的长半轴长及短半轴
a
b
长。在
因特网搜索“椭圆周长”，可以很快找到椭圆积分的表达式。但由于该公
式中的被积函数
的原函数不是初等函数，
所以迄今为止，
尚没有准确的椭圆周长
的初等函数公式。打开不同的网页，我们可以找到椭圆周长著名的项名达公式：
1
2
2
< br>1
3
2
e
4
1
3
5
2
e
6
1
3
5
7
< br>
2
e
8
C
2
a
1
e
< br>
（
1
）
2
2
4
3
2
4
6
5
2
4
6
< br>
8
7
其中
e
为离心率。根据（
1
）式，可写出计算椭圆周
长
C
的计算机程序，并得到表
1
：
Private Sub Form_Click ( )
a = 1
:
’
长半轴
长度。
a
、
b
可根据实际问题改为其它值
b = 0.15
:’
短半轴长度，应不大于
a
，否则两者互换
e = sqr(1-b*b/a/a)
:
’
椭圆离心率
k0 = 0.25*e^2
:
’
（
1
）式括号中的第二项
s = 1-k0
:
’
（
1
）式括号中的前二项
for
I = 2
to
1000000
:
’
级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟
k =
k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e
:
’
(1)
式括号中的某一项
s = s
–
k
:
’
将各项累加到
s
中去，最终就得到
(1)
式括号中的值
k0 = k
:
’
为计算下一项，将前一项结果赋给
k0
next
I
:
’
循环
print
2*3.1415926535*a*s
:
’
打印或显示计算结果
End Sub
a
椭圆周长
b
1
0.00
4.
…
1
1
1
1
1
1
1
1
0.01
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.99
1.00
4.
…
4.
…
4.2892108875
…
4.8442241100
…
5.5258730400
…
5.9731604325
…
6.2518088479
…
6.2831853070
…
表
1
第二步，构建函数模型并求解。
<
/p>
项名达公式虽然易于设计程序，
但不利于函数建模。
另一个级数公式更容易被高中学
生理解：
25
8
49
10
C
(
a
b
)[
1
< br>
……
]
（
2
）
4
64
256
16
384
65536
其中
2
< br>4
6
a
b
,
(
a
b
)
。
a
b
如果利用这个公式来计算椭圆周长，
当
a
与
b
的值比较接近时，
只需要级数前两项就
可以达到相当高的准确率，但当
a
与
b
的取值相差较大时，
即使是用到级数第十项，
误差还
相当大。我们可以根据这个
级数公式，构建一个新的函数模型。
在公式（
2
）中，设：
25
8
49
10
< br>
…………………………（
3
）
4
64
25
6
16384
65536
则（
2
）变形为：
2
4
6
C
(
a
b
< br>)[
1
]
…………………………………………………（
4
）
我们改造函数模型，考虑到函数（
3
）具有三个重要特征：
1.
< br>各项均含有因式
；
2.
2
a
b
椭圆周长趋近于圆周长
C
2
a
，
此时
0<
/p>
；
3.
当
b
0
0
，
a
b
4
时，
1
，椭圆周长趋近两倍长
轴长，即
C
4
a
，此时
。因此，我们构建
当
b
a
时，
函数模型：
x
y
2
2
< br>
…………………………………………………………（
5
）
z
w
2
（
5
）式中
是自变量，
C
a
b
1
，
x
,
y
,
z
,
w
< br>为待定系数。为了
，
(
a
b
)
a
b
使函数（
5
）拟合函数（<
/p>
3
）
，我们取表
1
中最具有代表性的数据。用
b=0.25,b=0.50,b
=0.75
那三行数据，把三个点的坐标
(
,
)
：